2024屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．3．已知，，則等于（）．A． B． C． D．4．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．25．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．56．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[327．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．8．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④9．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．10．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．12．從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的最小值為_(kāi)_______.14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則__________.15．已知集合，，則_____________.16．在中，角的對(duì)邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.18．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的最大距離.19．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，20．（12分）已知橢圓：（），點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為（異于點(diǎn)），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊．某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)．從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適？附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：（2）某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中，只購(gòu)買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．22．（10分）已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設(shè)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋郑?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，其中，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.5、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.6、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，則函數(shù)fgx7、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對(duì)稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．10、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．11、A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號(hào)取得的條件。【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號(hào)取得的條件。14、【解析】

由題意知，繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于中檔題.15、【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）會(huì)超過(guò)；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬基礎(chǔ)題。18、（1）；（2）.【解析】

（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合求得的值，可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.【詳解】（1）易知點(diǎn)，又，所以點(diǎn)，則直線的方程為.聯(lián)立，解得或，所以.故拋物線的方程為；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立有，設(shè)點(diǎn)，，則，所以.所以，解得.所以直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn).又點(diǎn)，故當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解，同時(shí)也考查了拋物線中最值問(wèn)題的求解，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.20、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點(diǎn)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓，運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．【詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設(shè)，直線的斜率存在設(shè)為，則與橢圓聯(lián)立得，，∴，，∴若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，∴，化簡(jiǎn)得，∴，解得或因?yàn)榕c不重合，所以舍.所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用，屬于中檔題.21、（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預(yù)見(jiàn)，2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌，前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；(2)求得購(gòu)買電子書的概率為,只購(gòu)買紙質(zhì)書的概率為,購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購(gòu)買電子書，2人購(gòu)買電子書一人只購(gòu)買紙質(zhì)書，由此能求出購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受