5.3.2.5.3.3極大值與極小值 最大值與最小值

5.3.2.。3極大值與極小值最大值與最小值【考點梳理】考點一：函數(shù)極值的定義1．極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．考點二：函數(shù)極值的求法與步驟1．求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．2．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值．考點三：函數(shù)最值的定義1．一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2．對于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值．考點四：求函數(shù)的最大值與最小值的步驟函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將函數(shù)f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．技巧訓(xùn)練總結(jié)：含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況(1)能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．(2)對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．【題型歸納】題型一：求函數(shù)的極值1．（2022下·廣東佛山·高二佛山市第四中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確，C錯誤；函數(shù)在處取得極小值，D錯誤．故選：B2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）求下列函數(shù)的極值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)極小值為，無極大值(3)極小值為0，無極大值【分析】（1）（2）求導(dǎo)，得到，再判斷出在這一點兩側(cè)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值情況（3）根據(jù)函數(shù)極值的定義，只要函數(shù)在某點附近的區(qū)域上是連續(xù)的，且在這一點兩側(cè)的單調(diào)性相反，這一點就是函數(shù)的極值點．【詳解】（1）．令，解得．因為當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處有極小值，且極小值為，無極大值．（2）．令，解得，．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：0（0，1）1－0+0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增無極值單調(diào)遞增所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且極小值為，無極大值．（3）．顯然函數(shù)在處不可導(dǎo)．當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減．故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且極小值為0，無極大值．3．（2023上·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點和極值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得其極值點和極值，由此得解.【詳解】（1）因為，所以，令，得；令，得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點為，極小值為，沒有極大值點和極大值.（2）因為，所以，令，得或；令，得或；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點為，極小值為，極大值點為，極大值為.（3）因為，所以，令，得或；令，得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點為，極小值為，極大值點為，極大值為.（4）因為，所以，令，得；令，得或；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則的極小值點為，極小值為，極大值點為，極大值為.題型二：由極值求參數(shù)4．（2023下·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在處有極值10，則（）A． B．0 C．7 D．0或7【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知，求出a，b并驗證作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，于是是函數(shù)的極值點，符合題意，所以.故選：C5．（2023下·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的兩個極值點分別為和2，若的極大值為1，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過兩個極值點可得到，然后分和兩種情況進行討論即可【詳解】由可知，因為函數(shù)的兩個極值點分別為和2，所以和2是的零點，故和2是的實數(shù)根，，，．當(dāng)，即時，當(dāng)，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時極大值為，，；當(dāng)，即時，當(dāng)，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時極大值為，，，只要，無論a取何值，始終成立，故選：B．6．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在處取到極小值．(1)求的值；(2)求曲線在點處的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極小值列出方程組即可得解；（2）求出切點處導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，據(jù)此寫出切線方程即可.【詳解】（1）因為，則，即，當(dāng)時，，時，，時，，故在處取到極小值，所以滿足題意.（2）由（1）知，，則，故切線方程為：，即.題型三：導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖像與極值或極值點的關(guān)系7．（2023下·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．有兩個極值點 B．C．為的極小值 D．有一個極大值【答案】D【分析】根據(jù)給定的圖象，求出和的解集，再逐項判斷作答.【詳解】令的圖象與x軸最右邊交點橫坐標(biāo)為，觀察圖象知，由，得或，由，得或，函數(shù)有3個極值點，A錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，，B錯誤；顯然2不是函數(shù)的極值點，則不為的極小值，C錯誤；顯然1是函數(shù)的極大值點，則有一個極大值，D正確.故選：D8．（2023下·北京東城·高二北京二中?？计谀┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．在區(qū)間上有個極值點B．在處取得極小值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在處取得極大值【答案】C【分析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可得的取值情況，即可判斷.【詳解】根據(jù)的圖象可得，在上，，且僅有，∴在上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上沒有極值點，故A、B、D錯誤，C正確；故選：C.9．（2023下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)的描述錯誤的是（

