2022年安徽省黃山市高考數(shù)學第一次質檢試卷（理科）（附答案詳解）

2022年安徽省黃山市高考數(shù)學第一次質檢試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設復數(shù)Z=Up則復數(shù)Z的虛部是()

A.]B.IC.-\iD.V

2.命題：3xG/?,a/-a%-2>。為假命題的一個充分不必要條件是()

A.(-8,0)B.[-8,0]

C.(―8,0]D.(—00,—8]U[0,+8)

3.設集合4={x|=<0},8={x|-l<x<3),則4n(CRB)=()

X—4

A.{x|3<%<4或％=-1}B.{x|3<%<4]

C.{x|3<x<4或％=-1}D.{%|3<%<4]

4.連續(xù)函數(shù)/(x)是定義在(一1,1)上的偶函數(shù)，當不。0時，x/'Q)>0.若/(a+1)-

/(2a)>0,貝ija的取值范圍是()

A.(-pl)B.(-i,0)C.D.(-|,0)

5.在長方體力BC。一&B1GD1中，40和CD】與底面所成的角分別為30。和45。，異面

直線公。和CD1所成角的余弦值為()

A更B.立C.在D.叵

4434

6.現(xiàn)將5人安排到3個不同的小區(qū)從事防控防疫志愿者服務，要求每人只能在一個小區(qū)

服務，每個小區(qū)至少有一名志愿者，則不同的安排方案有()

A.60種B.90種C.150種D.180種

7.已知函數(shù)f(x)=2s/3sina)x+acosa)x(a)>0)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的

距離為三，且f(0)+f%)=6,則函數(shù)/(x)在下列區(qū)間單調遞增的是()

A.(-p^)B.(-7T,-y)C.(兀言)D.（第2兀）

8.一個平面封閉圖形的周長與面積之比為“周積率”，如圖

是由三個半圓構成的圖形最大半圓的直徑為6,若在最大的

半圓內隨機取一點，該點取自陰影部分的概率為g,則陰影

部分圖形的“周積率”為()

A.2B.3C.4D.5

9.“斐波那契數(shù)列”又稱“兔子”數(shù)列，是由意大利數(shù)學家里昂那多斐波那契發(fā)現(xiàn)的,

該數(shù)列滿足：ai=1.a2=1.an=斯_]+an_2（n>3,nGN*）,若<12024=G,則

其前2022項和為（）

A.GB.G+1C.~GD.G-1

10.已知f（x）=jne*-2/，曲線y=f（%）在不同的三點（%,/（巧））,（x2,/（x2））>

（%3，/。3））處的切線均平行于x軸，則m的取值范圍是（）

A.碟,+8）B.（0,§C.瑞,+8）D.（0浸）

11.已知橢圓C：式+藝=1的焦點為E，F(xiàn)2,第一象限點P在C上，且而?而=：,則

434

△P&F2的內切圓半徑為（）

A.|B.|C.1D.|

12.已知a=e。】，6=宰+1,c=g,則它們的大小關系正確的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量為=（一1,1）,1=（2,3），a1（2a+fcK），則實數(shù)k的值為.

14.已知雙曲線E：b/+y2=-2b的一個焦點與拋物線C：爐=4V3的焦點相同，則

雙曲線E的漸近線方程為.

15.已知數(shù)列｛即｝滿足的=2,an+1=^an,則訴譚/嬴

16.如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形4BCD

的邊長為4,AADE是以40為斜邊的等腰直角三角形，

乙HDC=NB4B=90°,則該四棱錐外接球被平面PBC所截

的圓面的面積為.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2*

⑴求cosB；

第2頁，共22頁

(2)若a+c=6,△48C的面積為2,求b.

18.如圖1在梯形ABCD中，AD//BC,/.BAD=pAB=BC=2,AD=4,E是AD的

中點，。是AC與BE的交點.將△4BE沿BE折起到△&8E的位置，如圖2.

