2024屆陜西省漢中市中學(xué)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測試題（一模） 數(shù)學(xué)文（解析版）

漢中市2024屆高三年級教學(xué)質(zhì)量第一次檢測考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷共23小題，共150分，共4頁.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.3.已知向量，，若與共線且同向，則實數(shù)值為（）A.2 B.4 C. D.或44.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）A. B. C. D.7.已知；，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）A.－4 B.4 C. D.9.下列函數(shù)中，在上是減函數(shù)且是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創(chuàng)作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標(biāo)系中的點，如果這些點恰好在函數(shù)的圖象上，且圖象過點，相鄰最大值與最小值之間的水平距離為，則使得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間的是（）A. B.C. D.11.已知是拋物線：的焦點，是拋物線的準(zhǔn)線，點（）連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.6 B.3 C. D.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.R上單調(diào)遞減 B.在R上單調(diào)遞增C.在R上有最大值 D.在R上有最小值第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.14函數(shù)，則__________.15.已知中，，，，則的外接圓面積為___________.16.已知正三棱錐的各頂點都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．18.某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機(jī)對該市15～65歲的人群抽樣，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示．組別分組回答正確人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的概率第1組[15，25)50.5第2組[25，35)a0.9第3組[35，45)27x第4組[45，55)b0.36第5組[55，65]3y（1）分別求出a，b，x，y的值；（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？（3）在（2）前提下，決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎.求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎的概率．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，側(cè)面PAB底面，，（1）求證：平面（2）過AC的平面交PD于點M，若，求三棱錐的體積．20.已知橢圓的離心率為；，與直線有且只有一個公共點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若，求直線的方程21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系：中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線．（Ⅰ）求的參數(shù)方程；（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，將曲線、的方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程后，求．[選修4-5：不等式選講]23.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范圍.漢中市2024屆高三年級教學(xué)質(zhì)量第一次檢測考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷共23小題，共150分，共4頁.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將集合化簡，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)果.詳解】將集合化簡可得，則故選:A2.已知，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及定義計算即可.【詳解】由可得，即虛部為.故選：A3.已知向量，，若與共線且同向，則實數(shù)的值為（）A.2 B.4 C. D.或4【答案】C【解析】【分析】通過向量共線且同向，即可求出實數(shù)的值.【詳解】由題意，，，∵與共線且同向∴，解得或，當(dāng)時，與共線且反向，舍去，故選：C．4.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體是一個圓錐和正方體的組合體.圓錐的體積為，正方體的體積為8，故幾何體的體積為：故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將條件等式兩邊平方，利用，結(jié)合二倍角公式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以．故選：C.【點睛】本題考查應(yīng)用同角間的三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換求值，屬于基礎(chǔ)題．6.為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事件的相互獨立性求解.法一，所求事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用對立事件的概率和為，間接法可得.【詳解】設(shè)事件“甲猜對”，“乙猜對”，“幾何隊至少猜對一個成語”，所以，則.由題意知，事件相互獨立，則與，與，與也相互獨立，法一：，且兩兩互互斥，則.法二：事件的對立事件“幾何隊一個成語也沒有猜對”，即，則.故選：B.7.已知；，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件與集合的包含關(guān)系，即可求解.【詳解】若是的充分條件，則，所以.故選：C8.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）A.－4 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出的值.【詳解】根據(jù),得到,則焦點在軸，故漸近線為，則，故.故選：A9.下列函數(shù)中，在上是減函數(shù)且是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，是偶函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，不符合題意；對于，，是奇函數(shù)，不符合題意；對于，，是偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，符合題意；對于，，是偶函數(shù)，但在區(qū)間上是增函數(shù)，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握冪指對函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創(chuàng)作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標(biāo)系中的點，如果這些點恰好在函數(shù)的圖象上，且圖象過點，相鄰最大值與最小值之間的水平距離為，則使得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)的周期，求出，根據(jù)點的坐標(biāo)，結(jié)合的取值范圍，求出的值.然后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，.又圖象過點，所以有，所以，.因為，所以，所以，所以，.