2022年安徽省蕪湖市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年安徽省蕪湖市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位

號和考生號填寫在答題卡上。條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼

處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題僅有一個正確選項，選對得5分，共60分）

1.己知集合A={刈〃(x-1)<0},8=0/-3x+2<0},則4c8=()

A.{x|l^x<2)B.{x|l〈x<2}C.{x|lVxW2}D.{x\\<x<2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=1+3。則5=（)

A.-l+2zB.l+2zC.-1-2/D.1-2i

3.某高中學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了100

名男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)此圖，下

列說法中錯誤的是（）

O.06

O.05

O.04

O.03

O.02

A.樣本的眾數(shù)約為674

B.樣本的中位數(shù)約為66|

C.樣本的平均值約為66

D.為確保學(xué)生體質(zhì)健康，學(xué)校對體重超過75依的學(xué)生進行健康監(jiān)測，該校男生中需要

監(jiān)測的學(xué)生頻數(shù)約為200人

4.函數(shù)y=（2旺2一號/〃㈤的圖像大致為（）

第1頁共26頁

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

6.圓C：/+（y-2）2=R2（/?>O）上恰好存在2個點，它到直線y=VIr-2的距離為1,

則R的一個取值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

7.在（1-2x）5（3x+l）的展開式中，含％3項的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.120

8.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個

爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取

一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）

5112111

A.—B.—C.-D.一

16323216

9.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為ab,c,且a=2,A=［又點A,B,

C都在球O的球面上，且點O到平面ABC的距離為石，則球O的體積為（）

637r

A.12nB.-----C.36nD.45TT

2

x2y2

10.已知雙曲線三=1（a>0,b>0）的左、右焦點，F(xiàn)l，F(xiàn)2,過心的直線交右支于

a2b2

4、B兩點，若|A五2|=3尸26，\AF\\=\AB\,則該雙曲線的離心率為（）

第2頁共26頁

A.—B.2C.V5D.V3

2

11.我們把F”=22"+l(〃=0,1,2-)叫“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)

222

Q〃=log2(耳-1),〃=1,2,…，Sn表示數(shù)列｛?！ǎ那皀項之和，則使不等式-+

S1S2S2s3

成立的最小正整數(shù)〃的值是()

-+—5總1—+11200

A.8B.9C.10D.11

12.在長方體A8CO-4BC1O1中.AB=AD=\,A4i=2,P是線段BCi上的一動點，如

下的四個命題中，

(1)AiP〃平面ADC；

2\/5

(2)A\P與平面BCC\B\所成角的正切值的最大值是《一；

(3)AiP+PC的最小值為笠^；

(4)以4為球心，&為半徑的球面與側(cè)面OCCjOi的交線長是今

真命題共有幾個()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(每小題5分，共20分)

13.設(shè)x,3'GR,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且。_1_(?,b//c,則|a+b|

14.函數(shù)f(x)=器的圖象在點(1,f(D)處的切線方程為

15.若sina=-q,a是第三象限角，則----?=_______.

51+tan-

2

16.已知拋物線C：/=2px(〃>0)的焦點為凡點"(一分0),過點尸的直線與此拋物

線交于A、B兩點,若|A8|=12,且tan/AMB=2a,則p=.

第3頁共26頁

三、解答題（17至21題，每題滿分60分，22或23題，每題滿10分，共70分）

17.（12分）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個

大項，15個分項，109個小項.為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進行

了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為10〃（〃€N*）,統(tǒng)計得到以下2X2列聯(lián)表，

經(jīng)過計算可得K?g4.040.

男生女生合計

了解6〃

不了解5〃

合計10/710n

（1）求〃的值，并判斷有多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別

有關(guān)；

（2）①為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不理解

冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少

抽到一名女生”的概率；

②頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取10人，記其中對冬季奧

運會項目了解的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

附表：

P（腔泌）0.100.050.0250.0100.001

氐2.7063.8415.0246.63510.828

2

_______.(ad—兒)_______

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

第4頁共26頁

3

18.(12分)已知/(x)=V3sin(ir+3x)?sin(丁--COS2(JDX(O)>0)的最小正周期

為T=n.

