2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)明德中學高二（上）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)明德中學高二（上）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填涂在答題卡相應位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．（5分）若z=1-3i，則z﹣|zA．1+3i B．-3+3i C．3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標準方程為（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝44．（5分）在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（）A．48 B．﹣48 C．805．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+cosx）在點（0，1）處切線方程為（）A．y＝4x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+1 D．y＝x+16．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于A．x24+y2C．x24+y7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動點，則AE+EF+BF的最小值是（）A．2+2 B．2+3 C．7+2 D8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍（）A．23e3≤k＜C．23e3＜二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項正確的是（）A．a(chǎn)11＝11 B．{an}是遞減數(shù)列 C．Sn取得最小值時，n＝5或6 D．S7＝﹣21（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對某部門的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（）A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006 B．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的中位數(shù)為5357C．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的平均值為76.5 D．從評分在[40，60）的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40，50）的概率為1（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．f（x1）+f（x2）＝2 C．若f（x2）＜0，則a＞1 D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，AB的中點M在C的準線上的投影為N，則（）A．曲線C的準線方程為x＝﹣2 B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為3 C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32 D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．13．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，14．（5分）函數(shù)f（x）＝cos2x+3cosx的最大值為．15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x+16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個六角錐吊墜模型．準備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時，所得六棱錐體積的最大值為cm3．四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應位置上．17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）設bn＝log2（an+1），求數(shù)列{1bnbn+1}18．（12分）進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等多方面的效益，是關乎生態(tài)文明建設全局的大事．為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為34，乙同學答對每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為5（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；（2）試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率．19．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．20．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b＝2（1）求角A和邊長c；（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．21．（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A（1）求橢圓C的方程；（2）設點P為橢圓上異于A，B的點，直線AP與y軸的交點為Q，過坐標原點O作ON∥AP交橢圓于N點，試探究|AP|?|AQ||ON|22．（12分）已知函數(shù)f(x)=axex和函數(shù)g(x)=lnxax有相同的最大值，直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為x1，x（1）求實數(shù)a的值；（2）求證：x1x3=x

2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)明德中學高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填涂在答題卡相應位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝{0，1}．故選：C．2．（5分）若z=1-3i，則z﹣|zA．1+3i B．-3+3i C．【解答】解：因為|z|=1所以z-故選：D．3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標準方程為（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4【解答】解：圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的半徑為2，故圓的標準方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝4，故選：B．4．（5分）在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（）A．48 B．﹣48 C．80【解答】解：在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝a1（1+q）＝﹣1，因為a7＝256a3，所以q4=a7因為q＜0，所以q＝﹣4，a1=1則a3+2a4+a5＝a1（q2+2q3+q4）＝48．故選：A．5．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+cosx）在點（0，1）處切線方程為（）A．y＝4x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+1 D．y＝x+1【解答】解：由已知f'（x）＝ex（cosx﹣sinx）+ex（sinx+cosx）＝2cosxex，∴f'（0）＝2cos0e0＝2，∴函數(shù)f（x）＝ex（sinx+cosx）在點（0，1）處切線方程為y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1．故選：C．6．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于A．x24+y2C．x24+y【解答】解：如圖，連接PF1，QF1，由橢圓的對稱性得四邊形PF1QF2為平行四邊形，所以|PF2|+|F2Q|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，得a＝2．又因為PF2⊥F2Q，所以四邊形PF1QF2為矩形，設|PF2|＝m，|QF2|＝n，則S△PF2Q=12mn=1則|F1F2|=22，則c=2，b2＝a橢圓的標準方程為x2故選：A．7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動點，則AE+EF+BF的最小值是（）A．2+2 B．2+3 C．7+2 D【解答】解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，∴AD⊥PA，同理可得BC⊥PB．由題意可知PA＝PB＝AB＝BC＝CD＝AD＝2，則PC=PD=22，∠APD＝∠BPC＝45將平面PAD，PCD，PBC展開到一個平面內(nèi)如圖，則AE+EF+BF的最小值即為展開圖中AB的長．∵cos∠從而sin∠CPD=7在△PAB中，由余弦定理可得AB則AB=7+1，即AE+EF+BF的最小值為故選：D．8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍（）A．23e3≤k＜C．23e3＜【解答】解：原不等式k（x+3）ex＜x+1等價于k(x+3)設g（x）＝k（x+3），f(x)=x+1ex，所以f'(x)=當x＜0時，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，當x＞0時，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當x＝0時，f（x）取極大值．又f（﹣1）＝0，且x＞0時，f（x）＞0，因此g（x）＝k（x+3）與f(x)=x+1ex的圖象如下，直線g（x）＝k（x+3）恒過點（﹣3當k≤0時，顯然不滿足條件；當k＞0時，只需要滿足f(1)＞g(1)f(2)≤g(2)，即2故選：D．二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項正確的是（）A．