差商及其性質

4.1差商（均差）及性質1

差商（均差）已知y=函數(shù)表則在上平均變化率分別為：

即有定義：定義為f(x)的差商§4

差商與牛頓插值多項式定義4為函數(shù)在的一階差商（一階均差）；稱為y=在點的二階差商（二階均差）；（3）一般由函數(shù)y=的n－1階差商表可定義函數(shù)的n階差商。稱為函數(shù)y=在點的n階差商（n階均差）。，稱（1）對于的一階差商表，再作一次差商，即（2）由函數(shù)y=即n－1階差商2

基本性質定理5（2）k階差商關于節(jié)點是對稱的，或說均差與節(jié)點順序無關，即例如：共6個的線性組合，即的k階差商是函數(shù)值（1）分析：當k=1時,(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1)證明：（1）當k

=1時,

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

表2.43

差商表

計算順序:同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列上一行的差商再作差商。4.2

牛頓插值多項式已知函數(shù)表（4.1）,

由差商定義及對稱性，得

1

牛頓插值多項式的推導將(b)式兩邊同乘以,抵消抵消抵消(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以記

---牛頓插值多項式---牛頓插值余項可以驗證

，即滿足插值條件,因此可得以下結論。

定理6

則滿足插值條件的插值多項式為：（牛頓插值多項式）其中，---牛頓插值多項式---牛頓插值余項2

n+1階差商函數(shù)與導數(shù)的關系由n次插值多項式的唯一性，則有,牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式都是次數(shù)小于或等于n的多項式,只是表達方式不同.?因為而的基函數(shù)可為:已知

函數(shù)表牛頓插值多項式系數(shù)牛頓插值多項式系數(shù)牛頓插值多項式系數(shù)階導數(shù)存在時，由插值多項式的唯一性有余項公式n+1階差商函數(shù)導數(shù)其中且為包含區(qū)間.依賴于則n

階差商與導數(shù)的關系為其中n+1階差商函數(shù)與導數(shù)的關系定理7計算步驟:(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算.3

牛頓插值多項式計算次數(shù)(當k=n時)(1)計算差商表(計算的系數(shù))

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

除法次數(shù)(k=n):(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算.乘法次數(shù):n優(yōu)點:(1)計算量小,較L-插值法減少了3-4倍.(2)當需要增加一個插值節(jié)點時,只需再計算一項,即

---遞推公式(適合計算機計算).乘除法次數(shù)大約為:4

兩函數(shù)相乘的差商定理8（兩函數(shù)相乘的差商）

顯然公式成立。

事實上，

一般情況，可用歸納法證明。#設證明：階差商為5

重節(jié)點差商（通過差商極限定義）定義5

(重節(jié)點差商)

若,的節(jié)點xi(i=0，1，…，n)定理7中互異，有了重節(jié)點差商的定義，該式中的節(jié)點可以相同。

說明：?則定義

類似的有其中

---牛頓插值多項式---牛頓插值余項§4

差商與牛頓插值多項式牛頓插值公式5

重節(jié)點差商定義5

(重節(jié)點差商)若,?則定義

類似的有證明：(2)首先,由定義泰勒展開式本課重點：

1、理解