47T

(i)求/1(W)的值.

(2)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求

角B的大小以及/(A)的取值范圍.

第5頁共26頁

19.(12分)如圖1,在邊長為4的菱形ABC。中，ZBAD=60°,于點E,AADE

沿。E折起到△△]￡>￡的位置，使4O-LOC，如圖2.

(1)求證：41旦1_平面8。?！辏?；

(2)求二面角E-AiB-C的余弦值.

第6頁共26頁

20.（12分）在△ABC中，A,8的坐標(biāo)分別是（一魚，0）,（夜，0）,點G是△A3C的重心，

y軸上一點M滿足GM//AB,且|MC|=|MB|.

（I）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；

（II）直線/：與軌跡E相交于P,。兩點，若在軌跡E上存在點R,使四邊形

OPRQ為平行四邊形（其中。為坐標(biāo)原點），求m的取值范圍.

第7頁共26頁

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=3xi-4A2-x.

(1)若尤日0,2],求/G)的值域；

(2)若獷'(X)+2ev^crjrlnx-axlnx^G.求實數(shù)。的取值范圍.

第8頁共26頁

選做題：(在22題與23題中任選一題作答，并所選的題目標(biāo)記在答題卡上)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系屹y中，曲線Ci：x+y-4=0,曲線C2：=羿機加(°

為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

(1)求曲線Ci，C2的極坐標(biāo)方程：

(2)射線/：9=a(pNO,0<a<y)分別交曲線Ci，C2于M，N兩點，求”1的最大

/\OM\

值.

第9頁共26頁

23.設(shè)函數(shù)f(x)=\3x-3|+|2r-1|的最小值為m.

(1)求"?的值；

(2)若a,b,cGR,且a+b+c=m,abc=用機儀{〃，b,c}表示a,b,c中的最大值,

證明：max{a,b,c}22.

第10頁共26頁

2022年安徽省蕪湖市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(每小題僅有一個正確選項，選對得5分，共60分)

1.已知集合4={x|/〃(x-1)<0},B={4f2-3x+2W0},則AAB=()

A.{x|lWx<2}B.{x|lWxW2}C.{x|l<xW2}D.{x\\<x<2}

【解答】解：因為A={x|/〃(x-1)<0}={卻(尤<2},

-3x+2W0}={x|lWxW2},

所以ACB={x|l〈x<2}.

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=l+3i,則5=()

A.-1+2/B.1+2/C.-1-2zD.1-2i

【解答】解：：z(1-z)=1+36

.l+3t(l+3i)(l+i)-2+4i.

?>z=-=(l-0(i+0=~l+L2t>

Az=-1-2i.

故選：C.

3.某高中學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100

名男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)此圖，下

列說法中錯誤的是()

B.樣本的中位數(shù)約為66|

C.樣本的平均值約為66

D.為確保學(xué)生體質(zhì)健康，學(xué)校對體重超過75奴的學(xué)生進行健康監(jiān)測，該校男生中需要

監(jiān)測的學(xué)生頻數(shù)約為200人

第11頁共26頁

65+701

【解答】解：對于A,樣本的眾數(shù)為「一=67;,故A正確，

22

對于8,設(shè)樣本的中位數(shù)為x,5X0.03+5X0.05X(%-65)X0.06=0.5,解得x=66全

故8正確，

對于C,由直方圖估計樣本平均值57.5X0.15+62.5X0.25+67.5X0.3+72.7X0.2+77.5X0.1

=66.75,故C錯誤，

對于。，2000名男生中體重大于75依的人數(shù)大約為2000X5X0.02=200,故O正確.

故選：C.

