專題01 集合與常用邏輯用語 -2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)重難培優(yōu)與單元檢測（人教A版2019）原卷版

專題01集合與常用邏輯用語目錄目錄【知識梳理】 2【重點(diǎn)保分】 5【重點(diǎn)保分一】集合的概念 5【重點(diǎn)保分二】子集、真子集個數(shù) 8【重點(diǎn)保分三】集合間的包含關(guān)系與Venn圖 10【重點(diǎn)保分四】并集、交集與補(bǔ)集的基本運(yùn)算 12【重點(diǎn)保分五】充分條件與必要條件 15【重點(diǎn)保分六】全稱量詞與存在量詞 17【難點(diǎn)增分】 19【難點(diǎn)增分一】空集的應(yīng)用 19【難點(diǎn)增分二】并集、交集與補(bǔ)集的性質(zhì)及應(yīng)用 23【難點(diǎn)增分三】容斥原理的應(yīng)用 26【培優(yōu)滿分】 29【培優(yōu)滿分一】利用集合運(yùn)算求參數(shù) 29 【培優(yōu)滿分二】充要條件的判定與證明 32【培優(yōu)滿分三】集合新定義 36【技巧總結(jié)】 40【單元檢測】 45知識梳理知識梳理1、元素與集合的相關(guān)概念(1)元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素.元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.2、集合中元素的特征集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.3、元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.4、常用的數(shù)集及其記法名稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR5、列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{__}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.6、描述法一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法.7、子集的含義(1)在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.(2)子集的概念文字語言符號語言圖形語言一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)8、真子集與集合相等(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B，也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).9.集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C：①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC.10、空集一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作.規(guī)定：空集是任何集合的子集.11、并集自然語言符號語言圖形語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}12、交集自然語言符號語言圖形語言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}13、交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∪A＝A，A∪?＝A；A∩A＝A，A∩?＝?.(2)若集合A是集合B的子集，則A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.14、全集與補(bǔ)集的含義一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言15、補(bǔ)集的性質(zhì)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.16、命題的概念(1)一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.(2)判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.(3)“若p，則q”形式的命題中，p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.17、充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qpq條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件18、充要條件命題真假若“p，則q”為真命題；“若q，則p”為真命題推出關(guān)系p?q條件關(guān)系p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件19、全稱量詞與全稱量詞命題(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.(2)常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”等.(3)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x).20、存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”21、全稱量詞命題的否定(1)一般地，對一個命題進(jìn)行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定.(2)一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.全稱量詞命題全稱量詞命題的否定結(jié)論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題22、存在量詞命題的否定存在量詞命題存在量詞命題的否定結(jié)論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題重點(diǎn)保分重點(diǎn)保分【重點(diǎn)保分一】集合的概念【典例精講】（多選）（2023上·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列四個命題中正確的是（

）A．方程的解集為B．由所確定的實(shí)數(shù)集合為C．集合可以化簡為D．中含有三個元素【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知集合，且，則（

