《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章 )課件

第七章

一階電路(First-OrderCircuits)《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解本章重點

動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)動態(tài)電路的方程和初始條件

一階電路的零輸入響應(yīng)

一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

一階電路的全響應(yīng)

一階電路的階躍響應(yīng)

一階電路的沖激響應(yīng)主要內(nèi)容《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)一、動態(tài)電路的方程和初始條件1．動態(tài)電路(dynamiccircuits)定義：含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。特點：當(dāng)動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。

內(nèi)因：電路中含儲能元件L，C；產(chǎn)生原因：

外因：電路換路，即開關(guān)通斷、電源變化、元件參數(shù)變化等?！峨娐吩怼返谖灏媪?xí)題解答,(第七章)K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUsRCi

(t→

)前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過渡期電容電路《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通電源后很長時間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?UL有一過渡期電感電路K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→

)t1《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)2．動態(tài)電路的方程+–uCus（t）

RCi

(t>0)應(yīng)用KVL和電感的VCR得：若以電流為變量：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)應(yīng)用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：有源電阻電路一個動態(tài)元件一階電路+–uLus（t）RLi

(t>0)《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)二階電路

描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：

動態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動態(tài)元件的個數(shù).C+–uLuS（t）RLi

(t>0)uC＋－＋－《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)一階電路:一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。動態(tài)電路的分類：二階電路:二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。高階電路:電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程?！峨娐吩怼返谖灏媪?xí)題解答,(第七章)

換路時電容上的電壓，電感上的電流不能躍變．3．換路定律

由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲能元件的能量也不能躍變．即uC，iL不能躍變．

t=0

:表示換路時刻(計時起點)；

t=0-

:表示換路前的終了瞬間；

t=0+

:表示換路后的初始瞬間．換路定律：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)4.初始條件(initialcondition)

概念：初始條件：變量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時的值獨立變量：變量及其初始值不能用其它變量和初始值求出．如，uC和iL非獨立變量：變量及其初始值可以用獨立變量和初始值求出．指電路中除

uC和iL的其他變量．《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)先由t=0-的電路求出uC(0–)、iL(0–)；根據(jù)換路定律，求出獨立變量初始值uC(0+)和iL(0+)

；將電容用電壓源代替，其值為uC(0+)，將電感用電流源代替，其值為iL(0+)，畫出0+時刻等效電路圖;根據(jù)0+時刻等效電路圖，用線性穩(wěn)態(tài)電路的分析方法求出所需要的非獨立變量初始值．

確定初始值的方法：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)t=0時將開關(guān)K閉合，t<0時電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，試求各元件電流、電壓初始值．t<0時電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路．例1解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)t=0+的等效電路如下圖(b)所示．

0+時刻等效電路《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)t=0時閉合開關(guān)，試求開關(guān)轉(zhuǎn)換前和轉(zhuǎn)換后瞬間的電感電流和電感電壓。開關(guān)閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路．例2解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)t=0時閉合開關(guān)，0+時刻等效電路如下圖(b)所示．

0+時刻等效電路所以:《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)二、一階電路的零輸入響應(yīng)定義：電路的輸入為零，響應(yīng)是由儲能元件所儲存的能量產(chǎn)生的，這種響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)(source-freeresponse)主要內(nèi)容：

RC電路的零輸入響應(yīng)

RL電路的零輸入響應(yīng)．《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

RC電路的零輸入響應(yīng)

圖(a)中的開關(guān)原來連接在1端，電壓源U0通過電阻Ro對電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到U0。在t=0時開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻R并聯(lián)，如圖(b)所示。

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

由換路定理得：電阻的電流為：由KCL和VCR得：由KVL得：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

這是一個常系數(shù)線性一階齊次微分方程。其通解為:

由式:

其解為:

稱為特征根(電路的固有頻率)。得到特征方程

:《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)于是電容電壓變?yōu)?

A是待定常數(shù)，由初始條件確定。根據(jù)初始條件

:求得:

當(dāng)t=0+時上式變?yōu)?

