安徽省蕪湖市普通高中2024屆高三下學期第八次月考數(shù)學試題試卷

安徽省蕪湖市普通高中2024屆高三下學期第八次月考數(shù)學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點為，則經過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個2．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內心 D．外心5．設，命題“存在，使方程有實根”的否定是()A．任意，使方程無實根B．任意，使方程有實根C．存在，使方程無實根D．存在，使方程有實根6．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則8．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．9．已知集合，則集合真子集的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．810．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種11．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圖（1）是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.14．設變量，，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值是______.15．已知數(shù)列滿足,且,則______.16．已知內角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.19．（12分）已知圓上有一動點，點的坐標為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點.（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點作直線與曲線交于兩點，點的坐標為，直線與軸分別交于兩點，求證：線段的中點為定點，并求出面積的最大值.20．（12分）在中，內角的對邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．21．（12分）設函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若關于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

圓心在的中垂線上，經過點，且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【題目詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【題目點撥】本題主要考查拋物線的簡單性質，本題解題的關鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．2、D【解題分析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，離心率的求法，考查了轉化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．3、D【解題分析】

先將所求問題轉化為對任意恒成立，即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，再利用數(shù)形結合即可解決.【題目詳解】由得，由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線，設切點為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查導數(shù)在不等式恒成立中的應用，考查了學生轉化與化歸思想以及數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.4、A【解題分析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【題目詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【題目點撥】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.5、A【解題分析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【題目詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是“任意，使方程無實根”.故選：A【題目點撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結論，是一道基礎題.6、A【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調性，同增異減以及采用排除法，可得結果.【題目詳解】當時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【題目點撥】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關鍵在于對復合函數(shù)單調性的理解，記住常用的結論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復合函數(shù)單調性同增異減，屬中檔題.7、C【解題分析】

根據(jù)線面的位置關系，結合線面平行的判定定理、平行線的性質進行判斷即可.【題目詳解】A：當時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質可知：當∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【題目點撥】本題考查了線面的位置關系，考查了平行線的性質，考查了推理論證能力.8、B【解題分析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質的應用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.9、C【解題分析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個可得答案.【題目詳解】解：由，得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C【題目點撥】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用，含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個，屬于基礎題.10、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【題目點撥】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．11、B【解題分析】

構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可得到結論.【題目詳解】設,則函數(shù)的導數(shù),，，即函數(shù)為減函數(shù),,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.12、C【解題分析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【題目詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結構是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結構求出其體積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【題目詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關鍵是找到向量和的夾角.14、7【解題分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設z=F(x,y)=2x+3y，將直線l:z=2x+3y進行平移，當l經過點A時，目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=715、【解題分析】

數(shù)列滿足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結合等比數(shù)列的性質求得的值即可.【題目詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對數(shù)的運算性質，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．16、【解題分析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積．【題目詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【題目點撥】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

選擇①時：,，計算，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇②時，，，故，為鈍角，故無解；選擇③時，，根據(jù)正弦定理解得，，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案.【題目詳解】選擇①時：,，故.根據(jù)正弦定理：，故，故.選擇②時，，，故，為鈍角，故無解.選擇③時，，根據(jù)正弦定理：，故，解得，.根據(jù)正弦定理：，故，故.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構造函數(shù)，再求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調遞減，最后根據(jù)單調性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數(shù)：，這里產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設函數(shù)，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解題分析】

（Ⅰ）先畫出圖形，結合垂直平分線和平行四邊形性質可得為一定值，，故可確定點軌跡為橢圓（），進而求解；（Ⅱ）設直線方程為，點坐標分別為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，分別由點斜式求得直線KA的方程為，令得，同理得，由結合韋達定理即可求解，而，當重合交于點時，可求最值；【題目詳解】（Ⅰ），所以點的軌跡是一個橢圓，且長軸長，半焦距，所以，軌跡的方程為.（Ⅱ）當直線的斜率為0時，與曲線無交點.當直線的斜率不為0時，設過點的直線方程為，點坐標分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去，得.則，.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點為.不妨設點在點的上方，則.【題目點撥】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程，橢圓中的定點定值問題，屬于中檔題20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由，利用余弦定理可得,結合可得結果；（2）由正弦定理，,利用三角形內角和定理可得，由三角形面積公式可得結果.【題目詳解】（1）由題意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【題目點撥】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.21、（1）當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解題分析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標準，若不恒成立，求解，即可得出結論；（2）有解，即，令，轉化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結論，即可求解.【題目詳解】（