新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用核心考點1導(dǎo)數(shù)的計算幾何意義教師用書

第3講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用高頻考點高考預(yù)測導(dǎo)數(shù)的幾何意義對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查，多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，難度較小，有時出現(xiàn)在解答題的第一問；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，多在選擇題、填空題的后幾題中出現(xiàn)，難度中等偏下.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值與最值(與不等式轉(zhuǎn)化求解)1.(2023·全國甲卷文科)曲線y＝eq\f(ex,x＋1)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))處的切線方程為(C)A．y＝eq\f(e,4)x B．y＝eq\f(e,2)xC．y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4) D．y＝eq\f(e,2)x＋eq\f(3e,4)【解析】設(shè)曲線y＝eq\f(ex,x＋1)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))處的切線方程為y－eq\f(e,2)＝k(x－1)，因為y＝eq\f(ex,x＋1)，所以y′＝eq\f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq\f(xex,x＋12)，所以k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq\f(e,4)所以y－eq\f(e,2)＝eq\f(e,4)(x－1)，所以曲線y＝eq\f(ex,x＋1)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))處的切線方程為y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4).2.(2023·全國乙卷文科)函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個零點，則a的取值范圍是(B)A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3,0)【解析】因為f(x)＝x3＋ax＋2，所以f′(x)＝3x2＋a，若a≥0，f(x)單調(diào)遞增，只有1個零點，不滿足題意，所以a<0，由f′(x)＝0得x＝±eq\r(－\f(a,3))，結(jié)合f(x)的圖象，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,3))))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(－\f(a,3))))<0，即eq\f(4,27)a3＋4<0，所以a<－3，故選B.3.(2023·全國新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為(C)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2【解析】依題可知，f′(x)＝aex－eq\f(1,x)≥0在(1,2)上恒成立，顯然a>0，所以xex≥eq\f(1,a)，設(shè)g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)＝e，故e≥eq\f(1,a)，即a≥eq\f(1,e)＝e－1，即a的最小值為e－1.故選C.4.(2022·全國甲卷)當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，則f′(2)＝(B)A．－1 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1【解析】因為函數(shù)f(x)定義域為(0，＋∞)，所以依題可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(b,x2)，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－eq\f(2,x)＋eq\f(2,x2)，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，x＝1時取最大值，滿足題意，即有f′(2)＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).故選B.5.(2022·全國乙卷)已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1<x2，則a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)).【解析】f′(x)＝2lna·ax－2ex，因為x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2的極小值點和極大值點，所以函數(shù)f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上遞減，在(x1，x2)上遞增，所以當(dāng)x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)>0，若a>1時，當(dāng)x<0時，2lna·ax>0,2ex<0，則此時f′(x)>0，與前面矛盾，故a>1不符合題意，若0<a<1時，則方程2lna·ax－2ex＝0的兩個根為x1，x2，即方程lna·ax＝ex的兩個根為x1，x2，即函數(shù)y＝lna·ax與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個不同的交點，∵0<a<1，∴函數(shù)y＝ax的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵lna<0，∴y＝lna·ax的圖象由指數(shù)函數(shù)y＝ax向下關(guān)于x軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如下圖所示：設(shè)過原點且與函數(shù)y＝g(x)＝lna·ax的圖象相切的直線的切點為(x0，lna·ax0)，則切線的斜率為g′(x0)＝ln2a·ax0，故切線方程為y－lna·ax0＝ln2a·ax0(x－x0)，則有－lna·ax0＝－x0ln2a·ax0，解得x0＝eq\f(1,lna)，則切線的斜率為ln2a·aeq\s\up7(\f(1,lna))＝eln2a，因為函數(shù)y＝lna·ax與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個不同的交點，所以eln2a<e，解得eq\f(1,e)<a<e，又0<a<1，所以eq\f(1,e)<a<1，綜上所述，a的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)).6.(2021·全國甲卷)曲線y＝eq\f(2x－1,x＋2)在點(－1，－3)處的切線方程為_5x－y＋2＝0__.【解析】因為y＝eq\f(2x－1,x＋2)，(－1，－3)在曲線上，所以y′＝eq\f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq\f(5,x＋22)，所以y′|x＝－1＝5，則曲線y＝eq\f(2x－1,x＋2)在點(－1，－3)處的切線方程為：y－(－3)＝5[x－(－1)]，即5x－y＋2＝0.7.(2021·全國新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_1__.【解析】函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域為(0，＋∞)．