新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第二章導數(shù)及其應用復習課課件北師大版選擇性必修第二冊

第2課時導數(shù)及其應用復習課內容索引0102知識梳理構建體系專題歸納核心突破知識梳理構建體系【知識網絡】

【要點梳理】

1.什么叫函數(shù)的平均變化率?它的作用是什么?提示:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為

,用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.2.何為函數(shù)的瞬時變化率?其作用是什么?提示:函數(shù)f(x)在點x0處的瞬時變化率為

,它刻畫的是函數(shù)在某一點處變化的快慢.3.函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)是如何定義的?其幾何意義是什么?提示:稱瞬時變化率為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),通常用符號f'(x0)表示,記函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f'(x0),是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k=f'(x0).4.導數(shù)運算、四則運算、復合函數(shù)求導.(1)求導數(shù)時,要熟記公式,掌握規(guī)則,靈活應用.常見的導數(shù)公式如表2-1.表2-1

(2)導數(shù)的四則運算①[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);②[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x);③[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)求復合函數(shù)的導數(shù)yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).5.導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性有什么關系?提示:若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)>0或f'(x)≥0且只在有限個點為0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調遞增;若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)<0或f'(x)≤0且只在有限個點為0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調遞減.6.函數(shù)的極值是怎樣定義的?提示:在包含x0的一個區(qū)間(a,b)上,函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數(shù)值都小(大)于點x0處的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的極大(小)值點,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大(小)值.函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱極值點,極大值與極小值統(tǒng)稱極值.7.何為函數(shù)f(x)的最值?提示:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值點x0指的是:函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上所有點處的函數(shù)值都不超過(不小于)f(x0);最大(小)值或者在極大(小)值點取得,或者在區(qū)間的端點取得,函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱最值.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)f'(x0)是函數(shù)值f(x0)的導數(shù).(×)(2)若函數(shù)f(x)在多處取得極大值,則f(x)的最大值一定是所有極大值中最大的一個值.(×)(3)與曲線y=f(x)有兩個或兩個以上交點的直線也可能是曲線y=f(x)的切線.(√)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減,則對任意x0∈(a,b)都有f'(x0)<0.(×)(5)若f'(x0)=0,則x0必為f(x)的極值點.(×)(6)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)的函數(shù)f(x)若只有某一點處存在極大值(或極小值),則函數(shù)f(x)在該點處取得最大值(或最小值).(√)專題歸納核心突破【專題整合】

專題一

求函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率【例1】

已知函數(shù)f(x)=x3+.(1)求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率;(2)求f(x)在x=1處的瞬時變化率.【變式訓練1】

已知函數(shù)f(x)=3-2x,則f(x)在區(qū)間[-5,5]上的平均變化率為

;在x=0處的瞬時變化率為

.

答案:-2

-2專題二

求曲線在某點處的切線方程【例2】

已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求實數(shù)a與b的值.解:由f(x)=x2+xsin

x+cos

x,得f'(x)=x(2+cos

x).因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f'(a)=a(2+cos

a)=0,f(a)=b.解得a=0,b=f(0)=1.處理切線問題時應記住函數(shù)在切點處的導數(shù)等于切線的斜率.搞清所給點是不是切點.注意區(qū)分“在某點處的切線”和“過某點的切線”.【變式訓練2】

若曲線y=f(x)=在點(1,f(1))處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則實數(shù)a等于

.

專題三

求復合函數(shù)的導數(shù)【例3】

求函數(shù)y=sinex+ln3x的導數(shù).解:y'=(sin

ex)'+(ln

3x)'=excos

ex+.對復合函數(shù)求導,關鍵是將y=f(φ(x))準確拆分為y=f(u)與u=φ(x).專題四

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

【例4】

已知函數(shù)f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R.(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)討論函數(shù)f(x)的單調性.根據(jù)x1,x2,列表2-2分析f'(x)的符號、f(x)的單調性和極值點:表2-2利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟:(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導數(shù)f'(x);(3)在定義域內解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,當不等式中帶有參數(shù)時,要對參數(shù)進行分類討論;(4)確定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.【變式訓練4】

已知函數(shù)f(x)=x-+a(2-lnx),a>0,討論f(x)的單調性.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗根據(jù)x1,x2,列表2-3分析f'(x)的符號、f(x)的單調性和極值點:表2-3專題五

函數(shù)的極值(最值)與導數(shù)【例5】

已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞減,求實數(shù)a的取值范圍;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實數(shù)a,使得當x∈(0,e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時,函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.函數(shù)的極值、最值與函數(shù)的單調性是聯(lián)系在一起的,只要考查函數(shù)的極值或最值,對導數(shù)的考查就很全面了.對于極值、最值應注意幾點:(1)據(jù)極值點求參數(shù)后,應代回驗證;(2)研究極值點就是研究函數(shù)的單調性,即研究f'(x)的符號;(3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者,求最小值要在極小值與端點值中取最小者.【變式訓練5】