(I)求證：CD1平面40C；

(II)若平面4BE，平面BCDE,求二面角B-&C-E的余弦值.

19.在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調查市民對創(chuàng)城工作的了解

情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調查(一位市民只能參加一次)通過隨機抽樣，得到

參加問卷調查的100人的得分統(tǒng)計結果如表所示：

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻/p>

(1)由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分f?N(〃,198)，〃近似為這100

人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表).

①求4的值；

②利用該正態(tài)分布，求P(f<19或f>47)；

(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額(單位：元)3050

32

概率

55

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，

求X的分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：石死=14.若X?NO，，)，則p(〃一avXSju+c)=0.6826,

-2a<X<n+2a)=0.9544,P?-30<X<〃+3。)=0.9974.

20.設橢圓C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為&、％，拋物線'=的

焦點與橢圓的一個頂點重合，又橢圓的離心率與拋物線的離心率之比為它.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設斜率為正數(shù)的直線/與橢圓C交于M,N兩點，作MGLx軸于點G,。為坐標原

點，若(4兩-9^)1.而，求△OMN面積的取值范圍.

第4頁，共22頁

21.已知函數(shù)/(%)=%/nx—%—靖一°,g(x)=—[a/+e4-e+@(@￡附

(1)求函數(shù)9(x)=/(%)+e”一，的最小值；

x

(2)設函數(shù)/(%)=/(%)+g(x)的兩個不同極值點分別為久「x2(i<%2>

心求實數(shù)a的取值范圍；

5)若不等式，<m恒成立，求正數(shù)4的取值范圍(這里e=2.71828…為自然對數(shù)的

底數(shù)).

22.已知曲線C的極坐標方程為。=后高，直線/的參數(shù)方程為為參

數(shù)).

(1)當直線，的傾斜角為黑寸，求出該直線的參數(shù)方程并寫出曲線C普通方程；

(2)直線，交曲線C于4、8兩點，若|48|=|魚，求直線2的斜率.

23.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+2|x+1|.

(1)當a=1時，求不等式/(x)<4的解集；

(2)設不等式f(x)<|2x+4|的解集為M,若[0,3]cM,求a的取值范圍.

第6頁，共22頁

答案和解析

1.【答案】D

(3-i)(l-2i)3—6i—i—217.

【解析】解：復數(shù)z=-I

(l+2i)(l-2i)—^—=35

則復數(shù)z的虛部是-

故選：D.

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出.

本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：3%GR,ax2—ax—2>0為假命題0V%6R,ax2—ax—2<0為真命

題，

①當a=0時，則一2W0符合題意，

②當{箕1+8』時，—<。，

a的取值范圍為[一8,0],

'''(-8,0)9[—8,0]>

3x￡/?,ax2—ax—2>0為假命題的一個充分不必要條件是(-8,0),

故選：A.

根據(jù)含有量詞的命題的否定關系，以及充分必要條件的定義即可得到結論.

本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用命題真假之間的關系是解決本題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】解：因為4={x|—；30)={燈-1Wx<4},8={x|-1<x<3},

所以CRB={X|XS-1或xN3},

則An(CRB)={x|3<x<4或x=1).

故選：C.

解分式不等式可求集合4,然后結合集合的補集及交集運算可求.

本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：連續(xù)函數(shù)f(x)是定義在(—1,1)上的偶函數(shù)，當*彳0時，xf(x)>0.

所以>0或ir(x)<0,

所以f(x)在(一1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，

所以/(a+1)—f(2a)>0等價于/(|a+1|)>f(|2a|),

(|a+l|>|2a|

所以，一l<a+l<l,解得-.(aCO,

所以a的取值范圍是(-30).

故選：D.