）A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．為極值點D．為極值點【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)圖象正負性，零點情況可判斷選項正誤.【詳解】A，因時，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；B，因時，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C，由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為極小值點，故C正確；D，由圖可得在上單調(diào)遞增，則不為極值點，故D錯誤.故選：D題型四：函數(shù)的最值與極值的關(guān)系10．（2023·高二課時練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)的極值與最值的命題中，為真命題的是（

）．A．函數(shù)的最大值一定不是這個函數(shù)的極大值B．函數(shù)的極大值可以小于這個函數(shù)的極小值C．函數(shù)在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數(shù)的最小值D．函數(shù)在開區(qū)間上不存在極大值和最大值【答案】B【分析】設(shè)，，求出其最大值和極大值可判斷A和D；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時，在上單調(diào)遞增時，可以出現(xiàn)極大值小于這個函數(shù)的極小值，說明B正確；根據(jù)極小值一定不是端點值，最小值可能是端點值，可判斷C.【詳解】對于A，設(shè)，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得極大值，也是最大值，故A不正確；對于B，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在時取得極大值，在時取得極小值，這里可以小于，故B正確；對于C，函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最小值可能是端點值，而極小值一定不是端點值，故C不正確；對于D，由A可知，函數(shù)在開區(qū)間上存在極大值和最大值.故D不正確；故選：B11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對四個選項作出判斷.【詳解】由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當(dāng)時，；當(dāng)c<x<e時，；當(dāng)x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．12．（2019上·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┰O(shè)，在上，以下結(jié)論正確的是（

）A．的極值點一定是最值點 B．的最值點一定是極值點C．在上可能沒有極值點 D．在上可能沒有最值點【答案】C【分析】結(jié)合極值點、最值點的概念對所給選項進行分析即可.【詳解】由已知，，由，得或時；由，得時，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.對于選項A，取，易知的極值點為，且，而，所以不是最小值點，故A錯誤；對于選項B，取，則在上單調(diào)遞減，故是最值點，但不是極值點，故B錯誤，C正確；對于選項D，由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值，知選項D錯誤.故選：C題型五：不含參函數(shù)的最值問題13．（2023下·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．【詳解】，，令，解得，令，解得或，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，故在上的最小值是0.故選：C．14．（2024·四川成都·成都七中校考一模）設(shè)函數(shù)，(1)求、的值；(2)求在上的最值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，再由區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得解.【詳解】（1）因為，所以，取，則有，即；所以，取，則有，即．故，．（2）由（1）知，，則，所以、與，的關(guān)系如下表：0120單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，．15．（2023上·遼寧鞍山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最大值與最小值．【答案】(1)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)最小值為，最大值為．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)的符號即可得解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值可得最大值，比較端點即可得最小值.【詳解】（1）定義域為．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間．（2）令，得或．因為，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的最大值為．又，因為，所以在上的最小值為．題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題16．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2e，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的單調(diào)性，結(jié)合即可求解.【詳解】，令，得，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2e，必有，即.故選：B17．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為3，求實數(shù)的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.（2）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論求解最小值即可作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)在點處切線方程為，即.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得，矛盾，當(dāng)時，由，得，函數(shù)遞減，由，得，函數(shù)遞增，因此，解得，從而，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，矛盾，所以.18．（2023下·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；(2)當(dāng)時，若在上的最小值為，求實數(shù)的值．【答案】(1)極小值，無極大值(2)【分析】（1）當(dāng)時，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（2）對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，的定義域是，且，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

所以在有極小值，無極大值.（2）解：因為，則，因為，

①當(dāng)時，即當(dāng)，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減，所以，所以（舍去）；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.

