重慶市外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月測試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

重慶外國語學(xué)校高2026屆高一上期12月測試數(shù)學(xué)試題（滿分150分，120分鐘完成）命題人：高一數(shù)學(xué)備課組審題人：高一數(shù)學(xué)備課組第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對集合化簡，然后求出即可.【詳解】因?yàn)椋獾?，因?yàn)椋獾?，所以，，所?故選：D.2.下列四個(gè)數(shù)中最大是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，則，結(jié)合作差法可得答案.【詳解】因?yàn)樗裕?，所以四個(gè)數(shù)中最大的是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷三個(gè)數(shù)大小.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性可排除B；由可排除選項(xiàng)A、D.【詳解】設(shè)，定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故排除選項(xiàng)B；又，排除選項(xiàng)A；，排除選項(xiàng)D.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由解析式選函數(shù)圖象的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，此類題一般從單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值入手，是一道容易題.5.設(shè)函數(shù)（，且）的圖象過點(diǎn)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于（）A.6 B.5C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)，得出方程組，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可得，即，解得，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及反函數(shù)的應(yīng)用，其中解答中熟記反函數(shù)的性質(zhì)，列出方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣．按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于等于．經(jīng)測定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.20分鐘【答案】B【解析】【分析】由時(shí)，，代入求得，再由求解.【詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以，由題意得，即，兩邊取對數(shù)得，所以，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為14分鐘，故選：B7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號，故選:C.8.已知實(shí)數(shù)，，，，則的整數(shù)部分是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，，所以求得整數(shù)部分為．【詳解】，因?yàn)?，則，令在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）當(dāng)或時(shí)，所以，所以整數(shù)部分為2，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．9.若冪函數(shù)的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，則可能的值為（）A. B.1 C. D.3【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和奇偶性，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義可知，對于A，若，則，易知其定義域?yàn)椋?，則，則其為偶函數(shù)，不符合題意；對于B，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，符合題意；對于C，當(dāng)時(shí)，則，定義域?yàn)?，不符合題意；對于D，當(dāng)時(shí)，則，定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，符合題意；故選：BD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)，是增函數(shù)，零點(diǎn)為B.已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是C.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)D.函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)的定義即可判定；對于B，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判定即可；對于C,利用函數(shù)圖象即可判定；對于D,根據(jù)題意建立不等式組，解出即可.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，是上的增函數(shù)，令，得，則函數(shù)得零點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)，，易得函數(shù)為上的增函數(shù)，又，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故B正確；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則C正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，則有，解得，故D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)對，都有，且任取，，以下結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.若，則【答案】AB【解析】【分析】先根據(jù)題設(shè)條件得出函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，再利用這兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行函數(shù)值比較以及解抽象不等式.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對，都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又任取，則在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．對于A，，則有，A正確；對于B，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在時(shí)取得最大值，即對，B正確；對于C，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，則，C錯(cuò)誤；對于D，若，因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，則有或，解得或，D錯(cuò)誤．故選：AB.12.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列選項(xiàng)中成立的是（）A. B.C.與的圖象關(guān)于對稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)與互為反函數(shù)，根據(jù)與垂直與反函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對稱性可得.【詳解】由，得，，即可得，即有，，而不在的圖象上，故的圖象與的圖象不關(guān)于對稱.因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，又因與垂直，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數(shù)性質(zhì)知關(guān)于對稱，則，，故選：ABD第П卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．13.設(shè)函數(shù)，則______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)求函數(shù)值的方法結(jié)合已知解析式計(jì)算得出答案.【詳解】函數(shù)，，故答案為：7.14.已知，，則x＋2y的值為____________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)指對運(yùn)算化簡，再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算的值.【詳解】，.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)運(yùn)算，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15.若函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到函數(shù)為遞增函數(shù)，再由，得到函數(shù)為奇函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以為奇函數(shù)，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.16.已知函數(shù)是偶函數(shù)，若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，求的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】由奇偶性求得參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)數(shù)解，再變形轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，從而只要求得函數(shù)的值域即可得．【詳解】，即對于任意恒成立．，，，由題意知方程即方程無解．令，則函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)．任取，且，則．，在上是單調(diào)減函數(shù)．．的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．其中，17題10分，18，19，20，21，22各12分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．17.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)若方程恰3有個(gè)不同的解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求解析式，即設(shè)，則有＞0，利用可求得，然后寫出完整的函數(shù)式；（2）作出函數(shù)的圖象，確定的極值和單調(diào)性，由圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)可得的范圍．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，.(2)當(dāng)時(shí)，，最小值為；當(dāng)，，最大值為.據(jù)此可作出函數(shù)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象得，若方程恰有個(gè)不同的解，則的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．在求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（或方程解的個(gè)數(shù)）時(shí)，可把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)的函數(shù)圖象和一條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，這里函數(shù)通常是確定的函數(shù)，直線是動直線，由動直線的運(yùn)動可得參數(shù)取值范圍．18.若，且．（1）求的最小值及對應(yīng)的的值；（2）當(dāng)取何值時(shí)，，且．【答案】18.當(dāng)時(shí)，最小值為19.【解析】【分析】（1）代入利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．進(jìn)而利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（2）由題意知：，利用一元二次不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【小問1詳解】．由已知得．又．故．當(dāng)，即時(shí)，有最小值．【小問2詳解】由題意得，所以.19.已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，（1）求最小值.（2）若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性，聯(lián)立方程求出函數(shù)的解析式，即可判斷最小值；（2）恒成立問題，分離參數(shù)后構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的最小值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)滿足①，所以，由函數(shù)的奇偶性可得，②，由①+②得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以函數(shù)的最小值為1.【小問2詳解】因?yàn)閷θ我獾模愠闪?，即對任意的，恒成立，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.20.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求，值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，代入即可得解；（2）由可判斷函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得恒成立，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，則，所以，又恒成立，所以；（2）因?yàn)椋瘮?shù)單調(diào)遞減，又恒成立，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式，屬于中檔題.21.函數(shù)（1）求證：在上是增函數(shù).（2）若函數(shù)是關(guān)于的方程在有解，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；（2）將方程g（x）=m+f（x）轉(zhuǎn)化為m=g（x）﹣f（x），然后求出函數(shù)g（x）﹣f（x）的表達(dá)式，即可求出m的取值范圍．【詳解】1）（1）任設(shè)x1＜x2，，∵x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．2）由g(x)=m＋f(x)，∴，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查邏輯推理能力與運(yùn)算能力．22.已知定義在上的函數(shù)恒成立，（1）求