a(chǎn)11＝11 B．{an}是遞減數(shù)列 C．Sn取得最小值時，n＝5或6 D．S7＝﹣21【解答】解：不妨設an＝a1+（n﹣1）da2+a7＝a1+d+a1+6d＝2a1+7d＝﹣4，與a5＝a1+4d＝﹣1聯(lián)立，解得d＝2，a1＝﹣9，即通項an＝2n﹣11，對于選項A．a(chǎn)11＝2×11﹣11＝11，故A正確；對于選項B．d＞0，{an}是遞增數(shù)列，故B錯誤；對于選項C．Sn存在最小值，且有兩個最小值，即S6﹣S5＝0，即a6＝0，與an不符，故C錯誤；對于選項D．S7＝7a4＝7×（﹣3）＝﹣21，故正確．故選：AD．（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對某部門的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（）A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006 B．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的中位數(shù)為5357C．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的平均值為76.5 D．從評分在[40，60）的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40，50）的概率為1【解答】解：選項A，由圖可知，（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，所以a＝0.006，故A正確；選項B，中位數(shù)為：70+0.05-0.0320.028×10=選項C，平均值為：（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10＝76.2，故C錯誤；選項D，評分在[40，60）職工有（0.004+0.006）×10×50＝5人，評分在[40，50）職工有0.004×10×50＝2人，故概率為：C22C故選：ABD．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．f（x1）+f（x2）＝2 C．若f（x2）＜0，則a＞1 D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3ax+2，∴f'（x）＝3x2﹣3a，又函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），∴3x2﹣3a＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2），∴a＞0，故A正確．對選項B，∵a＞0，∴f'∴x∈(-∞，-a)，f'（xx∈(-a，a)，f'（xx∈(a，+∞)，f'（x）＞0∴x1=-a，x2=∴f(x1)+f(對選項C，∵f(x化簡得aa＞1，∴a＞1對選項D，設切點為(x0，x03-3ax0+2)，又f'（x）＝3∴x03-3ax0x0=3∴過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線，故D正確．故選：ACD．（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，AB的中點M在C的準線上的投影為N，則（）A．曲線C的準線方程為x＝﹣2 B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為3 C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32 D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|【解答】解：∵拋物線C方程為：y2＝4x，∴拋物線的焦點F（1，0），準線l：x＝﹣1，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y12=4x1，y22對A選項，∵曲線C的準線方程為x＝﹣1，∴A選項錯誤；對B選項，∵|AF|＝x1+1＝4，∴x1＝3，∴|y∴△AOF的面積S△AOF=1對C選項，∵OA⊥OB，∴OA→?OB→=x1x∴y1y2＝﹣16，x1x2＝16，∴|OA|=512+64(當且僅當x1＝x2＝4時取等號，∴C選項正確；對D選項，設點M的橫坐標為x0，∴x1+x2＝2x0，∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝2（x0+1）＝2|MN|，在△AFB中，∵∠AFB＝60°，∴由余弦定理得|AB|2＝|AF|2+|BF|2﹣2|AF|?|BF|cos∠AFB，∵|AF|?∴|AB|當且僅當|AF|＝|BF|時取等號，∴|MN|≤|AB|，∴D選項正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．13．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，【解答】解：當x＞1時，f（x）＝ln（x﹣1）所以f（2）＝ln（2﹣1）＝ln1＝0，故答案為：0．14．（5分）函數(shù)f（x）＝cos2x+3cosx的最大值為4．【解答】解：因為f（x）＝cos2x+3cosx＝2cos2x﹣1+3cosx＝2cos2x+3cosx﹣1=2(cos由﹣1≤cosx≤1，所以當cosx＝1時，f(x故答案為：4．15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x+【解答】解：不妨取雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b又圓x2+y∴圓心坐標為（1，0），半徑為63由題意可得|b|a2+即b2＝2a2，即b2又a2+b2＝c2，∴雙曲線的離心率為e=1+故答案為：3．16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個六角錐吊墜模型．準備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時，所得六棱錐體積的最大值為64153cm【解答】解：連接OE1，交EF于點H，由題意得OE1⊥EF，設EF＝2xcm，則OH=3xcm，因為0＜2x＜∴六棱錐的高h=E∴正六邊形ABCDEF的面積S=6×34則六棱錐的體積V=13Sh=令函數(shù)f(x)=100x則f'當x∈(0，433)時，f'（x）＞0，當x所以f（x）在(0，4所以Vmax=23故答案為：6415四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應位置上．17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）設bn＝log2（an+1），求數(shù)列{1bnbn+1}【解答】解：（1）證明：∵an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1），即an+1又a1+1＝2，故數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）得數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則an+1=2?2∴bn＝log2（an+1）＝n，∴1b故Tn18．（12分）進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等多方面的效益，是關乎生態(tài)文明建設全局的大事．為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為34，乙同學答對每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為5（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；（2）試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率．【解答】解：（1）設A＝{甲同學答對第一題}，B＝{乙同學答對第一題}，則P(A)=34，P（B）＝設D＝{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，C＝{甲、乙二人均答對第一題}，則C＝AB，D=AB由于二人答題互不影響，且每人各題答題結果互不影響，所以A與B相互獨立，AB與A所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B），P(D)=P(A由題意可得34(1-p)+14p=512每題甲、乙同時答對的概率為12（2）設Ai＝{甲同學答對了i道題}，Bi＝{乙同學答對了i道題}，i＝0，1，2．由題意得，P(A1)=14×3設E＝{甲乙二人共答對3道題}，則E＝A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互獨立，A1B2與A2B1相互互斥，所以P(E)=P(A所以，甲乙二人共答對3道題的概率為51219．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．【解答】解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，∵BC∥AD，∠BAD＝90°，∴AB⊥BC，∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．（2）由（1）易知AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則P（0，0，3），C（3，1，0），D（0，3，0），∴PC→設平面PCD的法向量為m→則PC→?m→=3x+y-3z=0PD→易知平面PAB的一個法向量為n→∴cos?∴平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為32220．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b＝2（1）求角A和邊長c；（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【解答】解：（1）∵sinA+3cosA＝0∴tanA=-∵0＜A＜π，∴A=2π由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝4+c2﹣2×2c×（-1即c2+2c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，故c＝4．……（5分）（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcosC，∴16＝28+4﹣2×27×2×cosC∴cosC=2∴CD=AC∴CD=12∵S△ABC=12AB?AC?sin∠BAC=12×4×∴S△ABD=12S△