1997年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1997年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共15小題，1-10每小題4分,11-15每小題5分，滿分65分）1．（4分）設(shè)集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}2．（4分）如果直線ax+2y+2=0與直線3x﹣y﹣2=0平行，那么實(shí)數(shù)a等于（）A．﹣6B．﹣3C．D．3．（4分）函數(shù)y=tan（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（）A．B．C．D．4．（4分）已知三棱錐P﹣ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2．則二面角P﹣BC﹣A的大小為（）A．B．C．D．5．（4分）函數(shù)y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π6．（4分）滿足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范圍是（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]7．（4分）將y=2x的圖象____________再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2（x+1）的圖象（）A．先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位B．先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位C．先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位D．先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位8．（4分）長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是（）A．20πB．25πC．50πD．200π9．（4分）曲線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．10．（4分）函數(shù)y=cos2x﹣3cosx+2的最小值為（）A．2B．0C．D．611．（5分）橢圓C與橢圓關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圓臺(tái)上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014?碑林區(qū)一模）定義在區(qū)間（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)；偶函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象與f（x）的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①與④B．②與③C．①與③D．②與④14．（5分）不等式組的解集是（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）16．（4分）已知的展開式中x3的系數(shù)為，常數(shù)a的值為_________．17．（4分）（2014?陜西模擬）已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是

_________．18．（4分）的值為_________．1997年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共15小題，1-10每小題4分,11-15每小題5分，滿分65分）1．（4分）設(shè)集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的解集和集合的交集問題，注意等號(hào)，較簡(jiǎn)單．2．（4分）如果直線ax+2y+2=0與直線3x﹣y﹣2=0平行，那么實(shí)數(shù)a等于（）A．﹣6B．﹣3C．D．考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)它們的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直線ax+2y+2=0與直線3x﹣y﹣2=0平行，∴它們的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行，斜率相等．3．（4分）函數(shù)y=tan（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象．專題：綜合題．分析：先令tan（）=0求得函數(shù)的圖象的中心，排除C，D；再根據(jù)函數(shù)y=tan（）的最小正周期為2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函數(shù)y=tan（）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正切函數(shù)的圖象．要熟練掌握正切函數(shù)的周期，單調(diào)性，對(duì)稱中心等性質(zhì)．4．（4分）已知三棱錐P﹣ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2．則二面角P﹣BC﹣A的大小為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：平面與平面之間的位置關(guān)系；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．專題：計(jì)算題．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我們關(guān)鍵是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它邊與角的關(guān)系，解三角形進(jìn)行求解．解答：解：如圖所示，由三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE，則∠AEP即為所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故選C．點(diǎn)評(píng)：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠AEP為二面角P﹣BC﹣A的平面角，通過解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解題過程為：作∠AEP→證∠AEP是二面角的平面角→計(jì)算∠AEP，簡(jiǎn)記為“作、證、算”．5．（4分）函數(shù)y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法．分析：先將函數(shù)化簡(jiǎn)為：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期的求法．屬基礎(chǔ)題．6．（4分）滿足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范圍是（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考點(diǎn)：反三角函數(shù)的運(yùn)用．專題：計(jì)算題．分析：應(yīng)用反函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義及性質(zhì)，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx化為cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范圍是[，1]故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題．7．（4分）將y=2x的圖象____________再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2（x+1）的圖象（）A．先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位B．先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位C．先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位D．先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位考點(diǎn)：反函數(shù)；函數(shù)的圖象與圖象變化．分析：本題考查函數(shù)圖象的平移和互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，作為本題，可以用逐一驗(yàn)證的方法排除不合題意的選項(xiàng)，驗(yàn)證的個(gè)數(shù)在1到3個(gè)，對(duì)于本題，這不是最佳選擇，建議逆推得到平移后的解析式，這樣就可以方便的觀察到平移的方向及單位數(shù)．解答：解：利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，由函數(shù)y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1則函數(shù)y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函數(shù)為y=2x﹣1（x∈R）即函數(shù)y=2x平移后的函數(shù)為y=2x﹣1，易見，只需將其向下平移1個(gè)單位即可．