復(fù)變函數(shù)積分變換總復(fù)習(xí)-2013

總復(fù)習(xí)1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式1、明確復(fù)數(shù)的三種表示，能相互轉(zhuǎn)換復(fù)數(shù)的代數(shù)表示:32、明確與復(fù)數(shù)相關(guān)的各種計(jì)算復(fù)數(shù)不能比較大小!復(fù)數(shù)的輻角：說(shuō)明:輻角不確定.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部：復(fù)數(shù)的模：4輻角主值的定義:第二象限的角取+π，第三象限的角取-π5例

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為6和差:積:商:3、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算共軛復(fù)數(shù):純實(shí)數(shù)和純虛數(shù)的共軛的計(jì)算。7定理一兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.4、復(fù)數(shù)的乘積與商的指數(shù)式表示81).n次冪:5、掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根92).棣莫佛(DeMoivre)公式10例解11例解12P31-33：1，7，8，1413第二章解析函數(shù)141、掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及解析函數(shù)的概念。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.152、掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系及求導(dǎo)方法。函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).求導(dǎo)公式與法則與實(shí)變函數(shù)完全一樣。16定理一3、熟練掌握函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別法，掌握并能靈活應(yīng)用柯西-黎曼方程。

1718例

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿足柯西－黎曼方程,19滿足柯西－黎曼方程,并且上面這四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。所以該函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，處處解析，其導(dǎo)數(shù)為：201).指數(shù)函數(shù):4、熟悉復(fù)變初等函數(shù)

加法定理212).對(duì)數(shù)函數(shù)：其余各值為22性質(zhì)：23例1解243).乘冪的定義注意:25例2解264).三角函數(shù)5).反三角函數(shù)27P66-68：6，8，12：3)，15，1828第三章復(fù)變函數(shù)的積分292.熟記一個(gè)重要的積分1.掌握復(fù)積分計(jì)算的一般方法30復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式3、掌握復(fù)積分性質(zhì)的應(yīng)用314.掌握柯西基本定理定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.32那末均沿逆時(shí)針?lè)较?、掌握復(fù)合閉路定理33346、理解原函數(shù)與不定積分(類似于牛頓-萊布尼茲公式)35定理7、掌握柯西積分公式的應(yīng)用36定理高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.8、掌握解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用37求積分的基本思路：1.如果是基本的初等函數(shù)，直接由原函數(shù)得出：如：2.判斷在積分區(qū)域內(nèi)，被積函數(shù)是否解析，如果解析，則積分為零：如：383.判斷在積分區(qū)域內(nèi)，被積函數(shù)是否解析，如果不解析，且只包圍一個(gè)奇點(diǎn)，則積分利用以下三種辦法：1）利用2）利用3）利用4.如果在積分區(qū)域內(nèi)，被積函數(shù)不解析，但只包圍兩個(gè)以上奇點(diǎn)，則必須挖去，利用“復(fù)合閉路定理”柯西積分公式解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式39作業(yè)選解：P99：61），2），3）同理解析一個(gè)重要的積分柯西積分公式40舉例說(shuō)明：包圍了兩個(gè)奇點(diǎn)方法一：將分母拆（一般分母為一次方）柯西積分公式方法二：將積分路徑拆：柯西積分公式41包圍了兩個(gè)奇點(diǎn)將積分路徑拆：解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式42包圍了兩個(gè)奇點(diǎn)將積分路徑拆：解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式43P99-101：6，7：2)，3)，4)，6)，9)，9：2)，3)，5)44第四章級(jí)數(shù)451、熟悉復(fù)數(shù)列收斂的充分必要條件記作461).收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足2、理解阿貝爾定理，掌握收斂半徑的求法

472).收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.48(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).如圖:..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.49如果:即注意:存在且不為零.定理中極限(極限不存在),即3).收斂半徑的求法方法1:比值法(D’Alembert)(定理二):那末收斂半徑50方法2:根值法(Cauchy)(定理三)那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果51其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那末點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)3、泰勒展開(kāi)定理52常用方法:

直接法和間接法.1).直接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)4、掌握函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法，能比較熟練地把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。

532).間接展開(kāi)法:借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.54附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式55負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂5、掌握雙邊級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)。

56收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分R57結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:...58定理:C為圓環(huán)域內(nèi)繞

的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).6、理解洛朗展開(kāi)定理59說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法.60常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.7、熟練地把一些解析函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)。61根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)捷,快速.2.間接展開(kāi)法62作業(yè)選解：P143：12解：函數(shù)不解析的點(diǎn)為，而展開(kāi)的點(diǎn)為：于是函數(shù)的解析域?yàn)椋菏諗堪霃絉＝263解：函數(shù)不解析的點(diǎn)為，而展開(kāi)的點(diǎn)為：于是函數(shù)的收斂域?yàn)椋菏諗堪霃絉＝364作業(yè)選解：解：函數(shù)不解析的點(diǎn)為，而展開(kāi)的點(diǎn)為：于是函數(shù)的收斂域?yàn)椋合全@得的級(jí)數(shù)，再依導(dǎo)數(shù)公式得出的級(jí)數(shù)收斂半徑R＝165P142-144：4，6，1)，2)，3)，4)11：1)，2)12：1)，2)，3)16：2）66第五章留數(shù)67定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點(diǎn).1、理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點(diǎn);2．極點(diǎn);3．本性奇點(diǎn).68孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為691).零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級(jí)零點(diǎn).例注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.2、熟悉函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系702).零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是如果在解析,那末為的級(jí)3).零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如果是的m級(jí)極點(diǎn),那末就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.71定義

記作的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以如果3、理解留數(shù)的概念

72(1)如果為的可去奇點(diǎn),如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1成洛朗級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則展開(kāi)則需將4、掌握留數(shù)的計(jì)算方法如果為的級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2那末73作業(yè)選解：P183：1解：是一級(jí)極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)是一級(jí)極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)74作業(yè)選解：P184：8解：一階極點(diǎn)為z＝0，275作業(yè)選解：P184：8解：76作業(yè)選解：P184：8解：三階極點(diǎn)為z＝-1，+177P183-184：1：1)，2)，6)8：1)，2)，3)，4)78第一章Fourier變換79若f(t)

在(-,+)上滿足下列條件:

1)

f(t)

在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;

2)

f(t)

在無(wú)限區(qū)間(-,+)上絕對(duì)可積.則有1、掌握Fourier積分定理定理:Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式8081例：解：82當(dāng)時(shí)，應(yīng)以代替即：Fourier積分表達(dá)式83當(dāng)為奇函數(shù),則和分別是關(guān)于的奇函數(shù)和偶函數(shù),因此Fourier正弦積分公式當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),同理可得Fourier余弦積分公式2、掌握Fourier正弦和余弦積分公式841）.Fourier正變換記作:F(w)叫做f(t)的象函數(shù).3、

掌握Fourier正逆變換2）.Fourier逆變換記作:f(t)叫做F(w)的象原函數(shù).853）.Fourier正弦變換及正弦逆變換:Fourier正弦變換Fourier正弦逆變換86Fourier余弦變換Fourier余弦逆變換87求函數(shù)的正弦變換和余弦變換.由得：正弦變換為例：解：余弦變換為884、熟悉Fourier變換的性質(zhì)設(shè)則是常數(shù),1）線性性質(zhì)2）位移性質(zhì)893）微分性質(zhì)4)積分性質(zhì)90I)卷積的概念5)卷積定理2.卷積定理??917、熟悉微分、積分方程的Fourier變換解法象原函數(shù)（方程的解）象函數(shù)象函數(shù)的代數(shù)方程微分、積分方程解代數(shù)方程取Fourier變換取Fourier逆變換92P35習(xí)題二：1，493第二章Laplace變換94(s為一個(gè)復(fù)參量)記作:稱為的Laplace變換.1、熟悉Laplace變換的定義: