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文檔簡介
山東省菏澤市單縣第五中學2024屆高三第七次考試數(shù)學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.2.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則3.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.4.已知集合,,則()A. B. C. D.5.從集合中隨機選取一個數(shù)記為,從集合中隨機選取一個數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.6.在中,內角的平分線交邊于點,,,,則的面積是()A. B. C. D.7.設數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.638.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?10.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.11.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設球的半徑分別為,則()A. B. C. D.12.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數(shù)_____.14.運行下面的算法偽代碼,輸出的結果為_____.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的值為____________.16.已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.18.(12分)選修4-5:不等式選講設函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求19.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.20.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.21.(12分)某公司打算引進一臺設備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元,乙設備每臺9000元.此外設備使用期間還需維修,對于每臺設備,一年間三次及三次以內免費維修,三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設備5103050乙設備05151515(1)設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學期望為決策依據(jù),希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設備?請說明理由.22.(10分)2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進行兩次檢測,當?shù)谝淮螜z測合格后,才能進行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨立,設經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學期望.附:(1)相關系數(shù)(2),,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】
設,根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【題目詳解】設,,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當時,;當時,;綜上所述:.故選:C.【題目點撥】本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.2、D【解題分析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質,可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【題目詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質,有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【題目點撥】本題考查了空間中的平行垂直關系判斷,考查了學生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.3、C【解題分析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【題目詳解】依題意,,即,解得;因為所以,當時,.故選:C.【題目點撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應用,難度一般.4、D【解題分析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【題目詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【題目點撥】本題考查集合的交集運算,考查學生的基本運算能力,是一道容易題.5、A【解題分析】
設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,分別計算出,再利用公式計算即可.【題目詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【題目點撥】本題考查利用定義計算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.6、B【解題分析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進而求出,然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【題目詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【題目點撥】本題考查三角形面積的計算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.7、D【解題分析】
根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項和公式求.【題目詳解】因為,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,又因為,所以,.故選:D【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解題分析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結合和的離心率之積為,即可得的關系,進而得雙曲線的離心率方程.【題目詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【題目點撥】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎題.9、B【解題分析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點:交集及其運算.10、A【解題分析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【題目詳解】因為,所以,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉化為乘法運算.11、D【解題分析】
由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內切于正方體,設,兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關系可轉化出,進而求解【題目詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內切于正方體,不妨設,兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【題目點撥】本題考查立體圖與平面圖的轉化,拋物線幾何性質的使用,內切球的性質,數(shù)形結合思想,轉化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)12、D【解題分析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【題目詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【題目點撥】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】
根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進行數(shù)量積的運算即可求出λ.【題目詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【題目點撥】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.14、【解題分析】
模擬程序的運行過程知該程序運行后計算并輸出的值,用裂項相消法求和即可.【題目詳解】模擬程序的運行過程知,該程序運行后執(zhí)行:.故答案為:【題目點撥】本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關鍵;屬于基礎題.15、【解題分析】
由圖可得的周期、振幅,即可得,再將代入可解得,進一步求得解析式及.【題目詳解】由圖可得,,所以,即,又,即,,又,故,所以,.故答案為:【題目點撥】本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值,考查學生識圖、計算等能力,是一道中檔題.16、【解題分析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準線方程,得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.【題目詳解】解:雙曲線的右準線,漸近線,雙曲線的右準線與漸近線的交點,交點在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用,是基本知識的考查,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解題分析】
(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關系得出,利用線面垂直的判定和性質得出,結合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【題目詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設則,,,,,設平面的法向量為,則,取得,設直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.18、(1)見解析.(1)(-1,0).【解題分析】試題分析:(1)直接計算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當x≤a時,f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當a<x<時,f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當x時,f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域為[﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點:1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.19、(1);(2)或【解題分析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關系,然后將點的坐標代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論,當直線的斜率不存在時,可求出,然后進行檢驗;當直線的斜率存在時,可設直線的方程為,設點,先由直線與圓相切得出與之間的關系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達定理,利用弦長公式并結合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【題目詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當直線存在斜率時,設其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設,則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【題目點撥】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標準方程.解決直線與橢圓的位置關系的相關問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應用根與系數(shù)的關系建立方程,解決相關問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.20、(1)(2)【解題分析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點,由此求得,結合橢圓離心率求得,進而求得,從而求得橢圓的標準方程,求得橢圓上頂點的坐標,由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得兩點的縱坐標,由此求得的面積.(2)求得兩點的坐標,設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,由此求得的值,根據(jù)在橢圓上求得的值,由此求得的值.【題目詳解】(1)因為拋物線的焦點坐標為,所以橢圓的右焦點的坐標為,所以,因為橢圓的離心率為,所以,解得,所以,故橢圓的標準方程為.其上頂點為,所以直線:,聯(lián)立,消去整理得,解得,,所以的面積.(2)由題知,,,設,.由題還可知,直線的斜率不為0,故可設:.由,消去,得,所以所以,又因為點在橢圓上,所以,所以.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的焦點,橢圓的標
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