故選D點(diǎn)評(píng)：本題采用先逆推獲取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和單位便一目了然，簡(jiǎn)便易行，值得嘗試．8．（4分）長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是（）A．20πB．25πC．50πD．200π考點(diǎn)：球的體積和表面積．專題：計(jì)算題．分析：設(shè)出球的半徑，由于直徑即是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，由此關(guān)系求出球的半徑，即可求出球的表面積．解答：解：設(shè)球的半徑為R，由題意，球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積，球的內(nèi)接體，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9．（4分）曲線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．考點(diǎn)：參數(shù)方程的概念．專題：計(jì)算題．分析：由題意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，將方程兩邊平方，然后與y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，t≠0），∴，∴將兩個(gè)方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．10．（4分）函數(shù)y=cos2x﹣3cosx+2的最小值為（）A．2B．0C．D．6考點(diǎn)：函數(shù)的值域；余弦函數(shù)的定義域和值域．專題：計(jì)算題．分析：先進(jìn)行配方找出對(duì)稱軸，而﹣1≤cosx≤1，利用對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴當(dāng)cosx=1時(shí)ymin=0，故選B點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)為載體考查二次函數(shù)的值域，屬于求二次函數(shù)的最值問題，屬于基本題．11．（5分）橢圓C與橢圓關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：計(jì)算題．分析：依題意可知橢圓C關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，長(zhǎng)軸和短軸不變，主要橢圓的中心即可．根據(jù)原橢圓方程可求得其中心坐標(biāo)，進(jìn)而求得其關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱點(diǎn)，則橢圓方程可得．解答：解：依題意可知橢圓C關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，長(zhǎng)軸和短軸不變，主要橢圓的中心即可．∵橢圓的中心為（3，2）關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣2，﹣3）故橢圓C的方程為故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的關(guān)系及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題．屬基礎(chǔ)題．12．（5分）圓臺(tái)上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）A．πB．2πC．πD．π考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．專題：計(jì)算題．分析：通過圓臺(tái)的底面面積，求出上下底面半徑，利用側(cè)面積公式求出母線長(zhǎng)，然后求出圓臺(tái)的高，即可求得圓臺(tái)的體積．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l(xiāng)=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故選D點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，通過底面面積求出半徑，轉(zhuǎn)化為求圓臺(tái)的高，是本題的難點(diǎn)，考查計(jì)算能力，?？碱}．13．（5分）（2014?碑林區(qū)一模）定義在區(qū)間（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)；偶函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象與f（x）的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①與④B．②與③C．①與③D．②與④考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．分析：根據(jù)f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），對(duì)①②③④進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得答案．解答：解：由題意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）?f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）?f（b）＞﹣f（b），故①對(duì)②不對(duì)．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）?f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）?f（a）＞﹣f（a），故③對(duì)④不對(duì)．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．14．（5分）不等式組的解集是（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考點(diǎn)：其他不等式的解法．專題：壓軸題．分析：可以直接去絕對(duì)值解不等式，比較復(fù)雜；可結(jié)合答案用特值法解決．解答：解：取x=2滿足不等式，排除A；再取x=2.5，不滿足，排除B、D故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查解絕對(duì)值不等式和分式不等式問題，要注意選擇題的特點(diǎn)，選擇特殊做法解決．15．（5分）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用；計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C104種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果即可得答案．解答：解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C104種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類．第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C64種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4頂點(diǎn)共面，有3種．以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141種．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)排列組合同立體幾何結(jié)合的題目，解題時(shí)注意做到不重不漏．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）16．（4分）已知的展開式中x3的系數(shù)為，常數(shù)a的值為4．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式中x3的系數(shù)，列出方程解得．解答：解：的展開式的通項(xiàng)為=令解得r=8∴展開式中x3的系數(shù)為∵展開式中x3的系數(shù)為∴解得a=4故答案為4點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．17．（4分）（2014?陜西模擬）已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是

．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；與圓有關(guān)的比例線段；不等式的基本性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先將原極坐標(biāo)方程中的三角函數(shù)式展開后兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解即得．解答：解：將原極坐標(biāo)方程，化為：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐標(biāo)方程為：x+y﹣1=0，則極點(diǎn)到該直線的距離是=．故填；．點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得．18．（4分）的值為．考點(diǎn)：角的變換、收縮變換．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先將分式中的15°化為7°+8°，利用兩角和的余弦、正弦展開，分子、分母分組提取sin7°，cos7°，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)，然后，就會(huì)求出tan15°，利用兩角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查角的變換，兩角和的正弦、余弦，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是中檔題．19．（4分）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線，則l⊥α；②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)所有的直線；③若m?α，l?β且l⊥m，則α⊥β；④若l?β且l⊥α，則α⊥β；⑤若m?α，l?β且α∥β，則l∥m．其中正確命題的序號(hào)是

