第二章金融工程的基本分析方法

第二章金融工程的根本分析方法12/27/20231Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity無(wú)套利定價(jià)法假設(shè)市場(chǎng)是有效率的話，市場(chǎng)價(jià)錢(qián)必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到平衡的形狀。這就是無(wú)套利的定價(jià)原那么。根據(jù)這個(gè)原那么，在有效的金融市場(chǎng)上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，該當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)展套利的時(shí)機(jī)不復(fù)存在。12/27/20232Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity無(wú)套利的價(jià)錢(qián)是什么？無(wú)套利平衡的價(jià)錢(qián)必需使得套利者處于這樣一種境地：他經(jīng)過(guò)套利構(gòu)成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值，與他沒(méi)有進(jìn)展套利活動(dòng)時(shí)構(gòu)成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量情況。12/27/20233Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例子假設(shè)如今6個(gè)月即期年利率為10%〔延續(xù)復(fù)利，下同〕，1年期的即期利率是12%。假設(shè)有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？12/27/20234Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity答案是一定的。套利過(guò)程是：第一步，買(mǎi)賣(mài)者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金〔假設(shè)1000萬(wàn)元〕第二步，簽署一份協(xié)議〔遠(yuǎn)期利率協(xié)議〕，該協(xié)議規(guī)定該買(mǎi)賣(mài)者可以按11%的價(jià)錢(qián)6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元〔等于1000e0.10×0.5〕。第三步，按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。第四步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元〔等于1000e0.12×1〕，并用1110萬(wàn)元〔等于1051e0.11×0.5〕歸還1年期的債務(wù)后，買(mǎi)賣(mài)者凈賺17萬(wàn)元〔1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元〕。12/27/20235Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity無(wú)套利定價(jià)方法的主要特征：無(wú)套利定價(jià)原那么首先要求套利活動(dòng)在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的形狀下進(jìn)展。無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制〞技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合〔自融資組合〕。12/27/20236Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity如何將無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中？Case：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)錢(qián)要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，如今我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)錢(qián)為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。12/27/20237Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，Δ必需滿足下式：11－0.5=9=0.2512/27/20238Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此：12/27/20239Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity無(wú)套利定價(jià)法的運(yùn)用1、金融工具的模擬。即經(jīng)過(guò)構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模擬的金融工具具有一樣或類似的盈虧情況。12/27/202310Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例如，我們可以經(jīng)過(guò)買(mǎi)入一份看漲期權(quán)同時(shí)賣(mài)出一份看跌期權(quán)來(lái)模擬股票的盈虧。12/27/202311Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity2、

金融工具的合成金融工具的合成是指經(jīng)過(guò)構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模擬的金融工具具有一樣價(jià)值。例如：合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。SS=max(0,ST-X)-max(0,X-ST)+X=ST-X+X=STS=c-p+Xe-r(T-t)12/27/202312Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定一切投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)一切證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但經(jīng)過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的一切情況。12/27/202313Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)錢(qián)要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，如今我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)錢(qián)為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。12/27/202314Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以就出該期權(quán)的價(jià)值：12/27/202315Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversityGeneralcase假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)辰t股票價(jià)錢(qián)為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)錢(qián)或者上升到Su，或者下降到Sd。當(dāng)股票價(jià)錢(qián)上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，假設(shè)股票的價(jià)錢(qián)下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。12/27/202316Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity無(wú)套利定價(jià)法的思緒首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。12/27/202317Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，那么該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是〔SuΔ-fu〕e-r〔T-t〕,而構(gòu)造該組合的本錢(qián)是SΔ-f，在沒(méi)有套利時(shí)機(jī)的條件下，兩者必需相等。即SΔ-f=〔SuΔ-fu〕e-r(T-t)，所以12/27/202318Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思緒假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來(lái)期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必需等于該股票目前的價(jià)錢(qián)，因此該概率可經(jīng)過(guò)下式求得：12/27/202319Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity形狀價(jià)錢(qián)定價(jià)技術(shù)形狀價(jià)錢(qián)指的是在特定的形狀發(fā)生時(shí)報(bào)答為1，否那么報(bào)答為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)錢(qián)。假設(shè)未來(lái)時(shí)辰有N種形狀，而這N種形狀的價(jià)錢(qián)我們都知道，那么我們只需知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種形狀下的報(bào)答情況以及市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率程度，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)展定價(jià)，這就是形狀價(jià)錢(qián)定價(jià)技術(shù)。12/27/202320Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例子A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)錢(qián)是PA，一年后其價(jià)錢(qián)要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場(chǎng)的兩種形狀：上升形狀〔概率是q〕和下降形狀〔概率是1-q〕。我們?nèi)缃駚?lái)構(gòu)造兩個(gè)根本證券。根本證券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；根本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1。根本證券1如今的市場(chǎng)價(jià)錢(qián)是πu，根本證券2的價(jià)錢(qián)是πd。12/27/202321Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity購(gòu)買(mǎi)uPA份根本證券1和dPA份根本證券2組成一個(gè)假想的證券組合。該組合在T時(shí)辰無(wú)論發(fā)生什么情況，都可以產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流PA=πuuPA+πddPA或1=πuu+πdd由單位根本證券組成的組合在T時(shí)辰無(wú)論出現(xiàn)什么形狀，其報(bào)答都是1元。這是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r12/27/202322Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity

所以只需有具備上述性質(zhì)的一對(duì)根本證券存在，我們就可以經(jīng)過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)錢(qián)上升的概率p，它依賴于人們作出的客觀判別，但是人們對(duì)p認(rèn)識(shí)的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。無(wú)套利分析〔包括其運(yùn)用形狀價(jià)錢(qián)定價(jià)技術(shù)〕的過(guò)程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。12/27/202323Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity形狀價(jià)錢(qián)定價(jià)法的運(yùn)用假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場(chǎng)形狀，即期初價(jià)值是S0，期末價(jià)值是S1，這里S1只能夠取兩個(gè)值：一是S1=Su=uS0,u＞1,二是S1=Sd=dS0,d＜1。我們?nèi)缃裣胍_定的是依靠于該股票的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？12/27/202324Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全一樣：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)〔相當(dāng)于做空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券〕，同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股標(biāo)的股票。該組合的本錢(qián)是NS0-B，到了期末，該組合的價(jià)值V是NS1-RB，R是利率因子。對(duì)應(yīng)于S1的兩種能夠，V有兩個(gè)取值：假設(shè)S1=Su,那么V=Vu=NSu-RB，假設(shè)S1=Sd,那么V=Vd=NSd-RB。12/27/202325Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有NS0-B=c0,把N和B代入本式中，得到看漲期權(quán)的價(jià)值公式c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。12/27/202326Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity積木分析法積木分析法也叫模塊分析法，指將各種金融工具進(jìn)展分解和組合，以處理金融問(wèn)題。12/27/202327Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權(quán)買(mǎi)賣(mài)的四種損益圖〔不思索期權(quán)費(fèi)〕12/27/202328Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity

12/27/202329Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity

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