四川省綿陽市2023屆高三三診模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)模擬試題（含答案）

四川省綿陽市2023屆高三三診模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)模擬試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．2．設(shè)集合，，則（

）．A． B． C． D．3．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．32 B．30 C．60 D．704．已知，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．5．算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具．“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位、…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現(xiàn)在從個位、十位和百位這三組中隨機(jī)選擇往下?lián)?粒上珠，且往上撥2粒下珠，則算盤表示的數(shù)的個數(shù)為（

）A．9 B．18 C．27 D．366．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時，面積為（

）．A． B． C． D．7．設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．或 C． D．9．中國古代數(shù)學(xué)巨作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.如圖所示，是一曲池形幾何體，其中均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑比為，對應(yīng)的圓心角為，且，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．10．材料一：已知三角形三邊長分別為，，，則三角形的面積為，其中．這個公式被稱為海倫-秦九韶公式材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B．3 C． D．611．設(shè)、橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，，，使得離心率，則e取值范圍為（

）A．（0，1） B．C． D．12．已知，分別為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若的展開式中的系數(shù)為9，則實(shí)數(shù)．14．已知，則．15．已知的圓心在曲線上，且與直線相切，則的面積的最小值為.16．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個動點(diǎn)，且平面.給出下列四個結(jié)論：①動點(diǎn)的軌跡是一段圓??；②存在符合條件的點(diǎn)，使得；③三棱錐的體積的最大值為；④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)85205310250130155(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)：潛伏期天潛伏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計(jì)200(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，設(shè)潛伏期超過6天的人數(shù)為X，則X的期望是多少？附：0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中.18．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，D為邊上一點(diǎn)，.（1）若，求；（2）若的面積為，求的長.19．如圖，在等腰直角中，，和都垂直于平面，且，為線段上一點(diǎn)，設(shè)（）.(1)當(dāng)為何值時，平面；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時，求四棱錐的體積.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)P，交C于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)C在A，B處的切線交于點(diǎn)Q，證明．21．已知函數(shù)，（其中常數(shù)）(1)當(dāng)時，求的極大值；(2)當(dāng)時，曲線上總存在相異兩點(diǎn)、，使得曲線在點(diǎn)、處的切線互相平行，求的取值范圍．（二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線、相交于點(diǎn)A，B.（Ⅰ）將曲線、的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求弦AB的長.[選修4—5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的定義域；（2）設(shè)，當(dāng)時，成立，求的取值范圍．1．D【分析】先求，結(jié)合復(fù)數(shù)的模求解公式即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，則，所以．故選：D．2．A【分析】解絕對值不等式、一元二次不等式分別求集合A、B，再由集合并運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：A3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】先得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)，再根據(jù)取得最小值的條件求出，然后由投影的定義可求得答案.【詳解】，由題意，，解得，所以在方向上的投影為.故選：D.5．B【分析】根據(jù)珠算的運(yùn)算法則及題干描述的操作，從個、十、百上珠中選1粒往下?lián)芗矗轮橥蠐芊謨煞N情況，全部來自個、十、百即或來自個、十、百中的兩個即，由組合規(guī)律求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)珠算的運(yùn)算法則及題干描述的操作，從個、十、百上珠中選1粒往下?lián)芗?，下珠往上撥分兩種情況，全部來自個、十、百即或來自個、十、百中的兩個即，則總數(shù)為.故選：B.6．B【分析】利用雙曲線的定義可得，又，進(jìn)而即得.【詳解】∵雙曲線，∴，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故選：B.7．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以因?yàn)樗?，所以．故選：B8．D【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，解出的值之后驗(yàn)證函數(shù)在處取得極大值.【詳解】函數(shù)，，函數(shù)在處有極大值，可得，解得或，當(dāng)時，，時，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不合題意.當(dāng)時，，時，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意.綜上可得，.故選：D9．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，在下底面作，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)由題意可得，則即即則，所以又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為故選：A10．C根據(jù)材料二可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橢圓短軸的頂點(diǎn)時，可得的面積取得最大值.【詳解】由材料二可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，其焦距，長軸，短軸當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橢圓短軸的頂點(diǎn)時，可得的面積取得最大值，，故選：C.本題考查橢圓的定義及三角形面積的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力.11．C【分析】在△中，由正弦定理結(jié)合條件有：，再由的范圍可求出離心率.【詳解】由，，設(shè)，，在中，由正弦定理有：，離心率，則