已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-2,2]上的最大值為5,則實數(shù)a的取值范圍是(

).A.[-2ln2,+∞) B.[0,ln2]C.(-∞,0] D.[-ln2,+∞)解析:當x∈[0,2]時,f(x)=2x3-3x2+1,f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f'(x)=0,解方程,得x=0或x=1.由函數(shù)f(x)的單調性,知x=1為函數(shù)f(x)的極小值點.又f(0)=1,f(2)=5,所以當x∈[0,2]時,f(x)max=5.要滿足當x∈[-2,2]時,f(x)max=5,只需當x∈[-2,0)時,f(x)≤5即可.當x∈[-2,0)時,f(x)=eax+1,f'(x)=aeax,答案:D①當a=0時,f(x)=2,符合題意;②當a>0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0)上單調遞增,f(x)<f(0)=e0+1=2,符合題意;③當a<0時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0)上單調遞減,f(x)≤f(-2)=e-2a+1.令e-2a+1≤5,解得a≥-ln

2,則-ln

2≤a<0.綜上,實數(shù)a的取值范圍是[-ln

2,+∞).專題六

利用導數(shù)解決實際問題

【例6】

某旅游景點預計今年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬人)與x的關系近似地滿足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且x≤12).已知第x個月的人均消費額q(x)(單位:元)與x的近似關系是(1)寫出今年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位:萬人)與x的函數(shù)關系式;(2)問今年第幾個月旅游消費總額最大?最大月旅游消費總額為多少元?解:(1)當x=1時,f(1)=p(1)=37,當2≤x≤12,且x∈N+時,所以f(x)=-3x2+40x(x∈N+,且1≤x≤12).(2)設第x個月旅游消費總額(單位:萬元)為g(x),當1≤x<5時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增;當5<x≤6時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減,所以當x=5時,g(x)取得極大值也是最大值,g(x)max=g(5)=3

125.②當7≤x≤12,且x∈N+時,g(x)=-480x+6

400是減函數(shù),∴當x=7時,g(x)取得最大值,g(x)max=g(7)=3

040.綜上,預計今年5月份的旅游消費總額最大,最大月旅游消費總額為3

125萬元.解決生活中的最優(yōu)化問題時,一般要注意以下幾點:(1)在求實際問題中的最大(小)值時,一定要考慮問題的實際意義,不符合實際意義的值應舍去.例如,長度、寬度應大于零,銷售價格應為正數(shù).(2)在解決最優(yōu)化問題時,不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示,還應確定函數(shù)的定義域.(3)得出函數(shù)的最大值或最小值之后,要將數(shù)學問題還原到實際問題.【變式訓練6】

某同學大學畢業(yè)后,決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),經過市場調查,生產一小型電子產品需投入固定成本2萬元,每生產x萬件,需另投入流動成本C(x)萬元,當年產量小于7萬件時,C(x)=x2+2x(萬元);當年產量不小于7萬件時,C(x)=6x+lnx+-17(萬元).已知每件產品售價為6元,假如該同學生產的產品當年能全部售完.(1)寫出年利潤p(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數(shù)解析式.(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)當年產量約為多少萬件時,該同學的這一產品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(取e3≈20)解:(1)每件產品售價為6元,則x萬件產品,銷售收入為6x萬元.∵當7≤x<e3時,p'(x)>0,函數(shù)p(x)單調遞增;當x>e3時,p'(x)<0,函數(shù)p(x)單調遞減.∴當x=e3時,p(x)取得極大值,也是最大值,最大值為p(e3)=15-ln

e3-1=11.∵11>10,∴當x=e3≈20時,p(x)取得最大值11,即當年產量約為20萬件時,該同學的這一產品所獲年利潤最大,最大年利潤為11萬元.【高考體驗】

考點一

利用導數(shù)求切線問題1.(2022·新高考Ⅰ卷,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是

.

解析:本題主要考查利用導數(shù)求切線方程問題.由題意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.∵曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)2.(2022·新高考Ⅱ卷,14)曲線y=ln|x|經過坐標原點的兩條切線方程分別為

,

.

解析:本題考查導數(shù)幾何意義的應用,考查數(shù)學運算能力.考點二

導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

解析:本題考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)的單調性求最值.函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).答案:B4.(2022·全國甲卷,文20)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.命題立意

本題考查導數(shù)的幾何意義,應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查分類討論思想、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力、分析問題和解決問題的能力.解:(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.當