2023黃岡中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

2024黃岡中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷2024年湖北省黃岡中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（每小題5分，共40分）

1．（5分）方程組的解是．

2．（5分）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范圍為．

3．（5分）設(shè)﹣1≤x≤2，則|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之差為．

4．（5分）兩個(gè)反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．點(diǎn)P1，P2，P3、...、P2024在反比例函數(shù)y=上，它們的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、(x2024)

縱坐標(biāo)分別是1，3，5…共2024個(gè)連續(xù)奇數(shù)，過P1，P2，P3、…、P2024分別作y

軸的平行線，與y=的圖象交點(diǎn)依次為Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2024′，y2024′），則|P2024Q2024|=．

5．（5分）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，從A點(diǎn)動(dòng)身繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線長(zhǎng)是．

6．（5分）有一張矩形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，那么折痕長(zhǎng)是．

7．（5分）已知3，a，4，b，5這五個(gè)數(shù)據(jù)，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的兩個(gè)根，則這五個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是．

8．（5分）若拋物線y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值時(shí)都通過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．

二、選擇題（每小題5分，共40分）

9．（5分）如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC邊上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（）

A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10

10．（5分）若始終角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，內(nèi)切圓半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與三角形面積之比是（）

A．B．C．D．

11．（5分）拋物線y=ax2與直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2

12．（5分）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（）

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

13．（5分）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

14．（5分）如圖，正方形ABCD的邊AB=1，和都是以1為半徑的圓弧，則

無陰影兩部分的面積之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣

15．（5分）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)是2，3，x，那么第三邊x的取值范圍是（）A．1＜x＜B．C．D．

16．（5分）某工廠其次季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，第三季度的產(chǎn)值又比其次季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了（）

A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%

三、解答題（共40分）

17．（7分）設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）求的最大值．

18．（7分）如圖，開口向下的拋物線y=ax2﹣8ax+12a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的長(zhǎng)及的值；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP和拋物線的解析式．

19．（7分）某家電生產(chǎn)企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，打算調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，預(yù)備每周（按120個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：

問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高最高產(chǎn)值是多少？（以千元為單位）

20．（9分）一個(gè)家庭有3個(gè)孩子，

（1）求這個(gè)家庭有2個(gè)男孩和1個(gè)女孩的概率；

（2）求這個(gè)家庭至少有一個(gè)男孩的概率．

21．（10分）如圖，已知⊙O和⊙O′相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O′的切線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線分別交⊙O、⊙O′于E、F，EF與AC相交于點(diǎn)P．（1）求證：PA?PE=PC?PF；

（2）求證：；

（3）當(dāng)⊙O與⊙O′為等圓時(shí)，且PC：CE：EP=3：4：5時(shí)，求△PEC與△FAP的面積的比值．

2024年湖北省黃岡中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（每小題5分，共40分）

1．（5分）方程組的解是和．

依據(jù)式子特點(diǎn)，設(shè)x+1=a，y﹣1=b，然后利用換元法將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，再換元為關(guān)于x、y的方程組解答．

解：設(shè)x+1=a，y﹣1=b，則原方程可變?yōu)椋?/p>

由②式又可變化為=26，

把①式代入得=13，這又可以變形為（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，

解得ab=﹣27，

又由于a+b=26，

所以解這個(gè)方程組得或，

于是（1），解得；

（2），解得．

故答案為和．

本題主要考查解無理方程的學(xué)問點(diǎn)，去掉根號(hào)把無理式化成有理方程是解題的關(guān)鍵，需要同學(xué)們認(rèn)真把握．

2．（5分）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范圍為a=0，b＜0．

分a=0，a≠0兩種狀況分析．

解：∵假如a≠0，不論a大于還是小于0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式ax＞b都成立是不行能的，

∴a=0，則左邊式子ax=0，

∴b＜0肯定成立，

∴a，b的取值范圍為a=0，b＜0．

本題是利用了反證法的思想．

3．（5分）設(shè)﹣1≤x≤2，則|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之差為1．先依據(jù)﹣1≤x≤2，確定x﹣2與x+2的符號(hào)，在對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行爭(zhēng)論即可．

解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，

∴當(dāng)2≥x≥0時(shí)，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；

當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，

當(dāng)x=0時(shí)，取得最大值為4，x=2時(shí)取得最小值，最小值為3，

則最大值與最小值之差為1．

故答案為：1

本題重點(diǎn)考查有理數(shù)的肯定值和求代數(shù)式值．解此類題的關(guān)鍵是：先利用條件推斷出肯定值符號(hào)里代數(shù)式的正負(fù)性，再依據(jù)肯定值的性質(zhì)把肯定值符號(hào)去掉，把式子化簡(jiǎn)，即可求解．

4．（5分）兩個(gè)反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．點(diǎn)P1，P2，P3、...、P2024在反比例函數(shù)y=上，它們的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、(x2024)

縱坐標(biāo)分別是1，3，5…共2024個(gè)連續(xù)奇數(shù)，過P1，P2，P3、…、P2024分別作y

軸的平行線，與y=的圖象交點(diǎn)依次為Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2024′，

y2024′），則|P2024Q2024|=．

要求出|P2024Q2024|的值，就要先求|Qy2024﹣Py2024|的值，由于縱坐標(biāo)分別是1，3，5…，共2024個(gè)連續(xù)奇數(shù)，其中第2024個(gè)奇數(shù)是2×2024﹣1=4013，所以P2024的坐標(biāo)是（Px2024，4013），那么可依據(jù)P點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=上，可求出此時(shí)Px2024的值，那么就能得出P2024的坐標(biāo)，然后將P2024的橫坐標(biāo)代入

y=中即可求出Qy2024的值．那么|P2024Q2024|=|Qy2024﹣Py2024|，由此可得出結(jié)果．解：由題意可知：P2024的坐標(biāo)是（Px2024，4013），

又∵P2024在y=上，

∴Px2024=．

而Qx2024（即Px2024）在y=上，所以Qy2024===，

∴|P2024Q2024|=|Py2024﹣Qy2024|=|4013﹣|=．

故答案為：．

本題的關(guān)鍵是找出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的規(guī)律，以這個(gè)規(guī)律為基礎(chǔ)求出P2024的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q2024的值，從而可得出所求的結(jié)果．

5．（5分）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，從A點(diǎn)動(dòng)身繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線長(zhǎng)是3．

圓錐的側(cè)面綻開圖是扇形，從A點(diǎn)動(dòng)身繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線即綻開得到的扇形的弧所對(duì)弦，轉(zhuǎn)化為求弦的長(zhǎng)的問題．

解：∵圖中扇形的弧長(zhǎng)是2π，依據(jù)弧長(zhǎng)公式得到2π=

∴n=120°即扇形的圓心角是120°

∴弧所對(duì)的弦長(zhǎng)是2×3sin60°=3

正確理解圓錐的側(cè)面綻開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．

6．（5分）有一張矩形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，

那么折痕長(zhǎng)是．

首先由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，折線與AB交于F．然后求證△AEF∽△ABC求出EF的長(zhǎng)．

解：如圖，由勾股定理易得AC=15，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，折線FG與AB交于F，（折線垂直平分對(duì)角線AC），AE=7.5．

∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，

∴△AEF∽△ABC，

∴==．

∴EF=．

∴折線長(zhǎng)=2EF=．

故答案為．

本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相像，全等等學(xué)問點(diǎn)．7．（5分）已知3，a，4，b，5這五個(gè)數(shù)據(jù)，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的兩

個(gè)根，則這五個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是．

先解方程得到a，b的值，計(jì)算出平均數(shù)和方差后，再計(jì)算方差的算術(shù)平方根，即為標(biāo)準(zhǔn)差．

解：由方程x2﹣3x+2=0

解方程的兩個(gè)根是1，2，即a=1，b=2

故這組數(shù)據(jù)是3，1，4，2，5

其平均數(shù)（3+1+4+2+5）=3

方差S2==2

故五個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是S==

故本題答案為：．

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差需要先算出方差，計(jì)算方差的步驟是：

（1）計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）計(jì)算偏差，即每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；

（3）計(jì)算偏差的平方和；

（4）偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)．

標(biāo)準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；

留意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都是非負(fù)數(shù)．

8．（5分）若拋物線y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值時(shí)都通過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，33）．

把含p的項(xiàng)合并，只有當(dāng)p的系數(shù)為0時(shí)，不管p取何值拋物線都通過定點(diǎn)，可求x、y的對(duì)應(yīng)值，確定定點(diǎn)坐標(biāo)．

解：y=2x2﹣px+4p+1可化為y=2x2﹣p（x﹣4）+1，

分析可得：當(dāng)x=4時(shí)，y=33；且與p的取值無關(guān)；

故不管p取何值時(shí)都通過定點(diǎn)（4，33）．

本題考查二次函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，解決此類問題：首先依據(jù)題意，化簡(jiǎn)函數(shù)式，提出未知的常數(shù)，化簡(jiǎn)后再依據(jù)詳細(xì)狀況推斷．

