北京市西城區(qū)普通中學(xué)2024屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題理試題_第1頁(yè)
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北京市西城區(qū)普通中學(xué)2024屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題理試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓,直線與直線相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.2.中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切,則雙曲線的離心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或3.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.4.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.5.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是().A. B. C. D.6.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.7.公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.128.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.9.已知是空間中兩個(gè)不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則10.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.11.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心12.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.五聲音階是中國(guó)古樂基本音階,故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個(gè)音階全用上,排成一個(gè)五個(gè)音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成______種不同的音序.14.(5分)已知為實(shí)數(shù),向量,,且,則____________.15.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.16.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.18.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大?。唬?)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.19.(12分)為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況,從這10天中隨機(jī)抽取1天,他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最小值.21.(12分)在中,設(shè)、、分別為角、、的對(duì)邊,記的面積為,且.(1)求角的大??;(2)若,,求的值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【題目詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線過(guò)點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.2、A【解題分析】

根據(jù)題意,由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程,再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論,進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,是圓的切線得:,得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論:

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有:②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有:∴求得雙曲線的離心率2或.

故選:A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.解題的關(guān)鍵是:由圓的切線求得直線的方程,再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式,從而解出雙曲線的離心率的值.此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案.3、B【解題分析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【題目詳解】解:當(dāng)時(shí),,無(wú)意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【題目詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.5、A【解題分析】

作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.【題目詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是.故選.【題目點(diǎn)撥】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

建立平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【題目詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.7、C【解題分析】

由開始,按照框圖,依次求出s,進(jìn)行判斷?!绢}目詳解】,故選C.【題目點(diǎn)撥】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準(zhǔn)確求出數(shù)值,進(jìn)行判斷,是解題關(guān)鍵。8、A【解題分析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),由于為純虛數(shù),則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【題目詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解題分析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【題目詳解】解:對(duì)于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,當(dāng)時(shí),不能判定,故錯(cuò);對(duì)于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,由可得,又,則故正確.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.10、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號(hào),即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)?,所以為奇函?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí),,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).11、B【解題分析】

解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【題目詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.12、B【解題分析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【題目詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,即可求出.【題目詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時(shí)有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè);③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問題,涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、5【解題分析】

由,,且,得,解得,則,則.15、【解題分析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.【題目詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時(shí)取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【解題分析】

由,解得,進(jìn)而求出,即可得出結(jié)果.【題目詳解】解:因?yàn)?,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的運(yùn)算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)更適宜(2)(3)x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣【解題分析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【題目詳解】(1)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即時(shí),煤氣用量最小.故x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣.【題目點(diǎn)撥】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.18、(1)66.5(2)屬于【解題分析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【題目詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解題分析】

(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對(duì)應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)利用(1)(2)的結(jié)果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【題目詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的分布列為204219228273291(元);(3)由(1)估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由(2)估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布表的應(yīng)用,考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.20、(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解題分析】

(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程,對(duì)曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【題目詳解】(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所

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