北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：2.2.3.2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

2023/12/28北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：2.2.3.2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種,分別為相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.2.圓與圓的位置關(guān)系的判斷(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓方程分別為則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下:(2)幾何法:若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:【做一做1】

圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為(

)A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離解析:兩圓圓心分別為O1(-2,0),O2(2,1),半徑分別為r1=2,r2=3.答案:B【做一做2】

若圓x2+y2=9與圓(x-4)2+(y+3)2=r有3條公切線,則實(shí)數(shù)r的值為(

)A.8 B.64 C.2 D.4解析:兩圓有3條公切線,即兩圓外切,答案:D思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則這兩圓外切.(

)(2)若兩圓無公共點(diǎn),則兩圓相離.(

)(3)兩個(gè)半徑不相等的同心圓從兩圓位置關(guān)系上來說為內(nèi)含.(

)(4)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1,且λ∈R),此圓系方程涵蓋了過圓C1與圓C2的交點(diǎn)的所有圓的方程.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析探究一判斷兩圓的位置關(guān)系

【例1】已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2:x2+y2+2x=0.(1)當(dāng)m=1時(shí),圓C1與圓C2是什么關(guān)系?(2)若兩圓有三條公切線,求實(shí)數(shù)m的值;(3)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含?分析:(1)參數(shù)m的值已知,求解時(shí)可先找出圓心及半徑,然后比較兩圓的圓心距d與r1+r2,|r1-r2|的大小關(guān)系.(2)兩圓有三條公切線即兩圓相外切,由此建立關(guān)于m的等式求解.(3)假設(shè)存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含,則圓心距d<|r1-r2|.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析反思感悟判斷兩圓的位置關(guān)系,通常采用幾何法,而不是用兩圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷,因?yàn)樗鼈冎g并不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,如兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),兩圓可能內(nèi)切,也可能外切;兩圓沒有公共點(diǎn)時(shí),它們可能相離,也可能內(nèi)含,無法確定是哪一種位置關(guān)系.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1

(1)若圓C1:x2+y2-2mx+m2=4與圓C2:x2+y2+2x=8外切,則m的值為(

)A.-6 B.4 .-6或4 D.不存在(2)若圓B:x2+y2+b=0與圓C:x2+y2-6x+8y=0沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是

.

探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析解析:(1)將兩圓的方程整理得圓C1:(x-m)2+y2=4,圓C2:(x+1)2+y2=9,所以兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(m,0),(-1,0),半徑分別為2,3.由已知得|m+1|=2+3,解得m=-6或m=4.(2)由已知圓C:(x-3)2+(y+4)2=25,圓B:x2+y2=-b,∵-b>0,∴b<0.∵圓B的圓心恰在圓C上,要想兩圓無公共點(diǎn),圓B的半徑答案:(1)C

(2)b<-100探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析兩圓的公共弦問題【例2】

已知圓O:x2+y2=25和圓C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的垂直平分線的方程;(2)求AB所在直線的方程;(3)求公共弦AB的長(zhǎng)度.分析:(1)線段AB的垂直平分線即兩圓圓心的連線;(2)兩圓方程相減即得AB所在直線的方程;(3)利用幾何法根據(jù)勾股定理求AB的長(zhǎng).探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析解:(1)因?yàn)閮蓤A相交于A,B兩點(diǎn),所以線段AB的垂直平分線就是兩圓的圓心的連線.又圓O:x2+y2=25的圓心O(0,0),圓C:(x-2)2+(y-1)2=25的圓心C(2,1),所以kOC=,由點(diǎn)斜式得y=x,即x-2y=0.故AB的垂直平分線的方程為x-2y=0.(2)將兩圓方程相減即得公共弦AB所在直線的方程為4x+2y-5=0.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析反思感悟1.兩圓相交時(shí),公共弦所在的直線方程的求法若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程.2.公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).(2)幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.3.(1)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓方程相減所得直線方程即為兩圓的公切線方程;當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓方程相減所得直線方程為兩圓的內(nèi)公切線的方程.(2)當(dāng)兩圓相離時(shí),兩圓方程相減也能得一條直線方程,但這條直線方程不是兩圓的公共弦所在的直線方程.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2

已知圓C1:x2+y2+2x+2y-8=0與圓C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B兩點(diǎn).

