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2024屆上海市戲劇學(xué)院附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.2.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.3.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.4.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題:①在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)僅有一個(gè);②若是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為;③無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.6.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書(shū)”之說(shuō),河圖、洛書(shū)是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無(wú)袤;上袤四尺,無(wú)廣;高七尺.問(wèn)積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺8.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且,,為邊上的中線(xiàn),若,則的面積為()A. B. C. D.9.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.10.已知函數(shù),若曲線(xiàn)上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.14.已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_(kāi)______.15.《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑,如圖,在鱉臑中,平面,,且,過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________.16.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_(kāi)______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),有極大值3;(1)求,的值;(2)求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.18.(12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)每滿(mǎn)元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次,若擲得點(diǎn)數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng);否則獲得三等獎(jiǎng),結(jié)束抽獎(jiǎng),已知抽獎(jiǎng)箱中裝有個(gè)紅球與個(gè)白球,抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷鰝€(gè)球,若個(gè)球均為紅球,則獲得一等獎(jiǎng),若個(gè)球?yàn)閭€(gè)紅球和個(gè)白球,則獲得二等獎(jiǎng),否則,獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率;若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為,若商場(chǎng)希望的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)元,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù),直線(xiàn)為曲線(xiàn)的切線(xiàn)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求及的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡(jiǎn)得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)?,②?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)?,所以,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】
①:由拋物線(xiàn)的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,通過(guò)分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時(shí)最小值;③:設(shè)出直線(xiàn)方程,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計(jì)算直線(xiàn)的斜率之差,可得兩直線(xiàn)斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.【詳解】解:對(duì)于①,設(shè),由拋物線(xiàn)的方程得,則,故,所以或,所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有二個(gè),故①不正確;對(duì)于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立,故②正確;對(duì)于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對(duì)于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義,考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì),考查了直線(xiàn)方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題,結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.5、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
陽(yáng)數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿(mǎn)足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.7、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.8、B【解析】
延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線(xiàn)作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.9、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.10、D【解析】
根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類(lèi),利用則,列方程,化簡(jiǎn)后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無(wú)解;若,顯然不滿(mǎn)足;若,則,由,即,即,因?yàn)?,所以函?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?,?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.11、B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來(lái),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.14、【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問(wèn)題,難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時(shí)要注意新元的范圍.15、【解析】
由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得當(dāng)AE=EF=2時(shí),△AEF的面積最大,然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.【詳解】由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結(jié)合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,∴△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=2,而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF=2時(shí),取“=”,此時(shí)△AEF的面積最大,三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為:VP﹣AEF===.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與平面垂直的判定,基本不等式的應(yīng)用,同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.16、【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)極小值為,遞減區(qū)間為:,遞增區(qū)間為.【解析】
(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組,求解方程組,即可求得的值;(2)結(jié)合(1)中的值得出函數(shù)的解析式,即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,由當(dāng)時(shí),有極大值,則,解得.(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為,則,令,即,解得,令,即,解得或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為.當(dāng)時(shí),有極大值3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念,以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、;.【解析】
設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,求出;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,所以;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,化簡(jiǎn)得,因?yàn)?,解得,即的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.19、(1);(2).【解析】
試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入兩個(gè)曲線(xiàn)的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對(duì)求導(dǎo)得.設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn),則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號(hào),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線(xiàn)在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線(xiàn)在上連續(xù)不斷知在,上恒成立.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上恒成立,記,則,當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:
3
0
極小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù).故實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn):函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中,和切線(xiàn)有關(guān)的題目非常多,我們只要把握住關(guān)鍵點(diǎn):一個(gè)是切點(diǎn),一個(gè)是斜率,切點(diǎn)即在原來(lái)函數(shù)圖象上,也在切線(xiàn)上;斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點(diǎn),列方程組,就能解決.本題第二問(wèn)我們采用分層推進(jìn)的策略,先求得的表達(dá)式,然后再求得的表達(dá)式,我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來(lái)求的取值范圍了.20、(1);(2).【解析】
(1)分類(lèi)討論去絕對(duì)值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.(2)先得到的取值范圍,判斷,為正,去掉絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立,得到,,在恒成立,從而得到的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由,得,即,或,即,或,
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