利用導數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調性，可得出關于實數(shù)a的不等式組，由此可解得實數(shù)a的取

值范圍.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用函數(shù)的性質求解不等式，考查轉化

思想與運算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：連接4道,BD,則B4〃CDi，

所以4BA1。為異面直線4￡>和CD1所成角，

因為在長方體ABCD-ABiGDi中，和CD】與底面所成的角分別為30。和45。,

所以N&DA=30。，4nle0=45。，

設=a,則4。=V3a,CD=a,所以B。=2a,ATB=\[2a,AxD=2a,

在AAiDB中，由余弦定理得，

第8頁，共22頁

4遇2+41。2-8。2_2a2+4。2-4。2_在

CQSZ-BA^D

2A1BA1D-2\[2a-2a-4

所以異面直線為。和CD］所成角的余弦值為

故選：B.

由題意可得乙41。4=30。，ZDXCD=45°,若設力&=a,則可表示出4D,CO的長，連

接BD,則NB&O為異面直線為。和CA所成角，然后利用余弦定理可求得結果.

本題考查異面直線所成的角，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：現(xiàn)將5人安排到3個不同的小區(qū)從事防控防疫志愿者服務，要求每人只能在

一個小區(qū)服務，每個小區(qū)至少有一名志愿者，

①這3個小區(qū)分別有1人，1人，3人的情況，則有底用=60種不同的安排方法，

②這3個小區(qū)分別有1人，2人，2人的情況，則有饕?心=90種不同的安排方法，

故不同的安排方案共有60+90=150種.

故選：C.

根據(jù)已知條件，分這3個小區(qū)有1人，1人，3人，有1人，2人，2人兩種情況，分別求解，

并求和，即可求解.

本題主要考查組合、排列數(shù)的求解，考查分類討論的思想，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意可知，函數(shù)f(x)的最小正周期為7=4x3=71,所以，3=年=2,

則/(x)=2>/3sin2x+acos2x，所以/(0)—o-,f(，)=2v5sin+acos=3+^a,

故/(0)+f()=3+|a=6,可得a=2,

所以，/(x)=2V3sin2x+2cos2x=4sin(2x+-),

6

對于4選項，當勺時，T<2x+g<?,

3NZOO

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(一g，今上不單調；

對于B選項，當“6(一乃,一爭時，一詈<2x+*<-學

故函數(shù)/（X）在區(qū)間（-兀,一？）上單調遞增；

對于C選項，當xe5,藍）時，攀＜2%+*＜?，

故函數(shù)/（%）在區(qū)間（兀,羨）上不單調；

對于。選項，當X6（手,2兀）時，等＜2x+X等，

2ooo

故函數(shù)f（x）在區(qū)間（表2兀）上不單調.

故選：B.

由函數(shù)f（x）的最小正周期可求得3的值，再由已知條件可求得實數(shù)a的值，再利用正弦

型函數(shù)的單調性逐項判斷可得出合適的選項.

本題考查正弦函數(shù)的性質，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：依題意，設較小的白色半圓的半徑為r,則較大的白色半圓的半徑為合=

3-r,

nx32nrr27r（3-7）2

所以;——-^—2~~2—，解得丁=1或丁=2（舍），

2

71X3+71X2+71X1c

所以陰影部分圖形的“周積率”為：WZ=3.

222

故選：B.

設較小的白色半圓的半徑為丁，則較大的白色半圓的半徑為空=3-乙根據(jù)題意，陰

影面積與最大半圓的面積比為京求出r,計算“周積率”即可.

本題考查了新定義，考查了圓的周長，面積的計算，屬于基礎題.

9.【答案】D

a

【解析】解：由an=n-l+。九一2可得，

+。3+Q5"1-----F@2023=。2+（。4一。2）+（。6一。4）+…+（a2024一。2022）=

a2024=G,①

。2+。4+。6-----1■a2022=（a3-al）+（a5-。3）+（a7-a5）-----（a2023一a2021）=

a2023一1，②

①+②得，四+。2+。3+。4+…+。2022+。2023=G+。2023-1，

第10頁，共22頁

化間得+。2+。3+。4+…+。2022=G—1.

故選：D.

根據(jù)與=an_!+?_2寫出兩個等式后再聯(lián)合即可求解?

