新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識(shí)4一元二次函數(shù)與一元二次不等式4.3一元二次不等式的應(yīng)用課件北師大版必修第一冊(cè)

4.3

一元二次不等式的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能夠從實(shí)際生產(chǎn)和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決.2.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.3.體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題【問題思考】1.x-1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是什么?區(qū)間[2,3]與不等式x-1>0的解集有什么關(guān)系?提示:x-1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y=x-1在區(qū)間[2,3]上的圖象恒在x軸的上方.區(qū)間[2,3]內(nèi)的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故區(qū)間[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R的等價(jià)條件是a>0,且Δ<0;一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的等價(jià)條件是a<0,且Δ<0.3.若不等式2kx2+kx-<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為(

).A.(-3,0] B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0)答案:A二、一元二次不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用【問題思考】1.在一條限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對(duì),同時(shí)剎車,但還是相撞了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離剛好是12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙車的剎車距離s(單位:m)與車速x(單位:km/h)之間分別有如下關(guān)系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.問:甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象?提示:由題意知,對(duì)于甲車,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1

200=0,解得x=30或x=-40(舍去).這表明甲車的車速為30

km/h,甲車車速?zèng)]有超過限速40

km/h.對(duì)于乙車,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2

000>0,解得x>40或x<-50(舍去).這表明乙車車速超過40

km/h,超過規(guī)定限速.2.利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟:(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù);(2)由題中給出的不等關(guān)系,列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組);(3)求解所列出的不等式(組);(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.3.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是

臺(tái).

解析:依題意得25x≥3

000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30

000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因?yàn)?<x<240,所以150≤x<240,即最低產(chǎn)量是150臺(tái).答案:150【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1和x2.(

√

)(2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的條件是a<0,且Δ=b2-4ac<0.(

√

)(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式ax2+bx+c<0的解集一定是空集.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題【例1】已知關(guān)于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0的解集是R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析1:a=2>0,Δ<0→求m的取值范圍分析2:原不等式轉(zhuǎn)化為m<2x2-8x+6→根據(jù)已知求2x2-8x+6的最小值→由m<(2x2-8x+6)min確定m的取值范圍解法1:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,又∵函數(shù)y=2x2-8x+6-m的圖象開口向上,∴只需Δ=64-8(6-m)<0,解得m<-2.故m的取值范圍是(-∞,-2).解法2:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,即m<2x2-8x+6在R上恒成立,只需m<(2x2-8x+6)min,設(shè)y=2x2-8x+6,則當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得最小值-2,∴m<-2,即所求m的取值范圍為(-∞,-2).1.若把本例的不等式改為:關(guān)于x的一元二次不等式mx2-8x+6>0,其他不變,如何求m的取值范圍?2.已知關(guān)于x的一元二次不等式2x2-mx+6<0有解,求m的取值范圍.(2)若不等式中的參數(shù)比較“孤單”,便可將參數(shù)分離出來,利用形如m≥ax2+bx+c恒成立?m≥(ax2+bx+c)max,m≤ax2+bx+c恒成立?m≤(ax2+bx+c)min求解.【變式訓(xùn)練1】

若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,mx2-mx-1<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:若m=0,顯然-1<0,滿足題意;若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|-4<m≤0}.探究二

一元二次不等式的應(yīng)用【例2】國家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,實(shí)行征收附加稅政策.現(xiàn)知某種酒每瓶70元,不加附加稅時(shí),每年大約產(chǎn)銷100萬瓶,若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅k元(叫作稅率k%),則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶.要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元,問k應(yīng)怎樣確定?分析:若征收附加稅,此時(shí)的產(chǎn)銷量為(100-10k)萬瓶,每一瓶的附加稅應(yīng)為70×k%,利用附加稅金不少于112萬元建立關(guān)于k的不等式,解不等式即可.解:設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶,則銷售收入為每年70x萬元,從中征收的稅金為(70x·k%)萬元,其中x=100-10k.由題意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此,當(dāng)2≤k≤8時(shí),每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元.解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)審:認(rèn)真審題,把握問題中的關(guān)鍵量,找準(zhǔn)不等關(guān)系.(2)設(shè):引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),用不等式表示不等關(guān)系.(3)求:解不等式.(4)答:回答實(shí)際問題.【變式訓(xùn)練2】

某農(nóng)貿(mào)公司按每噸200元收購某農(nóng)產(chǎn)品,并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn)),計(jì)劃可收購a萬噸,政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品,決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn),預(yù)測(cè)收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).(1)寫出稅收y(單位:萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后,不少于原計(jì)劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.解:(1)降低稅率后的稅率為(10-x)%,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1+2x%)萬擔(dān),收購總金額為200a·(1+2x%).易

錯(cuò)

辨

析忽視二次項(xiàng)系數(shù)為零致誤【典例】

已知函數(shù)y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)值恒大于零,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

答案

(1,19)以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽視二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況,導(dǎo)致漏解.正解:①當(dāng)m2+4m-5=0時(shí),m=-5或m=1.若m=-5,則函數(shù)化為y=24x+3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x函數(shù)值不可能恒大于0.若m=1,則y=3>0恒成立,滿足題意.②當(dāng)m2+4m-5≠0時(shí),同錯(cuò)解.綜上可知,1≤m<19.答案:[1,19)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的不等式要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是不是零,忽視討論容易導(dǎo)致漏解.【變式訓(xùn)練】

函數(shù)y=ax2+ax-1在R上恒有y<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.{a|a≤0} B.{a|a<-4}C.{a|-4<a<0} D.{a|-4<a≤0}解析:y=ax2+ax-1在有R上y<0恒成立,即ax2+ax-1<0在R上恒成立,當(dāng)a=0時(shí),-1<0恒成立;故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-4<a≤0}.答案:D隨

堂

練

習(xí)答案:A2.若關(guān)于x的不等式x2-4x-m≥0對(duì)任意x∈(0,1]恒成立,則m的最大值為(

).A.1 B.-1 C.-3 D.3解析:由x2-4x-m≥0,得m≤x2-4x,令y=-4x+x2,x∈(0,1],則問題轉(zhuǎn)化為m≤ymin.又y=-4x+x2在區(qū)間(0,1]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,所以當(dāng)x=1時(shí),y取最小值-3,∴m≤-3,即m的最大值為-3.答案:C3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

).A.(0,4) B.[0,4) C.(0,4] D.[0,4]解析:當(dāng)a=0時(shí),ax2-ax+1<0無解,符合題意.當(dāng)a<0時(shí),ax2-ax+1<0的解集不可能為空集.當(dāng)a>0時(shí),要使ax2-ax+1<0