二、選擇題（每小題5分，共40分）

9．（5分）如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC邊上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（）

A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10

連接EM，依據(jù)已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，依據(jù)相像比從而不難得到答案．

解：連接EM，

CE：CD=CM：CA=1：3

∴EM平行于AD

∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA

∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3

∴AH=（3﹣）ME，

∴AH：ME=12：5

∴HG：GM=AH：EM=12：5

設(shè)GM=5k，GH=12k，

∵BH：HM=3：2=BH：17k

∴BH=K，

∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10

故選D．

此題主要考查相像三角形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用．

10．（5分）若始終角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，內(nèi)切圓半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與三角形面積之比是（）

A．B．C．D．

連接內(nèi)心和直角三角形的各個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，

b．則直角三角形的面積是；又直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=，則a+b=2r+c，所以直角三角形的面積是r（r+c）；由于內(nèi)切圓的面積是πr2，則它們的比是．

解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，b，則有：

S=，

又∵r=，

∴a+b=2r+c，

將a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．

又∵內(nèi)切圓的面積是πr2，

∴它們的比是．

故選B．

此題要熟識(shí)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形的面積分割成三部分，用內(nèi)切圓的半徑進(jìn)行表示，是解題的關(guān)鍵．

11．（5分）拋物線y=ax2與直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2

此題主要考數(shù)形結(jié)合，畫出圖形找出范圍，問題就好解決了．

解：由右圖知：A（1，2），B（2，1），

再依據(jù)拋物線的性質(zhì)，|a|越大開口越小，

把A點(diǎn)代入y=ax2得a=2，

把B點(diǎn)代入y=ax2得a=，

則a的范圍介于這兩點(diǎn)之間，故≤a≤2．

故選D．

此題考查同學(xué)的觀看力量，把函數(shù)性質(zhì)與正方形連接起來，要學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合．

12．（5分）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（）

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，建立三元一次方程組，兩個(gè)方程相減，即可求得x+y+z的值．

解：設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，依據(jù)題意得，

②﹣①得x+y+z=1.05（元）．

故選：B．

解答此題的關(guān)鍵是依據(jù)題意列出方程組，同時(shí)還要有整體思想．

13．（5分）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

方法1、依據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而最終確定a的取值范圍．

方法2、由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函數(shù)y=ax2+（a+2）x+9a的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在1左右兩側(cè)，由此得出自變量x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)，即可得出結(jié)論．

解：方法1、∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則a≠0且△＞0，

由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，

解得﹣＜a＜，

∵x1+x2=﹣，x1x2=9，

又∵x1＜1＜x2，

∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，

那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，

即9++1＜0，

解得＜a＜0，

最終a的取值范圍為：＜a＜0．

故選D．

方法2、由題意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，

由于方程的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在1兩側(cè)，

當(dāng)a＞0時(shí)，x=1時(shí)，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣（不符合題意，舍去），

當(dāng)a＜0時(shí)，x=1時(shí)，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣，

∴﹣＜a＜0，

故選D．

總結(jié)：1、一元二次方程根的狀況與判別式△的關(guān)系：

（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．

2、根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=﹣，x1x2=．

14．（5分）如圖，正方形ABCD的邊AB=1，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣

圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個(gè)3的面積和是兩個(gè)扇形的面積，因此兩個(gè)扇形的面積的和﹣正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差，即﹣1=．

解：如圖：

正方形的面積=S1+S2+S3+S4；①

兩個(gè)扇形的面積=2S3+S1+S2；②

②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．

故選：A．

本題主要考查了扇形的面積計(jì)算公式及不規(guī)章圖形的面積計(jì)算方法．找出正方形內(nèi)四個(gè)圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．

15．（5分）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)是2，3，x，那么第三邊x的取值范圍是（）A．1＜x＜B．C．D．

依據(jù)勾股定理可知x的平方取值范圍在2與3的平方和與平方差之間．解：首先要能組成三角形，易得1＜x＜5

下面求該三角形為直角三角形的邊長(zhǎng)狀況（此為臨界狀況），明顯長(zhǎng)度為2的邊對(duì)應(yīng)的角必為銳角（2＜3，短邊對(duì)小角）則只要考慮3或者x為斜邊的狀況．