本題考查了斐波那契數(shù)列的求和問題，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解:函數(shù)/'(x)=me*-2爐,導數(shù)為1(%)=zne*-6/,

由題意可得mex-6x2=。有3個不同的解，即zn=與有3個不同的解.

ex

設g(?=等,則或x)=修=竽，

當％<0或%>2時,g'(x)<0,當0<xV2時，g'(%)>0，

所以g(x)在(-8,0),(2,+8)上單調遞減，在(0,2)上單調遞增，

所以g(x)的極小值為g(0)=0,極大值為g(2)=g,

作出g(x)的大致圖象如圖所示,

4-g(X)考

由圖象可得m的取值范圍是(0浸).

故選：O.

求得f(x)的導數(shù)，由題意可得771/-6/=0有3個不同的解，由參數(shù)分離和構造函數(shù),

求得導數(shù)和單調性、極值，可得所求范圍.

本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調性、極值，考查轉化思想和數(shù)形結合思想,

考查運算能力與推理能力，屬于中檔題.

1I.【答案】A

【解析】解：由已知條件得Q2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,則”-1,0),尸2(1,0),

設點的坐標為Qp,yp),則兩i=(-1-xpf-ypy~PF2=(1--

兩/?恒2=蚱+丫我-1=￡即用+必=?①,

???第一象限點P在C上，.?.則乎+?=1,即瑤=4一萼②，

聯(lián)立解得力=I，

由橢圓的定義得|P0|+\PF2\=2a=4,

設AP&E的內切圓半徑為r，則SAP&FZ=：「(仍&1+IPF2I+I&F2I)=3r,

13

又SAPFI&=--2c-yP=-,

???3r=即r—

22

故選：A.

根據(jù)橢圓的定義可知|PFi|+\PF2\=4,由橢圓方程可知I&F2I=2,進而利用向量數(shù)量

積的坐標運算和第一象限點P在C上可求出點P的縱坐標，最后利用內切圓的性質和三角

形面積公式即可求出答案.

本題考查橢圓的性質，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：設/(x)=+1-則/-1=詈，

??./(X)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，且/'(1)=0,

/'(E)<0.lnVL2+1-VL2<0，］“nl.2+1<V12,.-.c>b,

-c=V12<1.1，???lnVL2+1<V12<1.1)

???lnV12<0.1.A/L2<e01，-??a>c,

：?a>c>b,

故選：C.

先構造函數(shù)/(%)=仇%+1-%,再判斷單調性得到c>b,再利用c=VI攵V1.1，得到

lnVL2<0,1，即a>c,求解即可.

本題考查三個數(shù)大小的比較，利用構造函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質是關鍵，屬于中檔題.

第12頁，共22頁

13.【答案】-4

【解析】解：因為五=（一1,1）,b=（2,3）.

所以2五+k9=（2k-2,3k+2），

因為五1（2a+/ch），

所以1?（2方+kB）=2—2k+3k+2=0，

解得k=-4.

故答案為：-4.

由已知結合向量數(shù)量積性質的坐標表示即可求解.

本題主要考查了向量數(shù)量積性質的坐標表示，屬于基礎題.

14.【答案】y=+V2x

【解析】解：拋物線C：/=4乃y的焦點（0,歷），

所以雙曲線E：bx2+y2=-2b的一個焦點坐標（0,歷），

所以A/2-2b-V6>解得b=—2,

所以雙曲線E的漸近線方程為y=±V2x.

故答案為：y=+V2x.

求出拋物線的焦點坐標，利用已知條件列出方程，求解b,然后求解雙曲線的漸近線方

程.

本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線的簡單性質的應用，是基礎題.

15.【答案】黑

【解析】解：由即+1=3詈an

所以即+】=管即，得鬻=2（含）,

所以數(shù)歹支巖｝是以告=1為首項，以2為公比的等比數(shù)歹U，

所以含=2吁1,

所以an=(n+l),2nT.