；解得：，由于，得，顯然成立，由有，即，得，所以橢圓離心率取值范圍為.故選：C12．D【分析】由奇偶性求得的解析式，化簡不等式，并用分離參數(shù)法變形為，設(shè)，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式右邊的取值范圍，從而可得的范圍．【詳解】因?yàn)?，分別為上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，①，所以，即②，聯(lián)立①②可解得，，所以不等式可化為，因?yàn)?，則，故，設(shè)，則，故，因?yàn)?，，所以，故在上是增函?shù)，則，又因?yàn)樵跁r是增函數(shù)，所以，則，因?yàn)樵诤愠闪ⅲ裕哉龑?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D．13．1【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出展開式的通項(xiàng)公式，即可得出的展開式中為或時，則的系數(shù)為，即可解出答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，則，，所以展開式中的系數(shù)為，解得．故114．##【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求得，利用三角恒等變換將化為，即可求得答案.【詳解】由得：，即得，故，故15．【分析】由題設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意得到直線的距離即為半徑，再利用公式結(jié)合基本不等式求解即可得半徑的最小值，進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)榈膱A心在曲線上，故設(shè),因?yàn)榕c直線相切,所以到直線的距離即為半徑，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的面積的最小值為.故答案為:.16．②③④【分析】對于①，利用線線平行可證得平面平面，進(jìn)而知動點(diǎn)的軌跡；對于②，利用垂直的性質(zhì)的可判斷；對于③，利用三棱錐的體積公式可求得；對于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形可求解；【詳解】對于①，分別取和的中點(diǎn)，連接，，，由正方體性質(zhì)知，，平面，平面，所以平面,又平面，，所以平面平面，當(dāng)在上運(yùn)動時，有平面，故動點(diǎn)的軌跡是線段，故①錯誤；對于②，當(dāng)為線段中點(diǎn)時，，，又，，故②正確；對于③，三棱錐的體積，又所以三棱錐的體積的最大值為，故③正確；對于④，連接，則與平面所成角，則，又，所以的取值范圍是，故④正確；故正確結(jié)論的序號是①③④，故②③④17．(1)天；(2)表格見解析，沒有95%的把握認(rèn)為潛伏期與年齡有關(guān)；(3)8.【分析】（1）由平均數(shù)公式計(jì)算即可；（2）從已知數(shù)據(jù)知潛伏期有的有600人，超過6天的有400人，由分層抽樣按比例可得潛伏期不超過6天的抽樣人數(shù)及超過6天的抽樣人數(shù)，由此可填寫列聯(lián)表，計(jì)算后可得結(jié)論；（3）由題可知，該地區(qū)每1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率為，則服從二項(xiàng)分布：，由二項(xiàng)分布的期望公式可直接得期望．【詳解】（1）(天)．（2）根據(jù)題意，補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：潛伏期＜6天潛伏期≥6天總計(jì)50歲以上（含50歲）653510050歲以下5545100總計(jì)12080200則，經(jīng)查表，得，所以，沒有95%的把握認(rèn)為潛伏期與年齡有關(guān).（3）由題可知，該地區(qū)每1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率為，設(shè)調(diào)查的20名患者中潛伏期超過6天的人數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布：，，，則，所以的期望為.18．（1）；（2）.【分析】（1）直接由正弦定理求得；（2）利用面積公式求出，利用向量中線公式求出，用數(shù)量積求出模長即可.【詳解】解：（1）依題意得，則，在中，由正弦定理得：，即，所以.（2）因?yàn)?，所以，由可得，，則，所以.在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．19．(1)當(dāng)時，平面(2)【分析】（1）取上一點(diǎn)，當(dāng)，，兩兩平行且時，，，此時通過線面平行判定定理證明平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，使用空間向量表示出二面角的余弦值，求出實(shí)數(shù)的值，再求出四棱錐的體積即可.【詳解】（1）當(dāng)時，平面，理由如下：當(dāng)時，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，，則，，又∵平面，平面，∴，且，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，故當(dāng)時，平面.（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，過垂直于平面的直線為軸，，所在直線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∵，∴，∴，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，，易知平面的一個法向量為，當(dāng)二面角的余弦值為時，，解得（舍）或，∴，點(diǎn)到平面的距離，梯形的面積，∴四棱錐的體積.20．(1)；(2)答案見解析.【分析】設(shè)斜率為且過點(diǎn)P的直線為l：，其中.設(shè).（1）代入，得l：，將其與聯(lián)立，后由，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義可得答案；（2）利用表示出C在A，B處的切線方程，聯(lián)立切線方程得Q坐標(biāo)，注意到，說明即可.【詳解】（1）設(shè)斜率為且過點(diǎn)P的直線為l：，其中.設(shè).當(dāng)時，l：，將其與聯(lián)立，消去x得：，由韋達(dá)定理有.又由拋物線定義知，又，結(jié)合，則.得C的方程為；（2）由（1）可得，P，則l：，將其與拋物線方程聯(lián)立，消去x得：，則.設(shè)C在A點(diǎn)處的切線方程為，C在B點(diǎn)處的切線方程為.將與聯(lián)立，消去x得：，因?yàn)閽佄锞€切線，則聯(lián)立方程判別式，又，則，得，同理可得.將兩切線方程聯(lián)立有，代入，，解得，得.則，又，則，同理可得.注意到，則等價，下面說明.，因，則.又，則，故.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為直線與拋物線綜合題，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，但將l設(shè)為可簡化運(yùn)算；（2）問所涉字母較多，解決問題的關(guān)鍵是利用及將相關(guān)表達(dá)式統(tǒng)一為與有關(guān)的形式.21．(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極大值；（2）由（、且）可得出，利用基本不等式可得出對恒成立，求出在時的最大值，即可得出的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)或時，；當(dāng)時，，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減故函數(shù)的極大值為.（2）解：因?yàn)?，則，由題意，可得