北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

東城區(qū)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分100分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共30分）一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A2.不等式SKIPIF1<0的解集是（）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】直接解出不等式即可.【詳解】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故解集為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：B.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，對A選項SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故A錯誤，對D選項SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)性遞增，故D錯誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故C正確，根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)性遞增.故選：C.4.命題“SKIPIF1<0”的否定是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)存在命題的否定可知，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反，故其否定為SKIPIF1<0.故選：A.5.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立.所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D6.函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于（）A.x軸對稱 B.y軸對稱 C.原點對稱 D.直線SKIPIF1<0對稱【答案】C【解析】【分析】求出SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可得函數(shù)為奇函數(shù)，進而得到答案.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.故選：C.7.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件即可求解.【詳解】SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0（舉例，SKIPIF1<0），而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，故選：B8.已知函數(shù)SKIPIF1<0，對a，b滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則下面結(jié)論一定正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)可知SKIPIF1<0移項化簡即可得.【詳解】因為函數(shù)SKIPIF1<0，對a，b滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：D9.記地球與太陽的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律知：太陽的質(zhì)量SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，由上面的數(shù)據(jù)可以計算出太陽的質(zhì)量約為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)計算即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.10.已知實數(shù)SKIPIF1<0互不相同，對SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則對SKIPIF1<0（）A.2022 B.SKIPIF1<0 C.2023 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)代數(shù)基本定理進行求解即可..【詳解】國為SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可以看成方程SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個不等實根，根據(jù)代數(shù)基本定理可知：對于任意實數(shù)SKIPIF1<0都有以下恒等式，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，于有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)代數(shù)基本定理是解題的關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共70分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12.SKIPIF1<0__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算、對數(shù)運算計算作答.詳解】SKIPIF1<0.故答案為：613.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，可求出答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，單位圓被點SKIPIF1<0分為12等份，其中SKIPIF1<0.角SKIPIF1<0的始邊與x軸的非負半軸重合，若SKIPIF1<0的終邊經(jīng)過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________；若SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的終邊與單位圓交于點__________.（從SKIPIF1<0中選擇，寫出所有滿足要求的點）【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】求出終邊經(jīng)過SKIPIF1<0則對應(yīng)的角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系.【詳解】SKIPIF1<0，所以終邊經(jīng)過SKIPIF1<0則SKIPIF1<0角SKIPIF1<0的始邊與x軸的非負半軸重合，若SKIPIF1<0的終邊經(jīng)過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<015.已知函數(shù)SKIPIF1<0,①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為__________；②若SKIPIF1<0有2個零點，則實數(shù)a取值范圍是__________.【答案】①.SKIPIF1<0；②.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】①根據(jù)函數(shù)式分段確定函數(shù)的單調(diào)性后可得最小值；②結(jié)合函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象，根據(jù)分段函數(shù)的定義可得參數(shù)范圍．【詳解】①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是增函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是增函數(shù)，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；②作出函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象，它們與SKIPIF1<0軸共有三個交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圖象知SKIPIF1<0有2個零點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．三、解答題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值域.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)值求解；(2)利用余弦函數(shù)性質(zhì)及不等式性質(zhì)求SKIPIF1<0的值域.【小問1詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，【小問2詳解】由(1)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.17.已知關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0的解集為A.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求集合A；（2）若集合SKIPIF1<0，求a的值；（3）若SKIPIF1<0，直接寫出a的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由題意得SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，代入后可得SKIPIF1<0值；（3）SKIPIF1<0代入后不等式不成立可得．【小問1詳解】SKIPIF1<0時，不等式為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【小問2詳解】原不等式化為SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時原不等式化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，滿足題意．所以SKIPIF1<0；【小問3詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．18.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若對任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；（2）若對SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)；（3）若SKIPIF1<0，直接寫出一個滿足已知條件的SKIPIF1<0的解析式.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】【分析】（1）賦值法得到SKIPIF1<0；（2）賦值法，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，證明出函數(shù)的單調(diào)性；（3）從任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，可得到函數(shù)增長速度越來越快，故下凸函數(shù)符合要求，構(gòu)造出符合要求的函數(shù)，并進行證明【小問1詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；【小問2詳解】令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為對SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)；【小問3詳解】構(gòu)造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且滿足對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.19.已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，求a的值；（2）從以下三個條件中選擇兩個作為已知條件，記所有滿足條件a的值構(gòu)成集合A，若SKIPIF1<0，求A.條件①：SKIPIF1<0是增函數(shù)；條件②：對于SKIPIF1<0恒成立；條件③：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）選①②，不存在SKIPIF1<0；選①③，SKIPIF1<0；選②③，SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義求解；（2）選①②，SKIPIF1<0時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得SKIPIF1<0是增函數(shù)，SKIPIF1<0時，由單調(diào)性的定義得函數(shù)的單調(diào)性，然后在SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0有解，說明不滿足②SKIPIF1<0不存在；選①③，同選①②，由單調(diào)性得SKIPIF1<0，然后則函數(shù)的最大值不大于4得SKIPIF1<0的范圍，綜合后得結(jié)論；選②③，先確定SKIPIF1<0恒成立時SKIPIF1<0的范圍，再換元確定新函數(shù)的單調(diào)性得最大值的可能值，從而可得參數(shù)范圍．【小問1詳解】SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；【小問2詳解】若選①②，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是增函數(shù)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不恒成立，不合題意，若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是減函數(shù)，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函數(shù)，又SKIPIF1<0是增函數(shù)，因此SKIPIF1<0在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在SKIPIF1<0滿足題意；若選①③，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是增函數(shù)，若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是減函數(shù)，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函數(shù)，又SKIPIF1<0是增函數(shù)，因此SKIPIF1<0在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不合題意．故不存在SKIPIF1<0滿足題意；要滿足①，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0．若選②③，若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立，只有SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是減函數(shù)，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函數(shù)，要滿足③，若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．20.對于非空數(shù)集A，若其最大元素為M，最小元素為m，則稱集合A的幅值為SKIPIF1<0，若集合A中只有一個元素，則SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值，并寫出取最大值時的一組SKIPIF1<0；（3）若集合SKIPIF1<0的非空真子集SKIPIF1<0兩兩元素個數(shù)均不相同，且SKIPIF1<0，求n的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）n的最大值為11【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義即可求出；（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且要使得SKIPIF1<0取到最大，則只需SKIPIF1<0中元素不同且7,8,9分布在3個集合中，4,5,6,分