山東大學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)Ⅰ(下)期末統(tǒng)考試題及答案解析

裝訂線裝訂線特別提示：自信考試誠(chéng)信做人專業(yè):層次：年級(jí)：班級(jí)：座號(hào)：學(xué)號(hào)：姓名：第1頁(yè)共3頁(yè)山東大學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅰ(下)》統(tǒng)一考試試題（A卷）（適用于2022級(jí)普通本科學(xué)生，閉卷考試，時(shí)間120分鐘）題號(hào)一二三四總分復(fù)核人得分得分一、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.直接將答案寫在題中的橫線上.）閱卷人1.微分方程的通解為.2.已知點(diǎn)與，則與向量同方向的單位向量為.3.設(shè)，則.4.交換積分次序.5.設(shè)L為拋物線上點(diǎn)到點(diǎn)之間的一段弧，則.6.級(jí)數(shù)的收斂性是（填收斂或發(fā)散）．得分閱卷人二、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,將正確選項(xiàng)前的字母寫在題干后的方括號(hào)內(nèi)）1.以下是二階微分方程的是 【】(A)； (B)；(C)； (D).2.設(shè)向量與相互垂直，則 【】(A)； (B)； (C)； (D).3.下列說(shuō)法正確的是 【】(A)若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則函數(shù)在點(diǎn)可微；(B)若函數(shù)在點(diǎn)可微,則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；(C)若函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點(diǎn)可微；(D)以上說(shuō)法都不對(duì).4.設(shè),則 【】(A)； (B)； (C)； (D).5.設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則【】(A)； (B)； (C)； (D).6.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是【】(A)； (B)； (C)； (D).注意：以下各大題都要寫出必要的計(jì)算步驟或推導(dǎo)過(guò)程，直接寫出答案者不得分．得分閱卷人三、簡(jiǎn)答題（本題共6小題，每題8分，共48分）1.求微分方程的通解.2.求過(guò)點(diǎn)且平行于兩平面的直線方程.3.設(shè),且具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求,.4.設(shè)，計(jì)算二重積分.5.計(jì)算，其中為介于與之間的圓柱體的整個(gè)表面的外側(cè).6.求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).得分閱卷人四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）1.求由曲面和圍成的立體的體積.2.在平面上求一點(diǎn)，使它到軸、軸和直線的距離的平方和最小.參考答案（適用于2022級(jí)普通本科學(xué)生，閉卷考試，時(shí)間120分鐘）一、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.直接將答案寫在題中的橫線上.）1.;2.;3.;4.;5.;6.收斂.二、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,將正確選項(xiàng)前的字母寫在題干后的方括號(hào)內(nèi)）1.B;2.C;3.B;4.C;5.C;6.D.注意：以下各大題都要寫出必要的計(jì)算步驟或推導(dǎo)過(guò)程，直接寫出答案者不得分．三、簡(jiǎn)答題（本題共6小題，每題８分，共48分）1.求微分方程的通解.解方程為一階非齊次線性微分方程，其中，………1分由通解公式得………3分………4分………6分………7分.………8分2.求過(guò)點(diǎn)且平行于兩平面的直線方程.解方法一過(guò)點(diǎn)且平行于平面與的平面方程分別為與,………4分即與,………6分于是所求直線方程為………8分方法二兩已知平面的法向量為………2分所求直線的方向向量為.………6分所以直線的點(diǎn)向式方程為,即.………8分3.設(shè),且具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求,.解………4分………6………84.設(shè)，計(jì)算二重積分.解首先有.………2分對(duì)于上式右邊第一個(gè)積分,利用極坐標(biāo)計(jì)算得………4分至于第二個(gè)積分,因?yàn)榉e分區(qū)間關(guān)于軸對(duì)稱,且被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),所以有.………6分于是………8分5.計(jì)算，其中為介于與之間的圓柱體的整個(gè)表面的外側(cè).解記圍成的空間區(qū)域?yàn)?，由高斯公式得……?分………4分………6分.………8分6.求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).解因,所以冪級(jí)數(shù)收斂半徑，收斂區(qū)間為；………2分當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，………3分所以原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?………4分設(shè)，則，………5分記，………6分則，兩邊積分得………7分所以，.………8分四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）1.求由曲面和圍成的立體的體積.解法一由得，即立體在面上的投影區(qū)域，………1分由二重積分得………2分………4分………5分………6分.………8分法二設(shè)立體區(qū)域?yàn)?，則，………1分由三重積分得………3分………5分………6分.………8分2.在平面上求一點(diǎn)，使它到軸、軸和直線的距離