）A． B．或 C． D．2．（2023上·廣東江門·高一江門市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．或1 C．3 D．二、多選題3．（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）集合只有一個元素，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2022上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則實(shí)數(shù).【重點(diǎn)保分二】子集、真子集個數(shù)【典例精講】（多選）（2023上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中）下列各個選項中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合滿足，則集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·四川成都·高一成都七中?？计谥校┘系囊粋€子集是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）下列說法正確的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有16個子集C．集合D．集合三、填空題4．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合且，則集合A的非空真子集的個數(shù)為.【重點(diǎn)保分三】集合間的包含關(guān)系與Venn圖【典例精講】（多選）（2023上·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，全集，，則下列說法正確的是（）A．陰影部分表示的集合是M的子集B．陰影部分表示的集合是N的子集C．陰影部分表示的范圍是D．陰影部分表示的范圍是【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·甘肅白銀·高一?？计谥校┮阎?，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川瀘州·高一校考期中）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8二、多選題3．（2023上·湖北省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎希?，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．2 B．1 C．0 D．1三、填空題4．（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┮阎希?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【重點(diǎn)保分四】并集、交集與補(bǔ)集的基本運(yùn)算【典例精講】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023上·云南曲靖·高一?？计谥校┰O(shè)全集，集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）已知集合，，則．【重點(diǎn)保分五】充分條件與必要條件【典例精講】（多選）（2023上·福建廈門·高一廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．，，若p是q的充分條件，則．B．是命題，成立的一個充分不必要條件．C．“”是“”的必要不充分條件．D．“關(guān)于x的不等式對任意恒成立”的充要條件“”．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩個實(shí)數(shù)，命題“中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建福州·高一校聯(lián)考期中）“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件B．若集合中只有一個元素，則或0C．已知，，則對應(yīng)的的集合為D．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為三、填空題4．（2023上·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合，命題：，命題：，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【重點(diǎn)保分六】全稱量詞與存在量詞【典例精講】（多選）（2023上·寧夏吳忠·高一?？茧A段練習(xí)）已知命題：，，若命題是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍可能是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·云南昆明·高一云南省昆明市第十四中學(xué)?？计谥校┤裘}“”是真命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023上·北京大興·高一?？茧A段練習(xí)）命題p：，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題3．（2023上·貴州黔東南·高一凱里一中校考階段練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“”是“”的充分不必要條件C．命題，成立的充要條件是D．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為三、填空題4．（2023上·福建莆田·高一莆田二中?？茧A段練習(xí)）已知命題“，”，命題“，”．若命題和命題都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．難點(diǎn)增分難點(diǎn)增分【難點(diǎn)增分一】空集的應(yīng)用【典例精講】（多選）（2023上·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，求：(1)當(dāng)時，中至多只有個子集，求的取值范圍；(2)當(dāng)、滿足什么條件時，集合為空集.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·上海·高一專題練習(xí)）下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．6二、多選題2．（2023上·重慶榮昌·高一重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4個子集C．集合D．集合3．（2023上·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則或D．若，則或或三、解答題4．（2023上·上海嘉定·高一?？计谥校┮阎?1)若A中只有一個元素，求a的值(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍(3)若，求a的取值范圍【難點(diǎn)增分二】并集、交集與補(bǔ)集的性質(zhì)及應(yīng)用【典例精講】（多選）（2023上·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知全集，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·北京·高一北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A．4 B． C． D．5二、多選題2．（2023上·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（2020·高一課時練習(xí)）設(shè)全集，若，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A．，且 B．，且C． D．，且三、解答題4．（2023上·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，集合．(1)求和；(2)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【難點(diǎn)增分三】容斥原理的應(yīng)用【典例精講】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）學(xué)校舉辦了排球賽，高一（1）班45名同學(xué)中有12名同學(xué)參賽.后來又舉辦了田徑賽，班上有20名同學(xué)參賽.已知兩項都參賽的有6名同學(xué).兩項比賽中，高一（1）班共有多少名同學(xué)沒有參加過比賽？【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日舉行，經(jīng)調(diào)查，亞運(yùn)會中球類、田徑類、游泳類比賽深受學(xué)生喜愛．小明統(tǒng)計了其所在班級50名同學(xué)觀看球類、田徑類、游泳類比賽情況，每人至少觀看過其中一類比賽，有15人觀看過這3類比賽，18人沒觀看過球類比賽，20人沒觀看過田徑類比賽，16人沒觀看過游泳類比賽，因不慎將觀看過其中兩類比賽的人的數(shù)據(jù)丟失，記為，則由上述可推斷出（

）A．16 B．17 C．18 D．192．（2017·北京·高三強(qiáng)基計劃）一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營，每名同學(xué)參加至少一個學(xué)科考試．已知有100名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為（

）A．108名 B．120名 C．125名 D．前三個答案都不對二、多選題3．（2021上·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）向50名學(xué)生調(diào)查對兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說法正確的是（

）A．贊成A的不贊成B的有9人 B．贊成B的不贊成A的有11人C．對A，B都贊成的有21人 D．對A，B都不贊成的有8人三、填空題4．（2023上·陜西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班課程共有90人報名，其中有45人報名舞蹈，有26人報名太極，有33人報名聲樂，同時報名舞蹈和報名聲樂的有8人，同時報名聲樂和報名太極的有5人，沒有人同時報名三門課程，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①同時報名舞蹈和報名太極的有3人；②只報名舞蹈的有36人；③只報名聲樂的有20人；④報名兩門課程的有14人.其中，所有正確結(jié)論的序號是.培優(yōu)滿分培優(yōu)滿分【培優(yōu)滿分一】利用集合運(yùn)算求參數(shù)【典例精講】（多選）（2022上·江蘇無錫·高一無錫市市北高級中學(xué)?？计谥校┰冖伲?，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，求解下列問題：已知集合，．(1)當(dāng)時，求；(2)若___________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）設(shè)全集，集合，，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．（2023上·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，若有兩個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．二、多選題3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高一濟(jì)源高中校考階段練習(xí)）已知，集合，集合，則下列正確的是（