12n1

設｛an｝的前幾項和為Sn，則Sn=2x2°+3x2+4x2+-...+(n+1)-2-,

n

所以2sli=2x21+3X22+…...+Ti?2"T+(n+l)-2,

兩個式子相減得，-S.=2X2°+(21+22++2=T)-(n+1)?271=2+2(：］)-

(n+1)?2n=一幾?2n,

所以S九=n-2n,

所以a2021_2022X22020_1011

A2020

a1+a2+a3+……+a202012O2OX2—1010,

故答案為：黜

依題意可得黑=2(含)，即數(shù)列｛含｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，從而得到

an=(n+l>2n-i,再用錯位相減法求和，即可得解.

本題考查了數(shù)列的遞推式以及錯位相減法求和的問題，屬于中檔題.

16.【答案】詈

【解析】解：該幾何體的直觀圖如下圖所示，

分別取AC,BC的中點0,M,連接。M,PM,

???PO=2,OM=4,PM=7PB2-BM2=V24-4=2炳,

2

0P2+0M2=PM,OP10M,

又?；P。1AD,所以由線面垂直的判定定理得出P。_L平面4BCD,

以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，

4(2,0,0),B(2,4,0),<7(-2,4,0),0(-2,0,0),P(0,0,2),

設四棱錐P-ABC。外接球的球心N(0,2,a),

???PN=NA,.-.4+(2-a)2=4+4+a2,解得a=0,

設平面PBC的法向量為元=(x,y,z),

PB=(2,4,-2),PC=(-2,4,-2),/VP=(0,—2,2),

第14頁，共22頁

則(而-n=x4-2y—z=0

{PC-n=-x4-2y—z=0

取z=2,則運=(0,1,2),

四棱錐P-4BCD外接球的球心到面PBC的距離為:

(/=|稱卜際伍,而〉|=|而|,|尚需|=專=當，

又|而|=2近，所以平面PBC所截的圓的半徑「=Ji衲2_d2=靠,

所以平面P8C所截的圓面的面積為■=等.

故答案為：子.

先由線面垂直判定定理證明P。L平面4BCD,進而建立空間直角坐標系，根據(jù)球心的性

質列出方程得出球心坐標，再求出平面PBC的法向量，最后由向量法得出四棱錐P-

4BCD外接球的球心到面PBC的距離，再計算出半徑即可求解.

本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題.

17.【答案】解：(l)TsinG4+C=8sin2g,4+C=TI■—B,

:.sinB=4(1—cosB),

?:sin2^+COS2F=1,

???16(1—COSB)2+COS2B=1,

:.17coszB-32cosB+15=0,

A(17cosB-15)(cos8-1)=0,

???B為三角形內角，則cosBWl,

r?15

**?COSD—.

17

(2)由(1)可得=\/l—cos2B=—,

17

,:S?ABC=lac-sinB=2,

17

：?ac=一,

2

?,?由余弦定理可得：

b2=a2-Vc2—2ac?cosB

°91715

=a2+cz—2x—x—

217

=a2+c2-15

=(a+c)2—2ac—15

=36-17-15=4,

b=2.

【解析】本題考查了三角形的內角和定理，降嘉公式，三角形的面積公式，余弦定理,

屬于中檔題.

(1)利用三角形的內角和定理可知A+C=兀-8,再利用誘導公式化簡sin(A+C),利

用降新公式化簡8sin2結合si/B+cos28=1,求出cosB.

(2)由(1)可得sinB=蔣，利用三角形面積公式求出ac的值，再利用余弦定理變形即可求

出b.

18.【答案】(I)證明：在圖①中，因為4B=BC=2,40=4,E是4。的中點,484。=],

故四邊形ABCE為正方形，所以BE1AC,

即在圖②中，BE10Ax,BE10C,乂。4nOC=O,

所以BE_L平面40C.

又BC//DE,BC=DE,所以四邊形BCCE是平行四邊形，

所以CD〃BE,所以CD1平面40C.

