2022-2023學年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）期末數(shù)學試卷含答案

2022-2023學年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個詵項中，只有一項是特合題目要求的.1．（5分）拋物線y＝2x2的焦點坐標為（）A．（1，0） B．（14，0） C．（0，14） D．（0，2．（5分）直線l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，則a＝﹣2是l1∥l2的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要3．（5分）設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2a2+7a1，則公比q為（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣34．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，則S19＝（）A．380 B．200 C．190 D．1005．（5分）若雙曲線y2a2-xA．y26-xC．y23-6．（5分）有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為4，若該塔形幾何體是由7個正方體構成，則該塔形的表面積（含最底層的正方體的底面面積）為（）A．127 B．1272 C．143 7．（5分）已知橢圓C：x28+y22=1和點P（2，﹣1），直線l與橢圓C交于A．2x-y-52=0 B．2x+y-32=0 C．x﹣2y﹣2＝08．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，直線l過坐標原點并與雙曲線交于P，Q兩點（P在第一象限），過點P作l的垂線與雙曲線交于另一個點A，直線A．1 B．22 C．2 D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，則下列命題正確的有（）A．S7是數(shù)列{Sn}中的最大項 B．a(chǎn)7是數(shù)列{an}中的最大項 C．S14＝0 D．滿足Sn＞0的n的最大值為13（多選）10．（5分）設圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直線l：3x+4y+3＝0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點為A、B，M、N為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（）A．|PA|的取值范圍為[1，+∞） B．四邊形PACB面積的最大值為3 C．滿足∠APB＝60°的點P有兩個 D．△CAB的面積最大值為3（多選）11．（5分）數(shù)列{an}滿足an+2＝Aan+1+Ban（A，B為非零常數(shù)），則下列說法正確的有（）A．若A＝1，B＝﹣1，則數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列 B．對任意的非零常數(shù)A，B，數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列 C．若A＝3，B＝﹣2，則數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列 D．若正數(shù)A，B滿足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，則數(shù)列{a2n}為遞增數(shù)列（多選）12．（5分）已知拋物線E：y2＝2x的焦點為F，直線AB，CD過焦點F分別交拋物線E于點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x軸上方，且直線BC經(jīng)過點(14，0)，記BC，AD的斜率分別為kBC，A．y1y2＝﹣1 B．y2C．y1y4＝﹣2 D．k三、填空題：本題共4小題，每小?5分，共20分.13．（5分）已知圓C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0與圓C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為．14．（5分）已知拋物線E：y2＝4x，直線l：y＝2（x﹣1）與E相交于A，B兩點，若E的準線上一點M滿足∠AMB＝90°，則M的坐標為．15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，離心率為e，過原點的直線與C的左右兩支分別交于M，N兩點，若|16．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，{1nan}為公差為1的等差數(shù)列，若不等式2n-λ(4四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步?.17．（10分）已知圓C的圓心坐標為（1，2），且圓C與直線l：x﹣2y﹣7＝0相切，過點A（3，0）的動直線m與圓C相交于M，N兩點，點P為MN的中點．（1）求圓C的標準方程；（2）求|OP18．（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是等比數(shù)列{bn}的前n項和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）求Sn的最大值和最小值．19．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．（1）求證：EC⊥平面ADF（2）在線段EC上是否存在點G（不含端點），使得平面GBD與平面ADF的夾角為45°，若存在，指出G點的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．