高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征；正態(tài)分布人教實(shí)驗(yàn)版（B）知識(shí)精講

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征；正態(tài)分布人教實(shí)驗(yàn)版(B）【本講教育信息】一。教學(xué)內(nèi)容：2.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.4正態(tài)分布二。教學(xué)目的1、能夠求出隨機(jī)變量的分布列，并利用分布列求出隨機(jī)變量的均值和方差，能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。2、掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，能夠計(jì)算有關(guān)概率值；了解假設(shè)檢驗(yàn)的思想。三。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)利用分布列求出隨機(jī)變量的均值和方差；正態(tài)分布的性質(zhì).四。知識(shí)分析1、離散型隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。①若X為隨機(jī)變量，Y=aX+b（其中a，b為常數(shù)），則Y也是隨機(jī)變量,且有E（aX+b）=aE（X）+b②若X～B（n，p），則E(X）=np③期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。④E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列惟一確定．即作為隨機(jī)變量X是可變的,可取不同值,而E（X）是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．⑤＋…直接給出了E（X）的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加．2、離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則[xi－E（X)］2描述了xi（i=1,2,…，n）相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D（X）為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平均根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。記作．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離均值的平均程度越小。設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，則(1)D(aX+b）＝a2D（X）(2）若X服從二點(diǎn)分布,則D（X）=p（1－p）（3）若X~B(n，p)，則D(X）=np（1－p）3、正態(tài)分布我們稱，x∈R（其中是參數(shù)，且）為正態(tài)變量X的概率密度函數(shù)，其圖象叫做正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布常記為。若X～，則X的均值與方差分別為：。參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)。是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)．可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1)曲線在x軸上方，與x軸不相交;（2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值；(4)當(dāng)一定時(shí),曲線隨著的變化沿x軸平移；（5）當(dāng)一定時(shí),曲線形狀由確定，越小，曲線越瘦高.當(dāng)時(shí)的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.一般來說，正態(tài)變量的取值在內(nèi)的概率是68.3％，在內(nèi)的概率是95.4%，在內(nèi)的概率是99。7％?！镜湫屠}】例1、某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p=0.6（1)求投籃一次時(shí)命中次數(shù)X的均值和方差；（2）求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的均值與方差.分析：（1）為兩點(diǎn)分布的均值和方差(2）為二項(xiàng)分布的均值和方差。可利用公式求解。解析：（1）投籃一次時(shí)命中次數(shù)X的分布列為：X01P0。40.6則（2）由題意,重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(5，0.6)于是，有點(diǎn)評(píng)：（1)投籃一次有兩個(gè)結(jié)果：命中與未命中,因此X服從兩點(diǎn)分布，用兩點(diǎn)分布的均值及方差公式;（2）投籃、射擊、抽樣（大量）等問題，都是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其隨機(jī)變量Y～B(n,p）,利用二項(xiàng)分布的均值、方差公式即可.例2、甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等．而兩個(gè)保護(hù)區(qū)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0。30.30。20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0。10。50.4試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平。解析：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為因?yàn)?，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定,而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散．點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問題,要充分理解隨機(jī)變量在實(shí)際問題中表示的意義，然后利用均值和方差的實(shí)際意義解決．例3、若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P（0<p〈1），用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．(l)求方差D（X）的最大值;（2）求的最大值。分析:本題是最值問題，需要先將D（X），及表示出來，利用函數(shù)知識(shí)解決．解析：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1,并且有P（X=l）=p,P（X=0)=l－p． 從而 (i） 當(dāng)時(shí),D（X）取得最大值,最大值為。（2），當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取“=”.因此，當(dāng)時(shí),取得最大值。點(diǎn)評(píng)：本題將方差知識(shí)與函數(shù)聯(lián)系起來，因此在求解過程中可以利用函數(shù)的性質(zhì)及使用研究函數(shù)的方法．例4、（2003年遼寧20，天津理20）A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3,B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1對(duì)B1A2對(duì)B2A3對(duì)B3現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng),每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分．設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為、（I）求的概率分布列。（II）求。分析:此題中的、不服從特殊分布,用定義求均值。解析:（I）、的可能取值分別為3，2，1，0P（=3)P（=2），P（=1)P（=0）根據(jù)題意知，所以（II）因?yàn)?，所以點(diǎn)評(píng):本題中第（I)問是第（Ⅱ)問的基礎(chǔ)，在利用定義求均值時(shí),必先求分布列.例5、已知某車間正常生產(chǎn)的某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布N（27.45，0。052）,質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽查了10個(gè)零件，測(cè)量得到它們的尺寸如下：27.34,27.49，27。55，27.23，27.40,27.46，27.38，27。58，27。54，27.68請(qǐng)你根據(jù)正態(tài)分布的小概率事件，幫助質(zhì)量檢驗(yàn)員確定哪些應(yīng)該判定為非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的.