(1)求公共弦AB所在直線的方程;(2)求圓心在直線y=-x上,且經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓的方程.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析探究三與兩圓相切有關(guān)的問題

【例3】已知點(diǎn)F(0,1),一動(dòng)圓過點(diǎn)F且與圓x2+(y+1)2=8內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.分析:解答本題的關(guān)鍵是通過內(nèi)切建立等量關(guān)系,解題時(shí)應(yīng)注意半徑間的關(guān)系.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析反思感悟涉及與圓相關(guān)的軌跡求法:(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)利用圓與圓的位置關(guān)系建立等量關(guān)系;

(3)對(duì)上述等量關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn);(4)明確曲線形式,并驗(yàn)證范圍的有效性.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3

若圓x2+y2-ax+2y+1=0與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱,過點(diǎn)C(-a,a)的圓P與y軸相切,則圓心P的軌跡方程為

(

)

A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y-1=0解析:由圓x2+y2-ax+2y+1=0與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y=x-1上.故可得a=2,即點(diǎn)C(-2,2),所以過點(diǎn)C(-2,2)且與y軸相切的圓P的圓心的軌跡方程為(x+2)2+(y-2)2=x2.整理得y2+4x-4y+8=0.答案:C探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析忽略了兩圓內(nèi)切的情況而致誤【典例】

求半徑為4,與圓A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直線y=0相切的圓C的方程.錯(cuò)解由題意知所求的圓與直線y=0相切,且半徑為4,設(shè)其圓心C的坐標(biāo)為(a,4),則其方程為(x-a)2+(y-4)2=42.圓A的方程可整理為(x-2)2+(y-1)2=32,所以其圓心為A(2,1),半徑為3.由兩圓相切得|CA|=3+4=7,探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析正解由題意設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為C.因?yàn)閳AC與直線y=0相切且半徑為4,所以圓心C的坐標(biāo)為(a,4)或(a,-4).依題可知圓A:x2+y2-4x-2y-4=0的圓心A的坐標(biāo)為(2,1),半徑為3.若兩圓相切,則|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.當(dāng)圓心C的坐標(biāo)為C(a,4)時(shí),當(dāng)圓心C的坐標(biāo)為(a,-4)時(shí),探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析糾錯(cuò)心得1.當(dāng)圓和直線y=0相切時(shí),圓心可能在直線y=0的上方,也可能在直線y=0的下方,圓與圓相切有外切和內(nèi)切兩種情況,考慮問題應(yīng)全面.2.錯(cuò)解只考慮了圓心在直線y=0上方的情形,同時(shí)只考慮了兩圓外切的情況.1234561.圓C1:(x-1)2+(y-2)2=4與圓C2:(x+2)2+(y+2)2=9的位置關(guān)系是(

)A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切答案:B1234562.已知圓x2+y2-4x+6y=0和圓x2+y2-6x=0交于A,B兩點(diǎn),則公共弦AB的垂直平分線的方程為(

)A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0解析:由題意知,公共弦AB的垂直平分線即為兩圓圓心連線所在直線.兩圓的圓心分別為(2,-3),(3,0).故所求直線的斜率為

直線方程為3x-y-9=0.答案:C1234563.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程為(

)A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x±4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36答案:D1234564.過兩圓C1:(x-4)2+(y-5)2=10,C2:(x+2)2+(y-7)2=12的交點(diǎn)的直線方程為

.

解析:將兩圓方程化為一般式并聯(lián)立得

兩式相減得12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0.答案:6x-2y