①④．考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題：壓軸題．分析：對(duì)于①，考慮直線與平面垂直的判定定理，符合定理的條件故正確；對(duì)于②，考慮直線與平面平行的性質(zhì)定理以及直線與平面的位置關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于③考慮α⊥β的判定方法，而條件不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于④符合面面垂直的判定定理，故正確；對(duì)于⑤不符合線線平行的判定，故錯(cuò)誤．正確命題的序號(hào)是①④解答：解：①，符合定理的條件故正確；②，若l平行于α，則l與α內(nèi)的直線有兩種：平行或異面，故錯(cuò)誤；③m?α，l?β且l⊥m，則α與β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正確；⑤若m?α，l?β且α∥β，則l∥m或者異面，錯(cuò)誤，故正確命題的序號(hào)是①④．點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何中線線關(guān)系中的平行、線面關(guān)系中的垂直、面面關(guān)系中的垂直的判定方法，要注意對(duì)比判定定理的條件和結(jié)論，同時(shí)要注意性質(zhì)定理、空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用．三、解答題（共6小題，滿分69分）20．（10分）已知復(fù)數(shù)，．復(fù)數(shù)，z2ω3在復(fù)數(shù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q．證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．分析：利用復(fù)數(shù)三角形式，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，．然后計(jì)算復(fù)數(shù)，z2ω3，計(jì)算二者的夾角和模，即可證得結(jié)論．解答：解法一：，于是，，=因?yàn)镺P與OQ的夾角為，所以O(shè)P⊥OQ．因?yàn)?，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．解法二：因?yàn)?，所以z3=﹣i．因?yàn)?，所以?=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，是中檔題．21．（11分）已知數(shù)列{an}，{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．設(shè)cn=an+bn，Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．求．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；極限及其運(yùn)算；數(shù)列的求和．專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出an和bn，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分別求得Sn和Sn﹣1的表達(dá)式，進(jìn)而可得的表達(dá)式，分p＞1和p＜1對(duì)其進(jìn)行求極限．解答：解：，．分兩種情況討論．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的概念、數(shù)列極限的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．22．（12分）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．專題：應(yīng)用題．分析：（1）全程運(yùn)輸成本有兩部分組成，將其分別分別表示出來依題意建立起程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，由題設(shè)條件速度不得超過c千米/時(shí)．故定義域?yàn)関∈（0，c]．（2）由（1）知，全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了積為定值的情形，由于等號(hào)成立的條件有可能不成立，故求最值的方法不確定，對(duì)對(duì)速度的范圍進(jìn)行分類討論，如等號(hào)成立時(shí)速度值不超過c，則可以用基本不等式求求出全程運(yùn)輸成本的最小值，若等號(hào)成立時(shí)速度值大于最高限速v，可以判斷出函數(shù)在（0，c]上的單調(diào)性，用單調(diào)性求出全程運(yùn)輸成本的最小值．解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為故所求函數(shù)及其定義域?yàn)椋?）依題意知S，a，b，v都為正數(shù)，故有當(dāng)且僅當(dāng)，．即時(shí)上式中等號(hào)成立若，則當(dāng)時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小，若，即a＞bc2，則當(dāng)v∈（0，c]時(shí)，有==因?yàn)閏﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最?。C上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為；當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．23．（12分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)．（1）證明AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）證明線線垂直可先證線面垂直，欲證AD⊥D1F，可先證AD⊥面DC1，即可證得；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)G，將D1F平移到A1G，AB與A1G構(gòu)成的銳角或直角就是異面直線所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方體，∴AD⊥面DC1．又D1F?面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G，連接A1G，F(xiàn)G．因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F．設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角，因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90°，即直線AE與D1F所成角為直角．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線及其所成的角，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（12分）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜．（1）當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，證明x＜f（x）＜x1；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0＜．考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；不等式的證明．專題：證明題；壓軸題；函數(shù)思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的兩個(gè)根x1，x2，所以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＜f（x），然后作差x1﹣f（x），化簡(jiǎn)分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的兩個(gè)根x1，x2，函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，利用放縮法推出x0＜；解答：證明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因?yàn)閤1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x