綜上，.題型七：含參函數(shù)的最值問題19．（2023下·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，然后再利用導(dǎo)數(shù)確定的最大值.【詳解】因為，所以的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，令得，此時單調(diào)遞減，令得，此時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即，，令得，此時單調(diào)遞增，令得，此時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，即.故選：A.20．（2023下·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求極值：(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值．【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到極值情況；（2）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，分和兩種情況，求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值，綜上，的極大值為，極小值為；（2），，故，，令得或，因為，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，所以；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以；綜上：21．（2023下·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若，，求函數(shù)斜率為的切線方程；(2)若，討論在的最大值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得，對函數(shù)進行求導(dǎo)，設(shè)切點為，切線斜率為1，得到切線坐標(biāo)，再代入切線方程中即可求解；（2）若，則，對函數(shù)進行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)、、、這四種情況，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域為，當(dāng)，時，函數(shù)，可得，不妨設(shè)切點為，此時，因為切線斜率為1，所以，解得，所以，此時切點坐標(biāo)為，則曲線在點處的切線方程為，即；（2）若，即，此時，函數(shù)定義域為，可得，令，解得，當(dāng)，即時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，又，，當(dāng)，即時，可得，所以當(dāng)時，；當(dāng)，即時，可得，所以當(dāng)時，；當(dāng)，即時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為0；當(dāng)時，函數(shù)的最大值為．題型八：函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的綜合問題22．（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（），則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)一定有極值B．當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)C．當(dāng)時，函數(shù)的極小值為D．當(dāng)時，函數(shù)的極小值的最大值大于0【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，舉反例可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷B；求得函數(shù)極值判斷C；根據(jù)函數(shù)極小值的表達式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值判斷D.【詳解】由得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，無極值，A錯誤；當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，B錯誤；由B的分析可知，時，函數(shù)取極小值，極小值為，C正確；令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增減，故，即當(dāng)時，函數(shù)的極小值的最大值小于等于0，D錯誤；故選：C23．（2023下·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點處切線的斜率為2e，且.(1)求a，b的值；(2)令，當(dāng)時，恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義，聯(lián)立已知，解方程組可得；（2）由恒成立取特值先探求必要條件，再證明其也是充分條件，通過放縮，將問題轉(zhuǎn)化為證明，再分別證明與指、對兩個不等式恒成立即可.【詳解】（1）由曲線在點處切線的斜率為2e，則，且，解得，代入，解得.故.（2）由（1）知，得，由恒成立，，解得.即是恒成立的必要條件，下面證明也是恒成立的充分條件.由，得，則，令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，即①.令，則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，即②.由①②可得，恒成立.故也是恒成立的充分條件.綜上所述，當(dāng)時，恒成立，m的取值范圍為.【點睛】方法點睛：不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，除一般的分類討論思路外，有時可適當(dāng)考慮區(qū)間端點值或區(qū)間內(nèi)的特殊函數(shù)值的范圍限定，先找到一個不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，這是一種必要條件探路，再證充分性的方法.若在端點處進行的范圍限定，此方法也叫端點效應(yīng).24．（2023下·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)若，討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時，都有成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)1【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，得到的單調(diào)性；（2）變形得到，令，，只需，求導(dǎo)，結(jié)合隱零點得到的單調(diào)性和極值，最值情況，得到，從而求出整數(shù)的最大值.【詳解】（1），定義域為R，且，當(dāng)時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，，此時單調(diào)遞增，令得，，此時單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意得，在上恒成立，因為，所以，故，令，，只需，，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，即，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，所以，故整數(shù)的最大值為1.【雙基達標(biāo)】一、單選題25．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①是函數(shù)的極值點；②是函數(shù)的最小值；③在處切線的斜率小于零；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性，極值點的關(guān)系結(jié)合圖象即可判斷.【詳解】由題知，根據(jù)，可以確定函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間以及切線斜率的正負，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時，，，3的左邊負右邊正，兩邊互為異號，所以在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，由此可得：①是函數(shù)的極值點；④在區(qū)間上單調(diào)遞增，這兩個結(jié)論正確.②是函數(shù)的最小值；③在處切線的斜率小于零，這兩個結(jié)論錯誤.故選：B.26．（2023下·四川眉山·高二?？茧A段練習(xí)）若是函數(shù)的極值點，則的極小值點為（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，由求出，得到，令求出求出或1，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到的極小值點.【詳解】，由題意得，解得，故，令，解得或1，令，解得或，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故1為的極小值點.故選：B27．