（1）求證：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（2）若bn=an+1anan+121．（12分）已知拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在x軸的正半軸，點Q（m，2）拋物線上，Q到拋物線的準線的距離為2．（1）求拋物線C的方程；（2）動點P在拋物線的準線上，過點P作拋物線C的兩條切線分別交y軸于A，B兩點，當△PAB面積為2時，求點P的坐標．22．（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為3（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C外一點P（2，2）任作一條直線與橢圓交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足2|PA||PB|＝|PQ||PA|+|PQ||PB|，證明：點Q必在某確定直線上．

2022-2023學年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個詵項中，只有一項是特合題目要求的.1．（5分）拋物線y＝2x2的焦點坐標為（）A．（1，0） B．（14，0） C．（0，14） D．（0，【解答】解：整理拋物線方程得x2=1∴焦點在y軸，p=∴焦點坐標為（0，18故選：D．2．（5分）直線l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，則a＝﹣2是l1∥l2的（）條件．A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要【解答】解：直線l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，l1∥l2，則﹣a2＝a﹣2，即a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或a＝1，當a＝﹣2時，直線l1，l2不重合，符合題意，當a＝1時，直線l1，l2重合，不符合題意，故a＝﹣2，所以a＝﹣2是l1∥l2的充要條件．故選：C．3．（5分）設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2a2+7a1，則公比q為（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣3【解答】解：∵S3＝2a2+7a1，∴a1+a1q+a1q∵a1≠0，∴q2﹣q﹣6＝0，即（q﹣3）（q+2）＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），∴q＝3．故選：B．4．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，則S19＝（）A．380 B．200 C．190 D．100【解答】解：a1＝2，則a1+a10＝a4+a7＝22，解得a10＝20，故S19故選：A．5．（5分）若雙曲線y2a2-xA．y26-xC．y23-【解答】解：已知雙曲線y2a2則a=3t，b＝2t，（又雙曲線過點(2則93則t2＝1，則t＝1，則雙曲線的標準方程為y2故選：C．6．（5分）有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為4，若該塔形幾何體是由7個正方體構成，則該塔形的表面積（含最底層的正方體的底面面積）為（）A．127 B．1272 C．143 【解答】解：最底層正方體的棱長為4，則該正方體的表面積為6×42＝96；自下向上第二層正方體的棱長為22，它的側(cè)面積為4×(22自下向上第三層正方體的棱長為2，它的側(cè)面積為4×22＝16；自下向上第四層正方體的棱長為2，它的側(cè)面積為4×(2自下向上第五層正方體的棱長為1，它的側(cè)面積為4×12＝4；自下向上第五層正方體的棱長為22，它的側(cè)面積為4×（22）最上層正方體的棱長為12，它的側(cè)面積為4×（12）∴該塔形幾何體的表面積為S＝96+32+16+8+4+2+1＝159．故選：D．7．（5分）已知橢圓C：x28+y22=1和點P（2，﹣1），直線l與橢圓C交于A．2x-y-52=0 B．2x+y-32=0 C．x﹣2y﹣2＝0【解答】解：由題意可得OP的中點（1，-1設A（x1，y1），B（x2，y2），由四邊形OAPB為平行四邊形可得AB的中點（1，-12），即x1將A，B的坐標代入橢圓的方程可得x128整理可得：y1-y2x即直線l的斜率為12示意圖直線l的方程為y+12=12（x故選：C．8．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，直線l過坐標原點并與雙曲線交于P，Q兩點（P在第一象限），過點P作l的垂線與雙曲線交于另一個點A，直線A．1 B．22 C．2 D．【解答】解：已知點B的橫生標為點Q橫坐標的兩倍，則|QO|＝|QB|，即∠OBQ＝∠BOQ，則kPQ+kAQ＝0，設P（x，y），Q（﹣x，﹣y），A（m，n），則yx+又AP⊥PQ，則yx×由①②可得y2﹣n2＝x2﹣m2，又x2a2則x2則a2＝b2，則e2即雙曲線的離心率為2，故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，則下列命題正確的有（）A．S7是數(shù)列{Sn}中的最大項 B．a(chǎn)7是數(shù)列{an}中的最大項 C．S14＝0 D．滿足Sn＞0的n的最大值為13【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，∴5a1+10d＝9a1+36d，整理得a1=-132∴an＝a1+（n﹣1）d=-132d+nd﹣d＝（n-∵d＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴S7是數(shù)列{Sn}中的最大項，故A正確；∵d＜0，a7＞0，∴a1是數(shù)列{an}中的最大項，故B錯誤；S14＝14a1+14×132d=14×（-132d）∵S14＝0，d＜0，a7＞0，a8＜0，∴滿足Sn＞0的n的最大值為13，故D正確．