(H)解：由已知，平面4BE1平面BCCE,又由(1)知，BE10AT,BE1OC,

所以4410c為二面角4一BE-C的平面角，所以0C1。&,

如圖所示，以。為原點，分別以OB,0C,。a所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角

坐標系.

第16頁，共22頁

4式0,0,V2),B(V2,0,0),C(0,V2,0),。(一2夜,近,0E(-V2,0,0),

設平面&BC的一個法向量為4=(x,y,z),A^B=(夜,0,-夜)，砧=(0,V2,-V2)-

fn7-AB-V2x-y/2z

A，令z=1,■■x=1,y=1,

(n7-AXC=V2y—V2z=0

故平面4BC的一個法向量為4=(1,1,1),

設平面4CE的一個法向量為荻=(xi.yi.Zi).EC=(V2,V2,0),^7?=(0,V2,-V2).

.風?正=g1+何1=0令—?xv-1

,

"U.^C=V2y1-V2z1=0"一1，-』—1，月一1，

平面&CE的一個法向量為雨=(一W)，

設二面角B-&C-E的平面角為。，

從而|cos8|=|cos阮，初|=|高落l=^h=?

由圖得二面角為鈍角，

故二面角B-&C-E的余弦值為一也

【解析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明BE,平面40C,再根據(jù)CD〃BE,即可

證明結論；

(口)根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而求得相關向量的坐標，然

后求出平面4BC和平面&CE的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.

本題主要考查線面垂直的證明，空間向量及其應用，二面角的計算等知識，屬于中等題.

19?【答案】解：(1)①〃=40xW+50x怒+60X焉+70X蕓+80X蕓+90X

缶=61；

@8=V198=14,

P(19<f<103)=0.9974,P(47<f<75)=0.6826,

P(f<19或f>47)=-1-0-.9-9-7-4+,(1---0-.6-8-2-6、=0.8426,

2I2，

(2)P(f<M)=P(f>M)=p

X=30,50,60,80,100,

P(X=30)=ix|=A,P(x=50)=ix|=l,P(X=60)="|X|=。

P(X=80)=：x(|x|+|x|)=*P(X=100)=1x|x|=^

X30506080100

31962

p

To5502525

31962

EX=30x-+50x-+60x-+80x-+100x-=57.

【解析】(1)①根據(jù)題意以及平均數(shù)的計算規(guī)則即可解出；②根據(jù)正態(tài)分布的性質即可

直接計算；

(2)根據(jù)題意分析可知隨機變量的可能取值為30,50,60,80,100,分別解出對應的

概率即可解出.

本題考查了統(tǒng)計與概率，分布列，數(shù)學期望，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

20.【答案】解：(1)由已知得拋物線的方程為/=—4y,則其焦點為(0,-1),

?焦點就是橢圓短軸的一個端點，二6=1.

???橢圓的離心率與拋物線的離心率之比為逅，.??橢圓的離心率e

2

即次=§==1—與=之,解得02=%=3,

a2a2a24

2

則橢圓C的方程為?+y2=1.

(2)設MQi，%),/V(x2,y2),G(Xi，0),直線，的方程為y=kx+m(/c>0),

代入橢圓方程亍+y2=1并化簡得：(4k2+l)x2+8kmx+4m2—4=0,

依題意得4=16(4/c2+1-巾2)>o,化簡得血2<4k2+1①,

8km4m2-4

且/+x=—;—,XX=—；—

24k2+11乙24k2+1

22

yry2=(fc%1+m)(fcx2+M)=kxrx2+kmg+x2)+m.