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)tO電流方面：

電路的零輸入響應(yīng)曲線《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)令

=RC，

具有時間的量綱，稱它為RC電路的時間常數(shù)，

的大小反映了電路過渡過程時間的長短?？偨Y(jié)：電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；U0tuc0

小

大

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短

的物理意義電壓初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長C大（R一定）W=Cu2/2

儲能大《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)當(dāng)時時間常數(shù)

等于電壓Uc衰減到初始值U0的36.8%所需的時間。I0tuc0

t1t2《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)動態(tài)過程時間(暫態(tài)時間)的確定

理論上認(rèn)為、電路達(dá)穩(wěn)態(tài).

工程上認(rèn)為~、電容放電基本結(jié)束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時間而衰減《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)能量關(guān)系

電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量：

電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到

已知電容電壓uC(0-)=6V。t=0閉合開關(guān)，求t>0的電容電壓和電容電流。

例1解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

將連接于電容兩端的電阻網(wǎng)絡(luò)等效于一個電阻，其電阻值為

得到圖(b)所示電路，其時間常數(shù)為

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)由

得到《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)RL電路的零輸入響應(yīng)

電感電流原來等于電流I0，電感中儲存一定的磁場能量，在t=0時開關(guān)由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。電路如下圖(a)(b)《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

換路后，由KVL得

代入電感VCR方程

得到以下一階線性齊次微分方程

這個微分方程其通解為

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)代入初始條件iL(0+)=I0求得

令

，則電感電流和電感電壓的表達(dá)式為

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)RL放電電路的波形0tuL-RI00tiLI0

電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；

響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，衰減快慢與τ有關(guān)；

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)能量關(guān)系：

電感不斷釋放能量被電阻吸收,

直到全部消耗完畢.電感放出能量：

電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)電路如圖所示，K合于①已很久，

t=0時K由①

合向②，求換路后的

換路前電路已穩(wěn)定，由換路定律可得：例1解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

從L兩端視入的等效電阻為換路后電路為零輸入響應(yīng)．時間常數(shù)為：i1LΩuLi2Ω3Ω6Ω46HiL+–uLRo《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)零輸入響應(yīng)為：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)小結(jié)

一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。

衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路：

=RC

,RL電路：

=L/R

R為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齊次線性常微分方程解答形式為：齊次方程通解非齊次方程特解零狀態(tài)響應(yīng)：電路的初始狀態(tài)為零，由外加激勵引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)(zero-stateresponse)。三、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由初始條件

uC

(0+)=0

定積分常數(shù)

A的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)分量）的特解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)-USuC‘uC“UStuc0

電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）+ti0《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

響應(yīng)變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。

響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系；

能量關(guān)系電容儲存：電源提供能量：電阻消耗:RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中?！峨娐吩怼返谖灏媪?xí)題解答,(第七章)例t=0時,開關(guān)K閉合，已知uC（0－）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC＝80V時的充電時間t。解500

10

F+-100VK+－uCi(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：（2）設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)當(dāng)t=0時開關(guān)K閉合，其電感電流和電感電壓的計算如下：

根據(jù)KVL,有又所以RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)tuLUStiL00這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為：

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例1t=0時,開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是一個RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>0《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例2t=0時,開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的及電流源的端電壓。解這是一個RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：iLK+–uL2H10

2A10

5

+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)全響應(yīng)：由儲能元件的初始儲能和激勵電源共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)(completeresponse)。四、一階電路的全響應(yīng)iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答為

uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC電路為例，電路微分方程：

=RC

全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解

uC'=US暫態(tài)解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)（1）著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全響應(yīng)=

零狀態(tài)響應(yīng)

+

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(2).