故選：ACD．（多選）10．（5分）設圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直線l：3x+4y+3＝0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點為A、B，M、N為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（）A．|PA|的取值范圍為[1，+∞） B．四邊形PACB面積的最大值為3 C．滿足∠APB＝60°的點P有兩個 D．△CAB的面積最大值為3【解答】解：圓心C（1，1）到直線l：3x+4y+3＝0的距離d=|3+4+3|所以|PC|≥d＝2，因為圓的半徑為r=3根據(jù)切線長公式可得|PA|=|PC當PC⊥l時取得等號，所以|PA|的取值范圍為[1，+∞），故A正確；因為PA⊥AC，所以四邊形PACB的面積等于2×S△PAC＝|PA|×|AC|=3|PA|≥四邊形PACB的最小值為3，故B錯誤；因為∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，在直角三角形APC中，|AC||CP|=sin30°=12，所以|設P（a，-3a+34），因為|CP|=(a-1整理得25a2+10a﹣127＝0，則有Δ＝100+12700＞0，所以滿足條件的點P有兩個，故C正確；因為S△CAB=12|CA||CB|sin∠ACB=3所以當sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，面積有最大值為32此時四邊形PACB為正方形，則|PC|=3+3=6故選：AC．（多選）11．（5分）數(shù)列{an}滿足an+2＝Aan+1+Ban（A，B為非零常數(shù)），則下列說法正確的有（）A．若A＝1，B＝﹣1，則數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列 B．對任意的非零常數(shù)A，B，數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列 C．若A＝3，B＝﹣2，則數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列 D．若正數(shù)A，B滿足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，則數(shù)列{a2n}為遞增數(shù)列【解答】解：對于A，因為A＝1，B＝﹣1，所以an+2＝an+1﹣an，n∈N*，所以an+3＝an+2﹣an+1＝an+1﹣an﹣an+1，n∈N*，所以an+6＝a（n+3）+3＝﹣an+3＝an，n∈N*，所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，故正確；對于B，當A＝2，B＝﹣1時，則有an+2＝2an+1﹣an，n∈N*，即有an+1=an+2+an由等差中項的性質(zhì)可知{an}為等差數(shù)列，故錯誤；對于C，當A＝3，B＝﹣2時，an+2＝3an+1﹣2an，n∈N*，即有an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），n∈N*，當an+1﹣an≠0時，數(shù)列{an+1﹣an}是以2為公比的等比數(shù)列，故錯誤；對于D，因為正數(shù)A，B滿足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，所以A＝B﹣1＞0，則B＞1，所以an+2＝Aan+1+Ban＝（B﹣1）an+1+Ban，n∈N*，所以an+2+an+1＝B（an+1+an），n∈N*，設數(shù)列前n項和為Sn，則有S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝（a1+a2）[1+B2+B4+…+B2（n﹣1）]＝B?1-B2n1-B2所以S2n﹣1＝B?1-B2n-11-B2所以a2n＝S2n﹣S2n﹣1=B2n-B2n+1所以a2（n+1）=B2(n+1)(1-B)1-B所以a2（n+1）﹣a2n=B2(n+1)(1-B)1-B2-B2n(1-B)1-B2=B2n(1-B)1-故選：AD．（多選）12．（5分）已知拋物線E：y2＝2x的焦點為F，直線AB，CD過焦點F分別交拋物線E于點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x軸上方，且直線BC經(jīng)過點(14，0)，記BC，AD的斜率分別為kBC，A．y1y2＝﹣1 B．y2C．y1y4＝﹣2 D．k【解答】解：由拋物線E：y2＝2x可得，拋物線的焦點F(1設直線AB的方程為x=ty+1聯(lián)立x=ty+12y2=2x，整理可得：所以y1y2＝﹣1，故選項A正確；同理可得：y3y4＝﹣1，由直線BC經(jīng)過點(14，0)則NC→而NC→=(x則(y整理可得：y2也即(y因為y2≠y3，所以y2又y1y2＝﹣1，y3y4＝﹣1，所以y1y4＝﹣2，故選項C正確；y2y4因為kBC=y則kBCkAD故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小?5分，共20分.13．（5分）已知圓C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0與圓C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（2，﹣1）．