分析：利用正態(tài)變量在區(qū)間內(nèi)的取值的概率為99。7%來判斷。解析：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的思想，我們對(duì)落在區(qū)間(27.45－3×0。05,27。45+3×0。05）之外的零件尺寸做出拒絕接受零件是正常狀態(tài)下生產(chǎn)的假設(shè)，有兩個(gè)尺寸為27.23和27。68的零件，不符合落在區(qū)間（27.45－3×0。05，27.45+3×0.05）內(nèi)這一條件,判斷它們就是非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的。點(diǎn)評(píng)：本題是正態(tài)分布應(yīng)用中假設(shè)檢驗(yàn)的一個(gè)實(shí)例，依據(jù)的準(zhǔn)則是正態(tài)總體在區(qū)間外的取值的概率僅有0.3％來判斷個(gè)別零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的?！灸M試題】一、選擇題(每小題5分，共60分)1、甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是，乙解決這個(gè)問題的概率是,那么其中至少有1人解決這個(gè)問題的概率是(） A、 B、C、 D、2、如圖所示,1、2、3表示3種開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率依次是0。9、0.8、0.7，那么此系統(tǒng)的可靠性是（) A、0。504 B、0.994 C、0.496 D、0.063、甲、乙兩人同時(shí)獨(dú)立解答一道數(shù)學(xué)題，甲解出的概率為0.4，乙解出的概率為0。5，則該題能被解出的概率為（） A、0。9 B、0。2 C、0。7 D、0。14、兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲射中的概率P（A）=0.8，乙射中的概率P（B）=0。9，則目標(biāo)被擊中的概率為（） A、1.7 B、1 C、0.72 D、0.985、一整數(shù)等可能在1，2，…，10中取值，以X記除得盡這一整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，那么E（X）等于（） A、2.6 B、2。5 C、2。7 D、2。86、從5個(gè)數(shù)1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)，X表示中最大的一個(gè)，則X的分布列為（） A、X12345PB、X345PC、X12345P00D、X345P7、設(shè)隨機(jī)變量X～B（n,P）,且E(X）=1.6,D（X）=1.28，則（） A、n=8，P=0。2 B、n=4，P=0.4C、n=5,P=0.32 D、n=7，P=0.458、口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3,4，5,從中任取3球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則E（X）的值是(） A、4 B、4.5 C、4。75 D、59、設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率P（A）是（） A、 B、 C、 D、10、一次測(cè)驗(yàn)中共有4個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題均有4個(gè)備選答案,其中只有一個(gè)答案是正確的，某生隨機(jī)地就每小題各選一個(gè)答案,則其恰好選中3個(gè)正確答案的概率為（） A、 B、 C、 D、11、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X、Y，則的概率為(） A、 B、 C、 D、12、設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象,且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(） A、10與8 B、10與2 C、8與10 D、2與10二、填空題（每小題4分，共16分)13、若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為__________。14、一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________（用數(shù)字作答）15、拋擲兩枚骰子,當(dāng)至少有一個(gè)1點(diǎn)或一個(gè)2點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，否則稱試驗(yàn)失敗,則在20次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望是__________。16、四個(gè)人打橋牌，則你手中有5張黑桃，而另8張黑桃全在你的同伴手中的概率__________。三、解答題（共74分)17、（12分）一副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從這一副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率。18、（12分）從1，2,…，n這n個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，求其中一個(gè)小于k，另一個(gè)大于k的概率(）。19、（12分）對(duì)某種藥物的療效進(jìn)行研究，假定藥物對(duì)某種疾病的治愈率,現(xiàn)在10個(gè)患此病的病人中同時(shí)服用此藥，求其中至少有6個(gè)病人治愈的概率。20、（12分）某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0。21,0。23，0。25，0。28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中： (1）射中10環(huán)或7環(huán)的概率；（2)不夠7環(huán)的概率。21、（13分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為與,投中得1分,投不中得0分. (1）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和X的數(shù)學(xué)期望；(2)甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求這四次投球中至少一次命中的概率。22、（13分)9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0。5。若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種. （1）求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；（2)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；（3）求有坑需要補(bǔ)種的概率。（精確到0.001）

【試題答案】一、選擇題1、D 2、B 3、C 4、D 5、C 6、B7、A 8、B 9、D 10、C 11、C 12、B二、填空題13、 14、1.2 15、 16、三、解答題17、解析：至少有3張黑桃包括兩種情況：“恰好有3張黑桃"與“4張全是黑桃"，用這兩種情況的取法總數(shù)除以52張牌中任取4張牌的取法總數(shù)即可。 從52張牌中任取4張，有種取法，即，4張牌中至少有3張黑桃的取法有。因此，取4張牌中至少有3張黑桃的概率是。18、解：19、解：假定病人服用該藥或者治愈（事件A）或者沒有治愈（事件), 由題意， 至少有6人治愈可分為10人中6人愈,10人中7人愈，10人中8人愈，10人中9人愈，10人全愈五種情況： 0.97 答：至少有6人治愈的概率為0。97。20、解析：（1）設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中,A與B不可能同時(shí)發(fā)生,故A與B是互斥事件?！吧渲?0環(huán)或7環(huán)”的事件為A+B，故P(A+B）=P（A）+P（B）=0。21+0。28=0。49。 ∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0。49. （2）不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接入手，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面是大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理。 設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E，則事件為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)"，由（1)可知“射中7環(huán)"、“射中8環(huán)”等是彼此互斥的事件。 從而 ∴射不夠7環(huán)的概率為0.03。21、解:（1）依題意,記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則 ，,。甲、乙兩人得分之和X的可能取值為0