（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析可得原題意等價于與在內(nèi)有交點，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】由題意可得：，若函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則在有零點，即在上有解，整理得在有解，原題意等價于與在內(nèi)有交點，因為在上單調(diào)遞增，則，所以.故選：A.28．（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．的圖象在處的切線斜率大于C．在上單調(diào)遞增 D．的最大值為【答案】D【分析】求導(dǎo)可判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，求導(dǎo)得，故A錯誤；對于B，的圖象在處的切線斜率，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最大值為，故D正確；故選：D29．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)在點處的切線斜率為．(1)求實數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)2(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為，極小值，無極大值．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得的值；（2）求出，令，求得增區(qū)間，令，求得減區(qū)間，再根據(jù)極值的定義可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為在點處的切線斜率為，，即，；（2）由（1）得，函數(shù)，，令，得，令，得，即的增區(qū)間為，減區(qū)間為．故在處取得極小值，無極大值．30．（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)曲線在點處的切線方程為（其中，a，，是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為0【分析】（1）根據(jù)切線斜率和切點在切線上列式計算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后比較端點值和極值即可求解最值.【詳解】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.31．（2023下·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)1【分析】（1）由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間；（2）不等式變形為恒成立，令，由導(dǎo)數(shù)求得的最大值得參數(shù)的范圍，從而得的最小值．【詳解】（1）由已知條件得，其中的定義域為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）①由恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，所以a的最小值為【高分突破】一：單選題32．（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獙θ我獾?，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對已知不等式進行變形，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、常變量分離法進行求解即可.【詳解】因為，所以①，令，則，設(shè)，所以，當(dāng)時，，當(dāng)x>1時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，因為①式可化為，所以，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，故選：C.33．（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校╆P(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點；②函數(shù)有且只有1個零點；③存在正實數(shù)k，使得成立；④對任意兩個正實數(shù)，且，若，則．A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】對于①：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得極值點；對于②：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理分析判斷；對于③：整理得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進而可得結(jié)果；對于④：分析可得原題意等價于即證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而分析判斷.【詳解】對于①：由題意可得：函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，0；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故①錯誤；對于②：令，則函數(shù)的定義域為，且恒成立，可知在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)有且只有1個零點，故②正確；對于③：若，整理得，令，則，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，所以在上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時，趨近于，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故③錯誤；對于④：由①可知：若，則，要證，即證，且在上單調(diào)遞增，即證，又因為，所以證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，④正確；故選：B.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．34．（2023下·陜西西安·高二期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就，分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】，其中，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，此時在內(nèi)無最值，當(dāng)時，若，則，若，則，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在處取最大值，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故選：A.35．（2023下·福建三明·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．B．曲線在點處的切線方程為．C．函數(shù)既有極大值又有極小值，且極大值大于極小值．D．若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)值的定義及求過點處的切線方程的步驟，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及將方程有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可知的定義域為，，令，即，解得或當(dāng)時，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.故A錯誤；當(dāng)時，取得極大值為，當(dāng)時，取得極小值為，因為，所以極大值小于極小值，故C錯誤；對于B，切線斜率，曲線在點處的切線方程為，即，故B錯誤；對于D，由上分析可作出的圖象如圖所示要使方程有兩個不等實根，只需要與有兩個交點，由圖可知，，所以實數(shù)的取值范圍為.故D正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用求過點處的切線方程的方法及零點的存在性定理判斷方程的根，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及作出函數(shù)的大致圖象，將方程有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為與有兩個交點即可.二、多選題36．（2023下·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．在上是減函數(shù)B．在定義域內(nèi)無零點C．的單調(diào)遞增區(qū)間為和D．的極小值小于極大值【答案】BC【分析】判斷出函數(shù)定義域為，即可知A錯誤；再由函數(shù)奇偶性可知在定義域內(nèi)無零點，即B正確；求導(dǎo)可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和，可知C正確；即可求出極小值大于極大值為，可得D錯誤.【詳解】由可得函數(shù)的定義域為；，令，可得或；易知當(dāng)或時，，此時在，上分別單調(diào)遞減，所以A錯誤；易知函數(shù)滿足，即為奇函數(shù)，顯然在上恒大于零，由對稱性可知在上恒小于零，所以在定義域內(nèi)無零點，即B正確；易知當(dāng)或時，，此時在，上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，即C正確；所以在處取得極大值為，在處取得極小值為，即的極小值大于極大值，即D錯誤；故選：BC37．