【解答】解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0與圓C2：x2+y2+2ky﹣1＝0，聯(lián)立兩圓方程可得：2ky﹣1+kx﹣2y﹣1＝0，變形可得k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，即兩圓公共弦所在直線的方程為k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，則有2y+x=0y+1=0，即x=2y=-1，故兩圓的公共弦所在直線恒過點故答案為：（2，﹣1）．14．（5分）已知拋物線E：y2＝4x，直線l：y＝2（x﹣1）與E相交于A，B兩點，若E的準線上一點M滿足∠AMB＝90°，則M的坐標為（﹣1，1）．【解答】解：由拋物線E：y2＝4x的方程可知，準線方程為x＝﹣1，因為M在準線上，設M（﹣1，y），則MA→由∠AMB＝90°，則MA→所以xA聯(lián)立y2=4xy=2(x-1)，消去y整理得x2則xA+xB＝3，xAxB＝1，所以yA+yB＝2（xA+xB﹣2）＝2，yAyB＝4（xAxB﹣xA﹣xB+1）＝﹣4，綜上，y2﹣2y+1＝0，則y＝1，故M（﹣1，1）．故答案為：（﹣1，1）．15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，離心率為e，過原點的直線與C的左右兩支分別交于M，N兩點，若|MF||【解答】解：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為設雙曲線C：x2a2由雙曲線的性質(zhì)可得：四邊形MF1NF為平行四邊形，又∠MFN＝60°，則∠F1MF＝120°，在△MFF1中，由余弦定理可得4c又||MF1|﹣|MF||＝2a，|MF||MF1|＝4，則4c2＝4a2+12，即c2＝a2+3，則e2當且僅當3a則e2+a故答案為：1+316．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，{1nan}為公差為1的等差數(shù)列，若不等式2n-λ(4an【解答】解：由題意，可知11?則1nan=1+1?（故an=1n2，n∴對任意的n∈N*，不等式2n-λ(4an-1)≥0即為2化簡，得2n﹣λ（4n﹣1）≥0，整理，得λ≤2n4n-1，n構造數(shù)列{bn}：令bn=2n4n-1，則bn∵bn+1﹣bn=2∴當n∈N*時，4n﹣1≥4×1﹣1＝3＞0，4n+3＞0，2n＞0，則當4n﹣5＜0，即n＜54時，bn+1＜b當4n﹣5＞0，即n＞54時，bn+1＞b∴b1＞b2＜b3＜b4＜???∴當n＝2時，數(shù)列{bn}取得最小值b2=2∴λ≤{bn}min＝b2=4故實數(shù)λ的取值范圍為：（﹣∞，47故答案為：（﹣∞，47四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步?.17．（10分）已知圓C的圓心坐標為（1，2），且圓C與直線l：x﹣2y﹣7＝0相切，過點A（3，0）的動直線m與圓C相交于M，N兩點，點P為MN的中點．（1）求圓C的標準方程；（2）求|OP【解答】解：（1）由題意知點C到直線l的距離為d=|1×1-2×2-7|12+(-2)∴圓C的半徑為25，則圓C的標準方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝20；（2）依題意作出圖形如圖所示，∵P為弦MN的中點，由垂徑定理知：CP⊥MN，又MN過定點A，∴點P的軌跡為以CA為直徑的圓，圓心為A，C的中點（2，1），半徑為12|CA|=∴|OP→||OP→|18．（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是等比數(shù)列{bn}的前n項和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）求Sn的最大值和最小值．【解答】解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由a1+3d=ban＝﹣1+3（n﹣1）＝3n﹣4，bn＝8?(-1（2）Sn當n＝1時，Sn有最大值為8，當n＝2時，Sn有最小值為4．19．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．（1）求證：EC⊥平面ADF（2）在線段EC上是否存在點G（不含端點），使得平面GBD與平面ADF的夾角為45°，若存在，指出G點的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）證明：以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1），F(xiàn)（1，1，1），∴EC→=（0，1，﹣1），DA→∵EC→?DA→=0，EC→?DF→∵DA∩DF＝D，∴EC⊥平面ADF．（2）設EG→=λEC→（0＜λ＜1），則G（0，λ，1﹣λ），DG設平面GBD的法向量為n→=（m，n，則n→?DG→=nλ+t(1-λ)=0n→?DB→=m+n=0，令n∵平面GBD與平面ADF的夾角為45°，且平面ADF的法向量為EC→∴cos45°=|∵0＜λ＜1，∴解得λ=1∴存在點G（不含端點），使得平面GBD與平面ADF的夾角為45°，G為線段EC上靠近E的三等分點．20．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．（1）求證：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（2）若bn=an+1anan+1【解答】解：（1）證明：由a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1，可得n≥2時，3an﹣1﹣2Sn﹣1＝2n﹣3，上面兩式相減可得3an﹣3an﹣1﹣2Sn+2Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n+3，化為an﹣3an﹣1＝2，可得an+1＝3（an﹣1+1），則數(shù)列{an+1}首項為2，公比為3的等比數(shù)列；（2）bn=a所以Tn=12（1-15+1