由(4而-9OG)?ON=0得(-5%1，4%)?(%2，丫2)=-5x1x2+4yly2=°，

2

即4々2%]%2+4km(xt+x2)+4m-5xTx2=0,

□11.?7L、4T?I^—4..—8km,.7八

BP(z4k2—5)x----F4kmx----F4m2=0,

'J4fc2+l4k2+1

即(41—5)(m2—1)—8k2m2+m2(4k2+1)=0,

第18頁，共22頁

化簡得血2+/=3②，

由①②可得高52.,

22

丫|MN|=y/k+1|%1—x2\=y/k+1x"6(4：廣±_2

J16(5k2-;)

2

y/k2+1X=7k2+1X2V20fc-l,

4k2+14k2+l

又原點。到直線l的距離d=晨,

C…”」1八2,v2,20H-lIml1l(20fc2-l)(5-4fc2)

AS.0MN=-MNd=7k24-1X——-——x-4==---,廣，―

AOM/V21124k2+lVfc2+12勺(4k2+l)2

令4k2+i=te(|,6],貝葉e&,|),

ocoo

即SAOMN=:產(chǎn)衿=/36行+36X?5=3cp法，

則當f=才即k=]時，（SAOMN）max=1，又SAOMN＞。,

OMN面積的取值范圍是（0,1].

【解析】⑴求出拋物線的焦點即可得b=1,由橢圓的離心率為當可得1-5=點即可

求出。2=4,故即可求得橢圓的方程；

（2）設出直線I的方程及其直線與橢圓C交點M,N的坐標，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立消

去y即可得到關于％的一元二次方程，由4＞0可得＜4k2+1,利用韋達定理求出兩

根之和、兩根之積、y,2的表達式，利用向量垂直的坐標式可得-5x62+4%丫2=0,

代入化簡即可得到/+1=：,即可求出白＜k2＜{,利用三角形的面積公式，用1表

4204

示出A0MN的面積，即可求得SAOMN的取值范圍.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理及其應用，圓錐

曲線中的范圍與最值問題等知識，屬于中等題.

21.【答案】(12分)

解：(1)由題可知：W(x)=xlnx—x-ex~e+ex~e=xlnx—x,■■/'(x)=1+Inx—1=

Inx

由W‘(x)>0=x>1,"(x)<0=>0<x<l.

??.S(x)在(0,1)為減函數(shù)，在(1,+8)增函數(shù)，

9(x)的最小值為9(1)=

-1......................................................(4分)

(2)(i)由題F(x)=/(x)+g[x}=xlnx-x-|ax2+a,定義域為(0,+oo).

則尸'(x)=1+Inx—1—ax-Inx—ax,由題可得F'(x)=Inx—ax—。有兩個不等實數(shù)

根.

于是a=等有兩個不同的實數(shù)根，等價于函數(shù)y=a與h(x)=等圖象在(。,+8)有兩個

不同的交點，

???〃(x)=1]廠,由九'(x)>0=0<x<e,由/f(x)<0=>x>e,

所以h(x)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減，

又九(1)=0,/i(x)有極大值為/i(e)=[,當+8時，-0,所以可得函數(shù)/i(x)的

草圖(如圖所示).

所以，要使函數(shù)y=a與八。)=手圖象在(0,+8)有兩個不同的交點，當且僅當ae

(0,;).............(8分)

(it)由(i)可知：&是方程F'(%)=-a%=0的兩個實數(shù)根，且1<%1<0<x2?

則(伍無1=axi=Q=也為-［眸_

AJxx

l/nx2=Q%2.i-2

In—八

..............................................................................(9分)

Xl-X2

由于<?■,兩邊取自然對數(shù)得入一仇<Alnx2-1=2+1<lnx1+Xlnx2=axr4-

aAx2f

in阻聲+孫rA

BPA4-1<Q(%I+AX)=——(%i+Ax)=①百———,

25一如2牛1

令葭=tE(0,1),則入+i<出當匹在1E(o,i)恒成立.

所以"t-U(：T)<0在tG(0,1)恒成

立..........................................(11分)

令Mt)=int-^pde(0,1)),則〃⑴=:翳=

①當；12N1即;IN1時,h'(t)>0,h(t)在(0,1)遞增,所以九(t)</i(l)=0恒成立,滿

足題意.

第20頁，共22頁

②當0<2<1時，h(t)在(0,?)遞增,在(",1)遞減,

所以,當xe