當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時，f(x)＝|2x－1|－2lnx＝－2x＋1－2lnx，此時函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上為減函數(shù)，所以f(x)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)＋1－2lneq\f(1,2)＝2ln2；當(dāng)x>eq\f(1,2)時，f(x)＝|2x－1|－2lnx＝2x－1－2lnx，則f′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2x－1,x)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝1時f(x)取得最小值為f(1)＝2×1－1－2ln1＝1.∵2ln2＝ln4>lne＝1，∴函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為1.8.(2023·全國乙卷理科)已知a∈(0,1)，函數(shù)f(x)＝ax＋(a＋1)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)).【解析】解法一：因為a∈(0,1)，f(x)＝ax＋(a＋1)x，所以f′(x)＝axlna＋(a＋1)xln(a＋1)，設(shè)g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝ax(lna)2＋(a＋1)x[ln(a＋1)]2>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f′(x)>f′(0)，因為f(x)＝ax＋(a＋1)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(0)＝lna＋ln(a＋1)≥0，即a(a＋1)≥1，解得eq\f(\r(5)－1,2)≤a<1，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)).解法二：由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝axlna＋(1＋a)x·ln(1＋a)≥0在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，則(1＋a)x·ln(1＋a)≥－axlna，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,a)))x≥－eq\f(lna,ln1＋a)在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,a)))0＝1≥－eq\f(lna,ln1＋a)，而a＋1∈(1,2)，故ln(1＋a)>0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lna＋1≥－lna，,0<a<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa＋1≥1，,0<a<1，))故eq\f(\r(5)－1,2)≤a<1，結(jié)合題意可得實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)).核心考點1導(dǎo)數(shù)的計算、幾何意義核心知識·精歸納1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為_y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__.2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝_cos_x__f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝_αxα－1__f(x)＝cosxf′(x)＝_－sin_x__f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝_axln_a__f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝_f′(x)±g′(x)__；(2)[f(x)·g(x)]′＝_f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．多維題組·明技法角度1：求切線方程或者切線斜率1.(2023·廣州一模)曲線y＝x3＋1在點(－1，a)處的切線方程為(A)A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3【解析】易得a＝(－1)3＋1＝0，故切點為(－1,0)，又y′＝3x2，所以y′|x＝－1＝3，所以切線方程為y＝3(x＋1)＝3x＋3，故選A.2.已知函數(shù)f(x)＝xlnx．若直線l過點(0，－1)，且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為_x－y－1＝0__.【解析】點(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)．因為f′(x)＝1＋lnx，所以直線l的方程為y＋1＝(1＋lnx0)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝1＋lnx0x0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝0.))所以直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.角度2：求切點坐標(biāo)或參數(shù)的值(范圍)3.(2023·河南模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線斜率為1，則a＝(D)A．－1 B．1C．－2 D．2【解析】由f(x)＝x2－ax＋lnx，得f′(x)＝2x－a＋eq\f(1,x)，∴f′(1)＝3－a，由題意可得：3－a＝1，即a＝2.故選D.4.若過點P(－1，m)可以作三條直線與曲線C：y＝xex相切，則m的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,e2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))C．(0，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,e2)，－\f(1,e)))【解析】設(shè)切點為(x0，y0)，過點P的切線方程為y＝(x0＋1)ex0(x－x0)＋x0ex0，代入點P坐標(biāo)化簡為m＝(－xeq\o\al(2,0)－x0－1)ex0，即這個方程有三個不等根即可，令f(x)＝(－x2－x－1)ex，求導(dǎo)得到f′(x)＝(－x－1)(x＋2)ex，令f′(x)＝(－x－1)(x＋2)ex<0，得x<－2，或x>－1，令f′(x)＝(－x－1)(x＋2)ex>0，得－2<x<－1，∴函數(shù)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，故得到f(－2)<m<f(－1)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,e2)，－\f(1,e)))，故選D.方法技巧·精提煉1.求曲線過點P的切線方程的方法(1)當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(2)當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．提醒：(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線y＝f(x)上．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·寶塔區(qū)校級期中)曲線f(x)＝ex＋x2－2x的圖象在(0，f(0))處切線的傾斜角為(D)A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)【解析】因為f(x)＝ex＋x2－2x，所以