人教A版選擇性必修第一冊322第2課時(shí)雙曲線簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用課件

第2課時(shí)雙曲線簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用第三章2023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.進(jìn)一步掌握雙曲線的方程及其簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用.2.會(huì)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.3.能運(yùn)用直線與雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點(diǎn)弦問題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、直線與雙曲線的位置關(guān)系1.類比直線與橢圓的位置關(guān)系,思考直線與雙曲線有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與雙曲線的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與雙曲線方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的方程,利用方程的解來判斷.2.設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0),雙曲線C:(a>0,b>0),兩方程聯(lián)立消去y,會(huì)得到一個(gè)什么樣的方程?怎樣判斷這個(gè)方程的解的個(gè)數(shù)?提示:兩方程聯(lián)立消去y,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.當(dāng)b2-a2k2=0時(shí),方程有一解;當(dāng)b2-a2k2≠0時(shí),Δ>0?方程有兩解;Δ=0?方程有一解;Δ<0?方程無解.提示:一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線與雙曲線相交.4.直線與雙曲線的位置關(guān)系一般地,設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0),①Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相交;Δ=0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相切;Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相離.A.0 B.1

C.2

D.4解析:直線過定點(diǎn)

且平行于雙曲線的一條漸近線,故與雙曲線有且只有1個(gè)交點(diǎn).答案:B二、直線與雙曲線相交的弦長公式1.直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓

(a>b>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),回想弦長|AB|的表達(dá)式是什么?若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),這個(gè)弦長公式還適用嗎?這個(gè)弦長公式對于雙曲線仍然適用.

3.直線

x-y+

=0被雙曲線x2-y2=1截得的弦AB的長為

.解析:聯(lián)立直線與雙曲線方程,得x2+3x+2=0,設(shè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),答案:2

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)?直線與雙曲線相切.(×)(4)直線和雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)?直線與雙曲線相交.(×)(5)過雙曲線焦點(diǎn)的直線一定與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).(×)合作探究釋疑解惑探究一生活中的雙曲線【例1】

飛船返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻,A接收到P的求救信號(hào),由于B,C兩地比A距P遠(yuǎn),在此4秒后,B,C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角.分析:先判斷點(diǎn)P滿足的軌跡,再建系求出點(diǎn)P滿足的兩個(gè)軌跡方程,聯(lián)立求解.解:由題意知|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因?yàn)閨PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近A的一支上.以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.反思感悟利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟(1)在實(shí)際問題中尋找?guī)缀瘟恐g的關(guān)系,得到幾何關(guān)系式,驗(yàn)證滿足雙曲線的定義.(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程或幾何性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問題.解:如圖,以AB的垂直平分線為y軸,直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOy,則CD⊥y軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C,D,且以A,B為焦點(diǎn),由雙曲線的對稱性知C,D關(guān)于y軸對稱,探究二直線與雙曲線的位置關(guān)系【例2】

已知直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)k為何值時(shí),A,B在雙曲線的同一支上?當(dāng)k為何值時(shí),A,B分別在雙曲線的兩支上?分析:直線與雙曲線有兩交點(diǎn)的條件是聯(lián)立的方程組有兩組解,也就是消元后獲得的一元二次方程有兩解.兩交點(diǎn)在同一支上,則說明兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)同號(hào),即一元二次方程有兩個(gè)同號(hào)根,兩交點(diǎn)分別在兩支上,則說明兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào),即一元二次方程有兩個(gè)異號(hào)根.解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),反思感悟

直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用,把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.①當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).②當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).③當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行(不包含重合的情形),直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,①直線過定點(diǎn)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時(shí),通過平行移動(dòng)直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.【變式訓(xùn)練2】

已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4.(1)若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)若直線l與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn),求k的取值范圍.(2)此時(shí)等價(jià)于(*)式方程只有一解.當(dāng)1-k2=0,即k=±1時(shí),(*)式方程只有一解;當(dāng)1-k2≠0時(shí),應(yīng)滿足Δ=4k2+20(1-k2)=0,探究三直線與雙曲線的相交弦問題【例3】

經(jīng)過點(diǎn)M(2,2)作直線l交雙曲線x2-

=1于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn).(1)求直線l的方程.(2)求線段AB的長.分析:先用點(diǎn)差法求l的斜率,再用弦長公式求|AB|.反思感悟

1.弦長的求法:求直線與雙曲線相交所得弦長,主要利用弦長公式,要注意方程的思想以及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.2.弦中點(diǎn)問題的解決方法:對于弦中點(diǎn)問題,通常使用點(diǎn)差法解決,以減小運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度.另外,對于相交弦問題還要注意靈活轉(zhuǎn)化,如垂直、相等等問題也可以轉(zhuǎn)化成中點(diǎn)、弦長問題解決.【變式訓(xùn)練3】

已知雙曲線

-y2=1,求過點(diǎn)A(3,-1)且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程.解法一:由題意知直線的斜率存在,故可設(shè)直線方程為y+1=k(x-3),即y=kx-3k-1,解法二:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),∵M(jìn),N均在雙曲線上,探究四直線與雙曲線的綜合問題【例4】

已知定點(diǎn)A(-1,0),F(2,0),定直線l:x=.不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過點(diǎn)F的直線交E于B,C兩點(diǎn),直線AB,AC分別交l于點(diǎn)M,N.(1)求E的方程;(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F,并說明理由.分析:(1)利用點(diǎn)P滿足的關(guān)系式,代入坐標(biāo)化簡即可;②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí),其方程為x=2,則B(2,3),C(2,-3),AB的方程為y=x+1,故以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F.反思感悟

雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應(yīng)用及參數(shù)范圍的探求上,直線方程與雙曲線方程聯(lián)立后,要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.另外,設(shè)而不求、根與系數(shù)的關(guān)系、消參也是常用的方法,在解題時(shí),應(yīng)有意識(shí)地運(yùn)用這些方法,達(dá)到熟練掌握的程度.【變式訓(xùn)練4】

已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2

,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2,y1=-y2.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.【易錯(cuò)辨析】

直線與雙曲線相交忽視特殊情況致誤【典例】

已知過點(diǎn)P(1,1),斜率為k的直線l,與雙曲線x2-

=1只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究直線l的斜率k的值.錯(cuò)解:由題意得l:y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5

=0.由題意得Δ=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解的原因是忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).正解:由題意得l:y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5

=0.若4-k2=0,即k=±2,此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);防范措施

解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí),要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元得到的方程是否為一元一次方程,即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況.【變式訓(xùn)練】

已知雙曲線C:x2-

=1,過點(diǎn)P(1,2)的直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則滿足上述條件的直線l共有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條解析:如圖,過點(diǎn)P(1,2)與雙曲線x2-

=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況,分別是垂直于x軸和與漸近線y=-2x平行.答案:B隨堂練習(xí)1.若直線y=mx+1與雙曲線x2-y2=1總有公共點(diǎn),則m的取值范圍是(

)

答案:D

2.若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是(

)