2024屆陜西省澄城縣寺前中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題

2024屆陜西省澄城縣寺前中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．2．己知，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在中，，則（）A． B． C． D．5．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．36．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．7．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．28．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．9．給出個(gè)數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，以此類推，要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問(wèn)題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語(yǔ)句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；10．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．11．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫(huà)中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖在三棱柱中，，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.14．圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為_(kāi)____.15．能說(shuō)明“在數(shù)列中，若對(duì)于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.（寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式）16．的展開(kāi)式中，的系數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.20．（12分）已知點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線（當(dāng)、重合時(shí)，直線約定為軸），垂足為，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，連接并延長(zhǎng)交于，求的最大值.21．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【題目詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái)，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．2、B【解題分析】

先將三個(gè)數(shù)通過(guò)指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算變形，再判斷.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.3、C【解題分析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，且，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計(jì)算的值．【題目詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦模?所以,所以，因?yàn)?，所以，故選A．【題目點(diǎn)撥】對(duì)于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點(diǎn)，且滿足，那么為的重心．5、A【解題分析】

先求的展開(kāi)式，再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【題目詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題，實(shí)有其合理之處.解決此類問(wèn)題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過(guò)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.7、A【解題分析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【題目詳解】由題意，，解得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語(yǔ)句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語(yǔ)句②.【題目詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1，故判斷語(yǔ)句①應(yīng)為，第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，這樣可以確定語(yǔ)句②為，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.10、B【解題分析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

由已知，設(shè)．可得．于是可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【題目詳解】解：依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、A【解題分析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出，求出的模即可．【題目詳解】解：，，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【題目詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面，展開(kāi)圖如圖所示，若，，三點(diǎn)共線時(shí)最小為，為直角三角形，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可得解.【題目詳解】的圓心為，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為，則有:，解得，所以對(duì)稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).15、答案不唯一，如【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【題目詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說(shuō)明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先將原式展開(kāi)成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【題目詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì)，關(guān)鍵是先展開(kāi)再利用排列組合思想解決，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【題目詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，當(dāng)即時(shí)，使，∴在遞增，此時(shí)，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，第二問(wèn)的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)分類討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.18、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解題分析】

（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得兩點(diǎn)間距離．【題目詳解】解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為（2）據(jù)解，得或【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．19、證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.【解題分析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【題目詳解】解：證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，即可得結(jié)果；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出，聯(lián)立可得，則計(jì)算可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【題目詳解】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標(biāo)方程為，由得：，由得：，，，當(dāng)，即時(shí)，，的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）1【解題分析】

（1）由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設(shè)，分別求得，和的長(zhǎng)，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值．【題目詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長(zhǎng)為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力