由可得，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；對于A項，，故A項錯誤；對于B項，因為，故B項正確；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因為，故D項錯誤.故選：B.11.已知是拋物線：的焦點，是拋物線的準(zhǔn)線，點（）連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出拋物線方程，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，最終求出答案.【詳解】∵是拋物線的準(zhǔn)線，∴，拋物線∴∵∴為的中點，即的橫坐標(biāo)為，代入，得到，∴∴∴.故選：D.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.在R上單調(diào)遞減 B.在R上單調(diào)遞增C.在R上有最大值 D.在R上有最小值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得，由求出可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得最值情況.【詳解】因為，所以，可得，可得（為常數(shù)），因為，所以，解得，所以，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在時有極大值即最大值，無最小值.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵點是利用已知構(gòu)造，求出.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直點乘等于零和數(shù)量積公式求解.【詳解】因為，是單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以.故答案為：14.函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意.故答案為：【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.已知中，，，，則的外接圓面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解邊長，再利用正弦定理求解外接圓半徑，即可得外接圓面積.【詳解】解：根據(jù)題意，由余弦定理可得，該的外接圓的半徑為r，則由正弦定理得：.故答案為：.16.已知正三棱錐的各頂點都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以正三棱錐外接球半徑，如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過向底面作垂線垂足為D，，要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側(cè)，因為是正三棱錐，所以D是的中心，所以，又因為，所以，，所以，令，解得或，當(dāng)，；當(dāng)，，所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時，正三棱錐的體積最大，此時正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考點：1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法．18.某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機(jī)對該市15～65歲的人群抽樣，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示．組別分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的概率第1組[15，25)50.5第2組[25，35)a0.9第3組[35，45)27x第4組[45，55)b0.36第5組[55，65]3y（1）分別求出a，b，x，y的值；（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎.求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎的概率．【答案】（1）（2）2人，3人，1人（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率、頻數(shù)的計算方法，即可求解；（2）根據(jù)第2，3，4組回答正確的人的比，結(jié)合分層抽樣的方法，即可求解；（3）抽取的6人中，第2組的記為a1，a2，第3組的記為b1，b2，b3，第4組的記為c，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件中所包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：第1組人數(shù)為，所以總?cè)藬?shù)；第2組人數(shù)為，所以；第3組人數(shù)為，所以；第4組人數(shù)為，所以；第5組人數(shù)為，所以.【小問2詳解】解：第2，3，4組回答正確的人的比為，所以第2，3，4組每組應(yīng)各依次抽取2人，3人，1人．【小問3詳解】解：抽取的6人中，第2組的記為a1，a2，第3組的記為b1，b2，b3，第4組的記為c，則從6人中任取2人的所有可能的情況有15種，分別為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)．其中第2組至少有1人的情況有9種，分別為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)．由古典摡型的概率計算公式，可得所求概率為.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，側(cè)面PAB底面，，（1）求證：平面（2）過AC的平面交PD于點M，若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)有，勾股定理知，結(jié)合面面垂直的推論可得，根據(jù)線面垂直的判定證垂直即可；（2）由面即可計算，結(jié)合已知條件可求三棱錐的體積；【詳解】（1）由題意知：底面ABCD是菱形，且∴，又在△中，，即，∴，又面PAB面，面PAB面，面PAB，∴面，而面，有：，，∴平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，∴【點睛】本題考查了應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，及線面垂直的判定證明垂直，根據(jù)已知體積關(guān)系結(jié)合三棱錐的體積公式求三棱錐的體積.20.已知橢圓的離心率為；，與直線有且只有一個公共點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若，求直線的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題得橢圓方程為，再把代入并整理，根據(jù)得解；（2）先分析直線的斜率不為0，再設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，再由得t的值，即得解.【詳解】解：（1）由橢圓E的離心率為，得故橢圓方程為，把代入并整理，得，因為E與有且只有一個公共點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為0時，則A，B的坐標(biāo)為，不符合，故直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得則，設(shè)，則，由，得得，代入，得，解得.故直線的方程為，即.【點睛】方法點睛：求直線的方程，一般利用待定系數(shù)法，先定式（從直線的五種方程中選擇一種作為直線的方程），后定量（再求出待定系數(shù)的值）.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后對a分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)區(qū)間即可；（2）轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的最大值小于，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值可得證.【小問1詳解】，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】由（1）得：要證：，即證：即證：令，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；所以，從而命題得證．