3為斜邊時(shí)，由勾股定理，22+x2=32，得x=√5作出圖形，固定2邊，旋轉(zhuǎn)3邊易知當(dāng)1＜x＜√5時(shí)，該三角形是以3為最大邊的鈍角三角形；

x為斜邊時(shí)，由勾股定理，22+32=x2，得x=√13，同樣作圖可得當(dāng)√13＜x＜5時(shí)，該三角形是以x為最大邊的鈍角三角形．

綜上可知，當(dāng)√5＜x＜√13時(shí)，原三角形為銳角三角形．

故選B．

本題考查了銳角三角形的三邊關(guān)系定理，勾股定理，有肯定的難度．

16．（5分）某工廠其次季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，第三季度的產(chǎn)值又比其次季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%，則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了（）

A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%

設(shè)第一季度產(chǎn)值為1，其次季度比第一季度增長(zhǎng)了x%，則其次季度的產(chǎn)值為1×（1+x%），那么第三季度的產(chǎn)值是由其次季度產(chǎn)值增長(zhǎng)了x%來確定，則其產(chǎn)值為1×（1+x%）×（1+x%），化簡(jiǎn)即可．

解：第三季度的產(chǎn)值比第一季度的增長(zhǎng)了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．

故選D．

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理清第一季度和其次季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)關(guān)系．

三、解答題（共40分）

17．（7分）設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）求的最大值．

（1）首先依據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出符合條件的m的值．

（2）把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式，細(xì)心化簡(jiǎn)，結(jié)合m的取值范圍求出代數(shù)式的最大值．

解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，

∴m＜1，

結(jié)合題意知：﹣1≤m＜1．

（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，

∵﹣1≤m＜1，

∴；

（2）=

=（﹣1≤m＜1）．

∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，式子取最大值為10．

本題的計(jì)算量比較大，需要很細(xì)心的求解．用到一元二次方程的根的判別式△=b2﹣4ac來求出m的取值范圍；利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=，x1x2=來化簡(jiǎn)代數(shù)式的值．

18．（7分）如圖，開口向下的拋物線y=ax2﹣8ax+12a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的長(zhǎng)及的值；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP和拋物線的解析式．

（1）依據(jù)拋物線的解析式即可求出A、B的坐標(biāo)，也就得出了OA、OB的長(zhǎng)，依據(jù)題中給出的相像三角形得出的比例線段可求出OC的長(zhǎng)．已知了OA、OB的長(zhǎng)即可得出三角形OBC和三角形OCA的面積比，而依據(jù)面積比等于相像比的平方即可得出BC與AC的比例關(guān)系．

（2）當(dāng)C是BP中點(diǎn)是，OC就是直角三角形OBP的斜邊的中線，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可過C作x軸的垂線通過構(gòu)建直角三角形求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BP的解析式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．

解：

（1）由題設(shè)知a＜0，

且方程ax2﹣8ax+12a=0有兩二根，

兩邊同時(shí)除以a得，x2﹣8x+12=0

原式可化為（x﹣2）（x﹣6）=0

x1=2，x2=6

于是OA=2，OB=6

∵△OCA∽△OBC

∴OC2=OA?OB=12即OC=2

而===，故

（2）由于C是BP的中點(diǎn)

∴OC=BC從而C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

又∴

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，

因其過點(diǎn)B（6，0），，

則有

∴

∴

又點(diǎn)在拋物線上

∴

∴

∴拋物線解析式為：．

本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、相像三角形的性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)．

19．（7分）某家電生產(chǎn)企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，打算調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，預(yù)備每周（按120個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：

問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高最高產(chǎn)值是多少？（以千元為單位）

設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，建立三元一次方程組，則總產(chǎn)值A(chǔ)=4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，故有x≥30臺(tái)，即可求得，詳細(xì)的x，y，z的值．

解：設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，則有

，

①﹣②×4得3x+y=360，

總產(chǎn)值A(chǔ)=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，

∵z≥60，

∴x+y≤300，

而3x+y=360，

∴x+360﹣3x≤300，

∴x≥30，

∴A≤1050，

即x=30，y=270，z=60．

最高產(chǎn)值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）

本題的實(shí)質(zhì)是考查三元一次方程組的解法．通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔問題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．

20．（9分）一個(gè)家庭有3個(gè)孩子，

（1）求這個(gè)家庭有2個(gè)男孩和1個(gè)女孩的概率；

（2）求這個(gè)家庭至少有一個(gè)男孩的概率．

畫樹狀圖展現(xiàn)全部8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出有2個(gè)男孩和1個(gè)女孩的結(jié)果數(shù)和至少有一個(gè)男孩的結(jié)果數(shù)，然后依據(jù)概率公式求解．

解：畫樹狀圖為：

共有8種等可能的結(jié)果數(shù)；