（2023下·重慶長壽·高二重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的極大值為 B．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或C．函數(shù)必有兩個極值點 D．函數(shù)必有三個零點【答案】ACD【分析】求導(dǎo)即可判斷A，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立即可判斷BC，根據(jù)零點的定義即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則函數(shù)的極大值為，故A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，由，可得必有兩根，且，則在單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，由B選項可知，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)必有兩個極值點，故C正確；對于D，，而，其中，則必有兩相異實根，且不為0，故必有3個零點，故D正確；故選：ACD38．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┖瘮?shù)，的最大值為，最小值為，則（

）A．或 B．若，則C．若，可得 D．或【答案】AB【分析】對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出合適的選項.【詳解】因為，，則，當(dāng)時，則為常值函數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，，則，又因為，，因為，則，解得；當(dāng)時，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，解得，又因為，，因為，則，解得.綜上所述，或，AB都對，CD都錯.故選：AB.39．（2023下·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有極小值B．函數(shù)在處切線的斜率為4C．當(dāng)時，恰有三個實根D．若時，，則的最小值為2【答案】AD【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象判斷ACD，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷B.【詳解】由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項A：可知的極小值為，故A正確；對于選項B：因為，所以函數(shù)在處切線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：對于方程根的個數(shù)，等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；對于選項D：若時，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題40．（2023下·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有2個不同的零點，且兩個零點均大于零可求解．【詳解】函數(shù)，定義域為，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則有兩個不同正根，即有兩個不同正根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：41．（2023下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，給出以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)；②在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)；③x＝－3是極小值點；④x＝4是極大值點．其中結(jié)論正確的序號是．【答案】④【分析】①由導(dǎo)數(shù)的正負判斷；②由導(dǎo)數(shù)的正負判斷；③由極小值點的定義判斷；④由極大值點的定義判斷.【詳解】當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，由的圖象知：①在區(qū)間上不單調(diào)，故錯誤；②在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，故錯誤；③由極小值點的定義知：x＝－3不是極小值點，故錯誤；④由極大值點的定義知：x＝4是極大值點，故正確．故答案為：④42．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，恒成立，則整數(shù)的最大值為．【答案】【分析】先猜測整數(shù)的最大值為，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論成立.【詳解】當(dāng)時，，所以猜測整數(shù)的最大值為，下面證明滿足題意：即當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立，設(shè)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，于是，整數(shù)的最大值為.故答案為：【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，若所求參數(shù)具有“整數(shù)”等特點，可以考慮先利用特殊值求得參數(shù)的一個“大概取值”，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值等，從而確定正確答案.43．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】構(gòu)造，得到為奇函數(shù)，且求導(dǎo)得到其在上單調(diào)遞增，不等式變形得到，得到在恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)性和最值，求出.【詳解】令，，所以是奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，即，即，故，所以在恒成立.令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.44．（2023下·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，若函數(shù)恰有一個實根，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可得到的取值情況，依題意函數(shù)與恰有一個交點，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，當(dāng)時，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在處取得極大值，又，且當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，因為函數(shù)恰有一個實根，即恰有一個實根，即函數(shù)與恰有一個交點，所以或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題45．（2023上·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當(dāng)時，，使得．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系證明不等式能成立問題.【詳解】（1）易知，,當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當(dāng)時，在處取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，所以，，使得．46．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，無極小值(2)【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷單調(diào)性與極值；（2）解法一：設(shè)，，求導(dǎo)，再令，，求導(dǎo)可判斷，使得，即，則，即，進而確定函數(shù)函數(shù)得單調(diào)性與最值，進而可得；解法二：令，求導(dǎo)可證，所以，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，若恒成立，則，即可得.【詳解】（1）由已知可得，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的極大值點，無極小值點，所以的極大值為，無極小值；（2）解法一：設(shè)，，則，令，，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，使得，即，則，即．因此，當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減，故，解得，所以當(dāng)時，恒成立，即實數(shù)的取值范圍是．解法二：令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單