2024屆上海市戲劇學院附屬中學數(shù)學高三第一學期期末達標測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆上海市戲劇學院附屬中學數(shù)學高三第一學期期末達標測試試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.2.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.3.點在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.4.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.6.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對值為5的概率為A. B. C. D.7.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺8.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.9.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.10.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點,,使得,且的中點在軸上,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.14.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.15.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑中,平面,,且,過點分別作于點,于點,連接,則三棱錐的體積的最大值為__________.16.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),當時,有極大值3;(1)求,的值;(2)求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.18.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎?wù)邤S各面標有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結(jié)束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎?wù)邚南渲腥我饷鰝€球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學期望不超過元,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求實數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求角的大?。唬?)若,的面積為,求及的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù);(2)若f(x)有兩個極值點證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

確定點為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯(lián)立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:【點睛】本題考查了向量模長的計算,意在考查學生的計算能力.4、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標;②:做關(guān)于準線的對稱點為,通過分析可知當三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達定理,可知焦點坐標的關(guān)系,進而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準線的對稱點為,故,當且僅當三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點坐標為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.5、C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當最大時,,求得,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

陽數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù),最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有:個,滿足差的絕對值為5的有:共個,則.故選:A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算,難度一般.古典概型的概率計算公式:.7、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.8、B【解析】

延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.9、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點:1、程序框圖;2、定積分.10、D【解析】

根據(jù)中點在軸上,設(shè)出兩點的坐標,,().對分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因為,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域為,故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運算能力,屬于較難的題目.11、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點,此時.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,考查了學生數(shù)學建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.14、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.15、【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得當AE=EF=2時,△AEF的面積最大,然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.【詳解】由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結(jié)合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,∴△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=2,而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,當且僅當AE=EF=2時,取“=”,此時△AEF的面積最大,三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為:VP﹣AEF===.故答案為【點睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定,基本不等式的應(yīng)用,同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.16、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)極小值為,遞減區(qū)間為:,遞增區(qū)間為.【解析】

(1)由題意得到關(guān)于實數(shù)的方程組,求解方程組,即可求得的值;(2)結(jié)合(1)中的值得出函數(shù)的解析式,即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,由當時,有極大值,則,解得.(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為,則,令,即,解得,令,即,解得或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,當時,函數(shù)取得極小值,極小值為.當時,有極大值3.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念,以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系,準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、;.【解析】

設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,求出;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,所以;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機變量的數(shù)學期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因為,解得,即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.19、(1);(2).【解析】

試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點的橫坐標,代入兩個曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點的橫坐標為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對求導(dǎo)得.設(shè)直線與曲線切于點,則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號,對函數(shù)求導(dǎo)得.當時,恒成立.當時,,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知在,上恒成立.①當時,在上恒成立,即在上恒成立,記,則,當變化時,變化情況列表如下:

3

0

極小值

∴,故“在上恒成立”只需,即.②當時,,當時,在上恒成立,綜合①②知,當時,函數(shù)為增函數(shù).故實數(shù)的取值范圍是考點:函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中,和切線有關(guān)的題目非常多,我們只要把握住關(guān)鍵點:一個是切點,一個是斜率,切點即在原來函數(shù)圖象上,也在切線上;斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點,列方程組,就能解決.本題第二問我們采用分層推進的策略,先求得的表達式,然后再求得的表達式,我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個工具來求的取值范圍了.20、(1);(2).【解析】

(1)分類討論去絕對值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.(2)先得到的取值范圍,判斷,為正,去掉絕對值,轉(zhuǎn)化為在時恒成立,得到,,在恒成立,從而得到的取值范圍.【詳解】(1)當時,,由,得,即,或,即,或,

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