）A．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題4．（2022上·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【培優(yōu)滿分二】充要條件的判定與證明【典例精講】（多選）（2023·高一單元測試）記關(guān)于x的方程的解集為M，其中．(1)求M恰有3個元素的充要條件；(2)在（1）的條件下，試求：以M中的元素為邊長的三角形恰好為直角三角形的充要條件．【變式訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．2．（2022上·安徽淮南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，．(1)若“，”為假命題，求的取值范圍；(2)求證：至少有2個子集的充要條件是，或．3．（2021上·福建福州·高一校聯(lián)考期中）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.4．（2020上·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程.（1）若是方程的兩個根，求b的值；（2）求證：“是方程的一個根”的充要條件是“”.【培優(yōu)滿分三】集合新定義【典例精講】（多選）（2023上·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）定義集合運(yùn)算且，稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：則4個命題中是真命題的是（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)?？计谥校┰O(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對任意，，都有，，，則稱集合S為“完美集合”，給出下列命題：①若為“完美集合”，則一定有；②“完美集合”一定是無限集；③集合為“完美集合”；④若為“完美集合”，則滿足的任意集合也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④2．（2023上·湖南懷化·高一沅陵縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，用符號表示非空集合A中元素的個數(shù).定義，若，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如果我們把集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為.用表示有限集的元素個數(shù).下列命題中正確的是（

）A．若，則；B．存在集合，使得；C．若，則；D．若，則.三、填空題4．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非空集合A，B同時滿足以下四個條件：①；②；③；④.注：其中、分別表示A、B中元素的個數(shù).如果集合A中有3個元素，則有序集合對的個數(shù)是.技巧總結(jié)技巧總結(jié)1.判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.2.判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的，然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).(2)推理法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.3.利用集合中元素的互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中的元素的互異性對求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗.(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.4.用列舉法表示集合應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素.(2)若集合中的元素是點(diǎn)時，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素.5.利用描述法表示集合應(yīng)注意三點(diǎn)(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合{x|x<1}不能寫成{x<1}.(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)大括號，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.6.若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題.7.判斷集合關(guān)系的三種方法8.假設(shè)集合A中含有n個元素，則有：(1)A的子集有2n個；(2)A的非空子集有(2n－1)個；(3)A的真子集有(2n－1)個.9.求給定集合的子集的兩個注意點(diǎn)：(1)按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫；(2)在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.10.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法(1)注意點(diǎn)：①不能忽視集合為的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤.11.求集合并集的兩種方法利用定義：若集合中元素個數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性.數(shù)形結(jié)合：(1)若集合是實(shí)數(shù)集的子集，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)值的取舍.(2)若集合中元素?zé)o限，且不連續(xù)，可借助Venn圖求解.12.若A，B的元素是方程的根，則應(yīng)先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集.若A，B的元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，交集是點(diǎn)集.若A，B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解，但要注意利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心圈表示.13.利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的依據(jù)及關(guān)注點(diǎn)(1)依據(jù)：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合A?B時，若集合A不確定，運(yùn)算時要考慮A＝的情況，否則易漏解.14.求補(bǔ)集的基本方法(1)全集及其子集是用列舉法表示的，從全集U中去掉所有屬于集合A的所有元素組成的集合.(2)較為復(fù)雜的集合，還可借助于Venn圖求解.(3)全集及其子集是用不等式構(gòu)成的無限集表示的，常借助于數(shù)軸求解.15.解決與不等式有關(guān)的集合問題時，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點(diǎn)的值是否能取到.解決集合的混合運(yùn)算時，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分.16.由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法(1)由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個數(shù)有限時，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識求解.(2)與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個時，一般利用數(shù)軸分析法求解.17.要判斷一個命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，在判斷時要有理有據(jù)，有時應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷.而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.18.一般地，定義法主要用于較簡單的命題判斷，集合法一般需對命題進(jìn)行化簡，等價法主要用于否定性命題.要判斷p是不是q的充分條件，就要看p能否推出q，要判斷p是不是q的必要條件，就要看q能否推出p.19.根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解.20.探求充要條件的兩種方法：(1)等價法：將原命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，其中探求的過程也是證明的過程，因為探求過程的每一步都是等價的.(2)非等價法：先尋找必要條件，再找充分條件，從必要性和充分性兩方面說明.21.一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即p?q.22.應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.23.判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞.由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達(dá)命題.24.要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合內(nèi)找到一個元素x，使p(x)成立即可，否則命題為假.要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定集合內(nèi)的每一個元素x，p(x)都成立，但要判定一個全稱量詞命題為假時，只要舉一個反例.25.依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍：(1)首先根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意.(2)其次根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍.26.全稱量詞命題否定的關(guān)注點(diǎn)(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，綈p(x).(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，對省略全稱量詞的全稱量詞命題可以補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定.27.存在量詞命題否定的關(guān)注點(diǎn)(1)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞.(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，對省略存在量詞的存在量詞命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定.28.對求參數(shù)范圍問題，往往分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，如本題分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成了求二次函數(shù)的最值問題.單元檢測單元檢測一、單選題1．（2020上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）方程組的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023上·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）已知命題，，則命題p的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023上·黑龍江雞西·高一統(tǒng)考期中）以下四個關(guān)系式：，，，中，錯誤的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023上·湖南·高三南縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．5．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考期中）若集合有7個真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023上·河北唐山·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件C．若，則“”是“不全為”的充要條件D．“為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的必要不充分條件8．（2023上·廣東深圳·高一?？计谥校┘褐?，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023上·