2022-2023學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）直線l過點A（1，2），且不過第四象限，則直線l的斜率的最大值為（）A．0 B．1 C．12 D．2．（5分）函數(shù)y=sin(πA．x＝0 B．x=π4 C．x=3π23．（5分）若集合A={n∈N|A4n=A．? B．{4} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}4．（5分）如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形ABCD兩邊AB，AD為斜邊向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，則A．32 B．-32 C．325．（5分）6名志愿者分配到3個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同，不同的分配方案共有（）A．540種 B．360種 C．180種 D．120種6．（5分）雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點FA．2+1 B．3+1 C．3-1 7．（5分）函數(shù)f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零點屬于區(qū)間（）A．(0，13) B．(13，8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，則x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ的最小值等于（）A．3-22 B．2-22 C二、選擇題：本共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝﹣2+i，則（）A．z的虛部是﹣2 B．z的共軛復(fù)數(shù)是﹣2﹣i C．z的模是5 D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是（﹣2，1）（多選）10．（5分）下列數(shù)列{an}中，單調(diào)遞增的數(shù)列是（）A．a(chǎn)n＝（n﹣3）2 B．a(chǎn)n＝﹣（13）nC．a(chǎn)n＝tann D．a(chǎn)（多選）11．（5分）法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河．他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線．當(dāng)a＝1時，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（）A．經(jīng)過第三象限 B．關(guān)于直線y＝x對稱 C．與直線x+y+1＝0有公共點 D．與直線x+y+1＝0沒有公共點（多選）12．（5分）過下列哪些點恰可以作函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的兩條切線（）A．（﹣2，﹣10） B．（﹣2，3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，8）三、本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）(x-1x)6的展開式的常數(shù)項是14．（5分）圓x2+y2＝1與圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦長等于．15．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，動點M在線段A1C上，異面直線AD1和BM所成的角為θ，則θ的取值范圍是．（用區(qū)間表示）16．（5分）曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，工程規(guī)劃中常需要計算曲率，如高鐵的彎道設(shè)計．曲線y＝f（x）在點（x，f（x））曲率的計算公式是K=|y″|(1+(y')2)3，其中y″是y'的導(dǎo)函數(shù)．則曲線xy＝1三、本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺．該平臺首次實現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進行調(diào)查，統(tǒng)計市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．（1）估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在區(qū)間[6，8）內(nèi)的概率和每周利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長；（2）若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從[4，6）和[10，12）組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機選取2人參加座談會，求所選取的2人來自不同的組的概率．18．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=1，（1）求{an}的通項公式；（2）證明：1a19．（12分）如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大??；（2）若△ABC內(nèi)點P滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大?。?0．（12分）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E為BB1的中點．（1）直線BC與平面AEC1的交點記為M，直線A1B1與平面AEC的交點記為N．證明：直線MN∥平面ACC1A1．（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大小；21．（12分）設(shè)F，E分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求b的值；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，1），直線過點P，與橢圓交于點A，B，線段AB的中點記為M．若|FM|是|FA|與|FB|的等比中項，求a的最小值，并求出此時直線l的方程．22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，曲線y＝f（x）在原點處的切線為x軸．（1）求a的值；（2）求方程f(x)=-（3）證明：(2023