著眼于因果關(guān)系便于疊加計算《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例1t=0時,開關(guān)K打開，求t>0后的iL、uL解這是一個RL電路全響應(yīng)問題，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時,開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是一個RC電路全響應(yīng)問題，有：+–10V1A1

+－uC1

+－u1

穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：A=－10《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)+–24V1A1

+－uC1

+－u1

+-《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：令t=0+其解答一般形式為：分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個要素的問題用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵時：三要素

初始值--穩(wěn)態(tài)值--時間常數(shù)

--《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)1A2

例11

3F+-uC已知：t=0時合開關(guān)，求換路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例2t=0時,開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1應(yīng)用三要素公式《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)三要素為：+–20V2A5

5

+–10Vi2i10＋等效電路《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例3已知：t=0時開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)

。2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12解三要素為：4

+－4

i12i1u+－《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例4已知：t=0時開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)

。解三要素為：+–1H0.25F5

2

S10Vi《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：電感無初始儲能

t=0

時合k1,t=0.2s時合k2

求兩次換路后的電感電流

i(t)。0<t<0.2st>0.2s解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)五、一階電路的階躍響應(yīng)

在前面的討論中，我們看到直流一階電路中的各種開關(guān)，可以起到將直流電壓源和電流源接入電路或脫離電路的作用，這種作用可以描述為分段恒定信號對電路的激勵。隨著電路規(guī)模的增大和計算工作量增加，有必要引入階躍函數(shù)來描述這些物理現(xiàn)象，以便更好地建立電路的物理模型和數(shù)學(xué)模型，也有利于用計算機(jī)分析和設(shè)計電路。

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)1(t-t0)一、階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)1(t)的定義為k1(t)1kt0111(-t)《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

開關(guān)電路可以等效為階躍信號作用于該電路?！峨娐吩怼返谖灏媪?xí)題解答,(第七章)二、階躍響應(yīng)

階躍響應(yīng)：階躍信號作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的階躍響應(yīng).單位階躍響應(yīng)：單位階躍信號作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的單位階躍響應(yīng).單位階躍響應(yīng)用符號s(t)表示.單位階躍響應(yīng)用可以用三要素公式求解.《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應(yīng)如下所示：時間常數(shù)：

=RC或

=L/R。

(a)(b)《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

已知電路的階躍響應(yīng)，利用疊加定理容易求得在任意分段恒定信號激勵下線性時不變電路的零狀態(tài)響應(yīng)，例如圖(b)所示信號作用圖(a)所示RC串聯(lián)電路時，由于圖(b)所示信號可以分解為下面所示的若干個延遲的階躍信號的疊加。

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

其電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：

由圖(b)知，《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)用階躍電流源表示圖所示的方波電流，求解電路中電感電流的響應(yīng)，并畫出波形曲線。圖示方波電流，用兩個階躍函數(shù)表示：

iS(t)=[101(t)-101(t-1ms)]mA例1解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

該電路是線性電路，根據(jù)動態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于101(t)和-101(t-1ms)兩個階躍電源單獨作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。

1.階躍電流源101(t)mA單獨作用時，其響應(yīng)為：

2.階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨作用時，其響應(yīng)為：

3.應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為；

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

分別畫出和的波形，如曲線1和2所示。然后它們相加得到iL(t)波形曲線，如曲線3所示?！峨娐吩怼返谖灏媪?xí)題解答,(第七章)

圖示零狀態(tài)電路，激勵為E=10V，脈沖寬度為的脈沖函數(shù)，試求輸出電壓uC(t)，并畫出波形曲線。前例已經(jīng)用分段方法解過此題．即例2解《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)此題也可以用階躍函數(shù)表示法求解．此時激勵為：uS(t)=10[1(t)-1(t-1ms)]V

該電路是線性電路，根據(jù)動態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于101(t)和-101(t-1ms)兩個階躍電源單獨作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。1.階躍電流源101(t)mA單獨作用時，其響應(yīng)為：

2.階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨作用時，其響應(yīng)為：《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

3.應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為：

其波形如右圖所示．用第二種解法，當(dāng)t=

時，當(dāng)時，當(dāng)時，《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)(a)(b)(c)(d)

定義：六、一階電路的沖擊響應(yīng)一、單位沖擊函數(shù)

《電路原理》第五版習(xí)題解答,(第七章)

1(t)與δ(t)的關(guān)系：

δ(