湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

2022年衡陽市高一年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)卷注意事項：1．本試卷共四道大題，滿分150分．2．測試時量：120分鐘，請同學(xué)們科學(xué)、合理地安排好答題時間．3．本卷為試題卷，答案必須答在答題卡的指定位置，答在試題卷上無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.集合SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】求出集合SKIPIF1<0，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，故A、B、C錯誤；SKIPIF1<0，故D正確.故選：D.2.函數(shù)SKIPIF1<0的零點所在區(qū)間為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理即可得答案.【詳解】SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在定理，可知零點SKIPIF1<0，故選：C.3.SKIPIF1<0的值為（）A.10 B.SKIPIF1<0 C.1 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】令SKIPIF1<0，兩邊取常用對數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.【詳解】令SKIPIF1<0，兩邊取常用對數(shù)，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A.4.如圖為函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象，其解析式可能為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象的特征及選項中的解析式，利用排除法進行選擇.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由圖知SKIPIF1<0，排除A；由圖知SKIPIF1<0，進而排除C；對于D中解析式，顯然SKIPIF1<0，與圖不符，排除D，所以函數(shù)SKIPIF1<0的解析式可能為B.故選：B.5.已知θ為第三象限角，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】已知條件式切化弦，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得SKIPIF1<0，又θ為第三象限角，SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡所求式子即可得出答案.【詳解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，θ為第三象限角，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C.6.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值0和1求得結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.7.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由題可知SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故選：C.8.“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)，則需使SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件，故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、C，利用特殊值判斷D.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯誤；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故C正確；對于D：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：BC10.能正確表示圖中陰影部分的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合運算，結(jié)合圖形分析可得.【詳解】因為陰影部分在B中不在A中，根據(jù)集合的運算分析可知ACD正確.故選：ACD11.函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（）A.θ的值可為SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，則k為奇數(shù)C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值要大于SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】由圖象確定函數(shù)的周期求得SKIPIF1<0，再由零點求得SKIPIF1<0，從而得函數(shù)解析式，然后由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、輔助角公式，判斷各選項．【詳解】選項A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的零點，由圖象得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（以下只要取SKIPIF1<0即可），A錯；選項B，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故k為奇數(shù)，B對；選項C，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其對稱軸，C對；選項D，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，大于SKIPIF1<0，D對．故選：BCD．12.奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（）A.SKIPIF1<0的一個周期為2 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0為偶函數(shù) D.SKIPIF1<0為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的奇函數(shù)性質(zhì)對選項逐一辨析即可.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0時稱，故SKIPIF1<0，B錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0偶函數(shù)，C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，D正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為反函數(shù)，則SKIPIF1<0___________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互反函數(shù)求解即可.【詳解】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為反函數(shù)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014.命題p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的否定為___________；使命題p成立的一個x的值為___________．【答案】①.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗證SKIPIF1<0時，命題p成立，即得第二空答案.【詳解】解：因為命題p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以命題p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，所以命題p成立的一個x的值為1.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1.15.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)，直角三角形中較小的銳角為θ，若SKIPIF1<0，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為___________．【答案】5【解析】【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0，即可求大正方形與小正方形的面積之比.【詳解】如圖所示，設(shè)大正方形邊長為1，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，小正方形的邊長為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，兩邊同時平方得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為SKIPIF1<0.故答案為：516.已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0所有零點的乘積為1，則實數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】令SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的圖象，即可得答案.【詳解】解：令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如圖，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足題意．故答案為：SKIPIF1<0四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求a；（2）用定義法證明：函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接解方程可得；（2）根據(jù)定取值、作差、定號、下結(jié)論的步驟證明即可.【小問1詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【小問2詳解】證：任取SKIPIF1<0則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減18.已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可；（2）先求出SKIPIF1<0的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】因SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0.【小問2詳解】令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以要求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值，即求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.19.如圖為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日燈內(nèi)點上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動．輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動，因剪細(xì)圖像為古代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動時看起來好像幾個人你追我趕一樣，故名走馬燈，現(xiàn)打算做一個體積為96000SKIPIF1<0的如圖長方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細(xì))．（1）若底面大矩形的周長為160cm，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，底面面積最大？（2）若燈籠高為40cm，現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，框架用料最少？【答案】（1）當(dāng)長、寬皆為20cm時，底面矩形面積最大（2）當(dāng)長為60cm、寬為40cm時，用料最少【解析】【分析】(1)設(shè)大矩形的長為x，寬為y，則有SKIPIF1<0，借助基本不等式計算面積的最大值；(2)易得底面面積SKIPIF1<0，借助基本不等式計算底面周長最小值.【小問1詳解】設(shè)大矩形的長為x，寬為y依題有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，底面矩形面積最大【小問2詳解】依題有SKIPIF1<0，框架用料最少等價于底面用料為SKIPIF1<0最小即可，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等故當(dāng)長為60cm、寬為40cm時，用料最少20.已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；（2）求SKIPIF1<0的值【答案】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由題意可得SKIPIF1<0，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求解即可；(2)由題意可得SKIPIF1<0，將所求式子重新結(jié)合，即可得答案.【小問1詳解】解：由題知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其定義域為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【小問2詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.21.m，n為函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點，且SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）比較a，b，1的大小關(guān)系．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由韋達(dá)定理聯(lián)立消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而求得SKIPIF1<0的值，得到SKIPIF1<0的解集；（2）解法一：根據(jù)零點的分布列出滿足的不等式組求解即可；解法二：根據(jù)不等式SKIPIF1<0及韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，求解即可.【小問1詳解】由換底公式得SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，兩式相乘得SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故不等式解集為SKIPIF1<0【小問2詳解】解法一：因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.解法二：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.22.二次函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立．（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）SKIPIF1<0，記函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；