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）直線l過點A（1，2），且不過第四象限，則直線l的斜率的最大值為（）A．0 B．1 C．12 D．【解答】解：直線l過點A（1，2），且不過第四象限，則直線l的斜率的最大值=2-01-0故選：D．2．（5分）函數(shù)y=sin(πA．x＝0 B．x=π4 C．x=3π2【解答】解：函數(shù)y=sin(π2+x)tanx=cosx?tanx＝sinx（x≠kπ+π2對稱軸方程是x=kπ+π取k＝0，知x=π故選：C．3．（5分）若集合A={n∈N|A4n=A．? B．{4} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}【解答】解：A＝{4}，B＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{4}．故選：B．4．（5分）如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形ABCD兩邊AB，AD為斜邊向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，則A．32 B．-32 C．32【解答】解：由已知可得AC=AB=AD=AF=1=-故選：B．5．（5分）6名志愿者分配到3個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同，不同的分配方案共有（）A．540種 B．360種 C．180種 D．120種【解答】解：由題意6名志愿者被分成1，2，3三組，然后再分配到3個社區(qū)全排，所以共有C6故選：B．6．（5分）雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點FA．2+1 B．3+1 C．3-1 【解答】解：不妨設(shè)點P在第一象限，由拋物線方程為y2＝8x可得F（2，0），因為|PF|＝4＝xP+2，即xP＝2，則yP＝4，所以P的坐標(biāo)為（2，4）．因為雙曲線的焦點是F（2，0），F(xiàn)1（﹣2，0），根據(jù)雙曲線的定義2a=|P則e=c故選：A．7．（5分）函數(shù)f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零點屬于區(qū)間（）A．(0，13) B．(13，【解答】解：∵f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f(12)=∴f（x）有唯一的零點x0故選：C．8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，則x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ的最小值等于（）A．3-22 B．2-22 C【解答】解：由題設(shè)ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≤0，設(shè)f（x）＝ex﹣x﹣1，則f′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（0）＝0，即ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≥0，綜上，ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1＝0，即f（x﹣y﹣2）＝0，所以x﹣y﹣2＝0，設(shè)P是直線x﹣y﹣2＝0上的點，Q（cosθ，sinθ）是圓x2+y2＝1上的點，而目標(biāo)式為x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ＝（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2﹣1＝|PQ|2﹣1，由|PQ|min=|0-0-2|2-1故（|PQ|2﹣1）min＝（2-1）2﹣1＝2﹣22故選：B．二、選擇題：本共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝﹣2+i，則（）A．z的虛部是﹣2 B．z的共軛復(fù)數(shù)是﹣2﹣i C．z的模是5 D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是（﹣2，1）【解答】解：復(fù)數(shù)z＝﹣2+i，則z的虛部為1，故A錯誤；z的共軛復(fù)數(shù)是﹣2﹣i，故B正確；|z|=(-2)2z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是（﹣2，1），故D正確．故選：BCD．（多選）10．（5分）下列數(shù)列{an}中，單調(diào)遞增的數(shù)列是（）A．a(chǎn)n＝（n﹣3）2 B．a(chǎn)n＝﹣（13）nC．a(chǎn)n＝tann D．a(chǎn)【解答】解：A：因為a1＝4，a2＝1，顯然不是遞增數(shù)列；B：an﹣an﹣1＝（13）n﹣1-(故an＞an﹣1，即數(shù)列為遞增數(shù)列；C：由正切函數(shù)的周期性可知，y＝tann不是單調(diào)遞增數(shù)列；D：令bn=nn+1=1-1n+1，則bn﹣bn所以bn＞bn+1，所以lnbn＞lnbn+1，即an+1＞an，即數(shù)列為遞增數(shù)列．故選：BD．（多選）11．（5分）法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河．他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線．當(dāng)a＝1時，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（）A．經(jīng)過第三象限 B．關(guān)于直線y＝x對稱 C．與直線x+y+1＝0有公共點 D．與直線x+y+1＝0沒有公共點【解答】解：當(dāng)a＝1時，笛卡爾葉形線為x3+y3＝3xy，A：若x＜0，y＜0，則x3+y3＜0，3xy＞0，x3+y3≠3xy，故不經(jīng)過第三象限，故A錯誤；B：若點（x，y）在曲線上，則點（y，x）也在曲線上，故笛卡爾葉形線關(guān)于直線y＝x對稱，故B正確；C，D：由方程組x3+y3=3xyx+y=-1，得(x+y)(x2-xy+y2)=3xyx+y=-1，得故選：BD．（多選）12．（5分）過下列哪些點恰可以作函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的兩條切線（）A．（﹣2，﹣10） B．（﹣2，3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，8）【解答】解：函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝6x2﹣3，設(shè)切點坐標(biāo)為（a，2a3﹣3a），由題意當(dāng)切線經(jīng)過（﹣2，﹣10）時，可得6a2-3=2a3-3a+10a+2，解得a＝1，此時切線方程：因為（﹣2，﹣10）在曲線上，所以切線方程有：y+10＝21（x+2）．所以A正確；由題意當(dāng)切線經(jīng)過（﹣2，3）時，可得6a2﹣3=2得4a3+12a2﹣3＝0，方程有三個解，此時經(jīng)過（﹣2，3）可以作函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的三條切線，所以B不正確；由題意當(dāng)切線經(jīng)過（﹣2，6）時，可得6a2﹣3=2解得a＝0或a＝﹣3，此時經(jīng)過（﹣2，6）可以作函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的兩條切線，所以C正確；由題意當(dāng)切線經(jīng)過（﹣2，8）時，可得6a2﹣3=2解得a＝0，此時經(jīng)過（﹣2，8）可以作函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x的一條切線，所以D不正確；故選：AC．三、本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）(x-1x)6的展開式的常數(shù)項是【解答】解：(x-1x)6=（x﹣x﹣1）6令6﹣2r＝0，解得r＝3，故(x-1x故答案為：﹣20．14．（5分）圓x2+y2＝1與圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦長等于2．