2023-2024學(xué)年湖北省武漢光谷未來學(xué)校八年級上冊月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期八年級自我檢測月練習(xí)一．選擇題1．第十九屆亞運(yùn)會于年月日至月日在杭州隆重舉行，下列圖標(biāo)是亞運(yùn)會上常見的運(yùn)動圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．已知點(diǎn)A（2，a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B（b，﹣3），則a＋b的值為（

）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣53．下列從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．下列條件能判定的一組是（

）A．，， B．，，C．，， D．，的周長等于的周長5．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三邊高線的交點(diǎn)B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)6．如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為（

）

A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有（

）A．4 B．6 C．8 D．98．如圖，線段，的垂直平分線交于點(diǎn)，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，是等邊三角形，F(xiàn)、G分別為AC和BC的中點(diǎn)，D在線段BG上，連接DF，以DF為邊作等邊，ED的延長線交AB于H．連接EC，則以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)D在線段BG上（不與G點(diǎn)重合）運(yùn)動時(shí)，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，中，，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空題11．；；．12．已知，，為三邊的長，當(dāng)時(shí)，則的形狀是．13．如圖，是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”（圖a）和梅花圖案（圖b）（圖中的折扇無重疊）．則梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角的度數(shù)均為．14．如圖，在等腰三角形中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，若，則的值為．15．在等腰三角形中，邊上的高恰好等于邊長的一半，則等于．16．如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一動點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的度數(shù)為________．三．解答題17．計(jì)算：(1)；(2)．（要求簡便計(jì)算）18．分解因式：(1)；(2)．19．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．（1）求證：BE=AD（2）求證：PQ=BP20．如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、點(diǎn)．請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留畫圖痕跡(1)在圖1中：①畫出格點(diǎn)，使；②在軸上取一點(diǎn)，使得；(2)在圖2中：①作出關(guān)于軸的對稱線段（點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)）；②點(diǎn)、為線段上的任意兩點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)E，使的值最?。?1．如圖，點(diǎn)為等邊的邊上一點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，，交于，過作于．(1)求證：；(2)若，求的長．22．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：_________；（2）因式分解：；（3）求證：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．23．點(diǎn)P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)如圖1，點(diǎn)P在外部，若，，則的長為______；(2)P點(diǎn)在內(nèi)部，連接．①如圖2，若，求證；②如圖3，D為邊中點(diǎn)，連接，求證：．24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同一直線上，且AO=BO，其中m，n滿足．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)M，P分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不等于2，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，且，PA⊥PN，，求證：BM⊥MN；（3）如圖2，作AC⊥y軸于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D，在CA延長線上取一點(diǎn)E，使，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，恰好有，點(diǎn)G是CB上一點(diǎn)，且，連結(jié)FG，求證：．參考答案與解析1．A【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據(jù)概念即可，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．A【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得、的值．【詳解】解：∵點(diǎn)A（2，a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B（b，﹣3），∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．3．D【分析】根據(jù)因式分解的定義即可解答；【詳解】A、，是整式乘法，不符合題意；B、，不是因式分解，不符合題意；C、，是整式乘法，不符合題意；D、，是因式分解，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】該題主要考查了因式分解的定義，熟悉整式乘法和因式分解的區(qū)別是解答該題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】A.，，

，根據(jù)ASA，能判定，符合題意，B.，，，不能判定，不符合題意，C.，，

，不能判定，不符合題意，D.，的周長等于，不能判定，不符合題意，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)到線段兩端的距離相等，即可求解．【詳解】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B6．C【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，再利用已知條件三角形的周長計(jì)算．【詳解】解：∵垂直平分，∴．∵的周長，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．7．C【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底，哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【詳解】解：若作為腰時(shí)，有兩種情況，當(dāng)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，B是以A為圓心，以為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，共有2個(gè)（除O點(diǎn)）；當(dāng)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，B是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有4個(gè)；若是底邊時(shí)，B是的中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有2個(gè)．以上8個(gè)交點(diǎn)沒有重合的，故符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．8．C【分析】連接CE，依據(jù)線段，的垂直平分線交于點(diǎn)，可得，，判定，可得，設(shè)，則，，，即可得到中，．【詳解】如圖，連接，如圖所示：∵線段，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即，在和中，，，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．9．D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得BF⊥AC，可判斷①，由等邊三角形的性質(zhì)可求∠A+∠FDH=180°，由四邊形內(nèi)角和定理可得∠AHD+∠AFD=180°，可判斷②，由“SAS”可證△CFE≌△GFD，可得CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，可判斷③和④，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，∴BF⊥AC，故①正確，∵△ABC和△EFD是等邊三角形，∴∠A=∠EDF=60°=∠EFD，EF=FD，∴∠FDH=120°，∴∠A+∠FDH=180°，∴∠AHD+∠AFD=180°，故②正確；如圖，連接FG，∵F、G分別為AC和BC的中點(diǎn)，∴CG=BC=AC=CF，又∵∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴CF=FG=CG，∠FCG=60°=∠FGC，∴∠FGD=120°，∵∠CFG=∠EFD=60°，∴∠CFE=∠GFD，在△CFE和△GFD中，，∴△CFE≌△GFD（SAS），∴CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，∴CD=CG+GD=CF+CE，∠BCE=60°，故③④正確，綜上，①②③④都正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．10．B【分析】延長交于，延長交于，如圖所示，根據(jù)題意得到是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)有，再根據(jù)等腰三角形三線合一得到，設(shè)，則，從而由得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：延長交于，延長交于，如圖所示：∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，平分，∴，即，設(shè)，在中，，則，由得，，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形背景下求線段長，涉及等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線定義、含的直角三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．1【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，零指數(shù)冪，積的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】解：；；．故答案為：；1；．12．等邊三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷．解題的關(guān)鍵是將已知等式利用完全平方公式變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b，c之間的關(guān)系．【詳解】解：為等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴為等邊三角形．13．##48度【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：，．【詳解】解∶如圖，梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：，∴，∴，∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角，∴梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為：．故答案為：．14．4【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含直角三角形的性質(zhì)，熟知所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，然后利用含直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而可計(jì)算的值．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴和是直角三角形，∴，，∴，故答案為：4．15．75°或90°或15°【分析】本題要分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來分析：①當(dāng)BC為腰，AD在三角形的內(nèi)部，②BC為腰，AD在三角形的外部，③BC邊為等腰三角形的底邊．【詳解】解：如下圖，分三種情況：①如圖1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的內(nèi)部，由題意知，AD=BC＝AB，Sin∠B=∴∠B＝30°，∴∠C＝∠BAC=（180°?∠B）÷2＝75°，∴∠BAC＝∠C＝75°；②如圖2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由題意知，AD＝BC＝AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB，∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝∠ACD＝15°；③如圖3，AC＝BC，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，由等腰三角形的底邊上的高與底邊上中線，頂角的平分線重合，可得點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，由題意知，AD＝BC＝CD＝BD，∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC的度數(shù)為90°或75°或15°，故答案為：90°或75°或15°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)；本題要分三種情況討論：前兩種情況為∠BAC為等腰三角形的底角，且AD在三角形內(nèi)部或是外部；第三種為∠BAC為等腰三角形的頂角，這是正確解答本題的關(guān)鍵．16．##45度【分析】取的中點(diǎn)F，連接、、，則可證明，則有，從而，即當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，值最小，且最小值為線段的長，則此時(shí)，由等腰直角三角形知可求得的度數(shù)．【詳解】解：取的中點(diǎn)F，連接、、，如圖所示：則，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，即當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，值最小，且最小值為線段的長；，，是等腰直角三角形．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短等知識，通過構(gòu)造全等三角形把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪相乘，合并同類項(xiàng)即可得；（2）將2023化為，將2021化為，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，同底數(shù)冪相乘，合并同類項(xiàng)，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．18．(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）先提公因式，然后再用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）用平方差公式和十字相乘法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)SAS可證△BAE≌ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證BE=AD；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可證∠ABE=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證PQ=BP．【詳解】（1）∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°在△BAE和△ACD中∴△BAE≌ACD（SAS），∴BE=AD；（2）∵△BAE≌△ACD，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ為△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BP．20．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)P，連接，，則；取格點(diǎn)C，連接、，，設(shè)，交于點(diǎn)D，、交于點(diǎn)E，連接并延長交x軸于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)Q；（2）先作點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C、D，然后再連接即可；連接交y軸于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【詳解】（1）解：取格點(diǎn)P，連接，，則；取格點(diǎn)C，連接、，，設(shè)，交于點(diǎn)D，、交于點(diǎn)E，連接并延長交x軸于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)Q；∵，，∴，∴為等腰直角三角形，，∴；∵在和中，∴，∴，∵，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴垂直平分，∴．（2）解：作點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C、D，連接，則即為所求作的線段，連接交y軸于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；∵與關(guān)于y軸對稱，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此最小，即最?。军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，作軸對稱圖形，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定方法和三角形全等的判定方法．21．(1)見解析(2)【分析】（1）過P作，可得為等邊三角形，得出，再證，即可得；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)P作，則，∵為等邊三角形，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵為等邊三角形，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．22．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）見解析【分析】（1）把(x-y)看作一個(gè)整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A(yù)=a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解；（3）將原式轉(zhuǎn)化為(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，進(jìn)一步整理為(n2+3n+1)2，根據(jù)n為正整數(shù)得到n2+3n+1也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方．【詳解】解：（1）=(x-y+1)2；（2）令A(yù)=a+b，則原式變?yōu)锳(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1也為正整數(shù)，∴代數(shù)式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．23．(1)10(2)①見解析；②見解析【分析】（1）繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，是等邊三角形即可．（2）①繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，是含有角的直角三角形即可．②繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，延長到點(diǎn)F，使，證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）如圖，繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：10．（2）①如圖，繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．②繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，，．延長到點(diǎn)F，使，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的判定，三角形全等的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【分析】（1）將關(guān)于m、n的關(guān)系式進(jìn)行變形，成為連個(gè)完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐標(biāo).（2）求證兩線段垂直，可以通過將兩直線所成的角進(jìn)行拆分，然后計(jì)算各個(gè)角相加的和，本題通過在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,然后根據(jù)題干中條件和輔助線條件求證△PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再繼續(xù)求證△PQA≌△PMN，得到△QPM為等腰直