【解答】解：圓x2+y2＝1與圓（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的方程相減得：x+y﹣1＝0，由圓x2+y2＝1的圓心（0，0），半徑r為1，且圓心（0，0）到直線x+y﹣1＝0的距離d=1則公共弦長為21-故答案為：2．15．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，動點M在線段A1C上，異面直線AD1和BM所成的角為θ，則θ的取值范圍是[π6【解答】解：連結(jié)BC1，則BC1∥AD1，所以異面直線AD1和BM所成的角即為直線BC1與BM所成的角，所以θ的最小值為BC1與平面A1BC所成的角，設(shè)CD1，C1D的交點為O，則∠OBC1為BC1與平面A1BC所成的角，所以sin∠OBC1=O因為∠OBC1為銳角，所以∠OBC1=π6，即θ的最小值為當(dāng)點M與點A1重合時，直線BC1與BM所成的角為∠A1BC=π3，此時θ取得最大值，為所以θ的取值范圍是[π故答案為：[π16．（5分）曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，工程規(guī)劃中常需要計算曲率，如高鐵的彎道設(shè)計．曲線y＝f（x）在點（x，f（x））曲率的計算公式是K=|y″|(1+(y')2)3，其中y″是y'的導(dǎo)函數(shù)．則曲線xy＝1【解答】解：由xy＝1，得y=1x，y′=-1x∴K=|y″|當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1時等號成立．故答案為：22三、本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺．該平臺首次實現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進行調(diào)查，統(tǒng)計市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．（1）估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在區(qū)間[6，8）內(nèi)的概率和每周利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長；（2）若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從[4，6）和[10，12）組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機選取2人參加座談會，求所選取的2人來自不同的組的概率．【解答】解：（1）由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在[6，8）內(nèi)的頻率為0.15×2＝0.3，所以估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在[6，8）內(nèi)的概率為0.3；由題意知各組的頻率分別為0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以x=1×0.05+3×0.1+5×0.25+7×0.3+9×0.15+11×0.1+13×0.05=6.8所以估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長是6.8小時．（2）由（1）知，利用“學(xué)習(xí)強國”時長在[4，6）和[10，12）的頻率分別為0.25，0.1，故兩組人數(shù)分別為250，100，采用分層抽樣的方法從[4，6）組抽取5人，從[10，12）組抽取2人，從7人中抽取2人的基本事件有C72所求事件的個數(shù)共有C51故所求概率P=1018．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=1，（1）求{an}的通項公式；（2）證明：1a【解答】解：（1）因為a1＝1，所以S1又因為{Snn(n+1)}是公差為所以Sn當(dāng)n≥2時，Sn﹣1=16（n﹣1）n（2n﹣兩式相減得an=Sn-S所以{an}的通項公式是an（2）證明：由（1）可知，1a當(dāng)n＝1時，1a當(dāng)n≥2時，1a19．（12分）如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若△ABC內(nèi)點P滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大?。窘獯稹拷猓海?）因為（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc，所以b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理，得cosA=b因為0＜A＜π，所以A=π（2）設(shè)∠PCB＝α，∠PBA＝β，因為A=π3，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠所以∠PAB＝∠PBC＝30°，在△PBC和△PAB中分別應(yīng)用正弦定理，得PBPC=sinα因為PA＝PC，所以sinα?又因為α+β=π所以sinαsin（π3-α）＝sinα（32cosα-12sinα）=12（32sin2α+12cos2α）-14=12sin所以2α+π所以α=β=π所以∠BPC=2π20．（12分）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E為BB1的中點．（1）直線BC與平面AEC1的交點記為M，直線A1B1與平面AEC的交點記為N．證明：直線MN∥平面ACC1A1．（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大?。弧窘獯稹浚?）證明：以B為坐標(biāo)原點，BC，BB1，BA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為AB＝BC＝2BB1＝2，E為BB1的中點，所以A（0，0，2），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，12，0），C1（2，1，0所以AC1→=（2，1，﹣2），AC→=（因為直線BC與C1E的交點即為直線BC與平面AEC1的交點M，直線AE與A1B1的交點即為直線A1B1與平面AEC的交點N，所以M（﹣2，0，0），N（0，1，﹣2），所以MN→=（2，1，﹣2），即所以MN∥AC1，又AC1?平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1，所以直線MN∥平面ACC1A1．（2）解：設(shè)G為AC的中點，則BG⊥AC，G（1，0，1），因為平面ABC⊥平面ACC1A1，且平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，所以BG⊥平面ACC1A1，即平面ACC1A1的一個法向量為BG→由（1）知，AE→設(shè)n→=(x0，y0，令y0＝2，則x0=-12，z0=12，所以n→=所以BG→?n→=-1故二面角E﹣AC1﹣C的大小是90°．21．（12分）設(shè)F，E分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求b的值；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，1），直線過點P，與橢圓交于點A，B，線段AB的中點記為M．若|FM|是|FA|與|FB|的等比中項，求a的最小值，并求出此時直線l的方程．【解答】解：（1）設(shè)|NE|