4.函數(shù)y=(2及2")/〃國的圖像大致為()

【解答】解：函數(shù)y=(2J+2'X)ln\x\,因為f(-x)=(2X+2'X)/川-x|=/(x),函數(shù)

是偶函數(shù)，排除。；xG(0,1)時，y=(2V+2'X)/n|x|<0,

排除選項A,C,

故選:B.

5.在等比數(shù)列｛斯｝中，是“｛斯｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【解答】解：等比數(shù)列｛"”｝中，-1,1，-1,1,-1,1,…故數(shù)列為擺動數(shù)列，不為

遞增數(shù)列，

當(dāng)｛如｝為遞增數(shù)列，則ai>a\,所以，“碩>0”是為遞增數(shù)列”的必要不充分條

件.

故選：B.

第12頁共26頁

6.圓C：/+(y-2)2=R2(R>0)上恰好存在2個點，它到直線>'=V3x-2的距離為1,

則R的一個取值可能為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：圓C的方程為/+(y-2)2=R2(/?>0),

圓心C(0,2)到直線y=-2的距離"==2,

V34-1

由圓上恰有2個點到直線>■=V3.r-2的距離為2,

則實數(shù)R的取值范圍為(2-1,2+1),即(1,3).

故選:B.

7.在(I-2x)5(3x+l)的展開式中，含％3項的系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.120

【解答】解：展開式中含丁的項為3?鬣(—2x)2+ix量?(-2x)3=(120-80)?=40x\

則含小的系數(shù)為40,

故選：C.

8.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個

爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取

一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()

D-蔡

【解答】解：在所有重卦中隨機取一重卦，

基本事件總數(shù)〃=26=64,

該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)m=Cl=20,

則該重卦恰有3個陽爻的概率片與=瑞=普

故選:A.

9.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且a=2,A=*又點A,B,

C都在球。的球面上，且點O到平面4BC的距離為石，則球。的體積為()

63兀

A.12nB.---C.36TID.45n

2

【解答】解：如圖,

第13頁共26頁

設(shè)aABC外接圓的半徑為r,由正弦定理可得，21=嬴=磊=4,

則/'=2,設(shè)的外心為G,則AG=2,連接0G,則OG_L平面ABC,得OGJ_GA,

即0G=遍，在RtZ\OGA中，0A=70G2+GA2=J(V5)2+22=3,

即球。的半徑為3,

則球0的體積為V=打X33=36TT.

故選：C.

xv

10.已知雙曲線"一1(a>0,b>0)的左、右焦點，F(xiàn)\,尸2,過尸2的直線交右支于

a2b2

A、8兩點，若忸廣2|=3尸2引，|AQ|=|AB|,則該雙曲線的離心率為()

V5廣L

A.—B.2C.V5D.遮

2

【解答】解:設(shè)底汨|=加(加>0),則|4尸2|=3如\AFi\=\AB\=4m,

由雙曲線的定義得，lAFil-\AF2\=2a,則加=2小

IBF1I-\BF2\^2a,則|BQ|=2〃?，.?.|AQ|=8a,

\AF2\=6a,\BF]\=4a,\F2B\=2a,

在△AF1F2中，由余弦定理可得,

1%尸2/+|尸212TA尸]136a2+4c2—64a2c2-7a2

COSZAF2FI=21gll尸園=24ac=6ac

在△BF1F2中，同理可得cosN8F2尸1=，o,

c2-7a2c2-3a2

--------+=0,解得e=3=2(e>l),

6ac

故選：B.

第14頁共26頁

11.我們把F,.=22n+\(n=0,1,2-)叫“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)

222

a〃=log2(E?-1),n=\,2,…，S?表示數(shù)列｛斯｝的前〃項之和，則使不等式;~~■+

S2s3

…+-4—V二;成立的最小正整數(shù)〃的值是()

SnSn+i1200

A.8B.9C.10D.11

【解答】解：把8=22n+1(〃=0,1,2…)叫“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).

由于4〃=log2CFn-1),

2n

=log2(2+1-1),

=2",

故：Sn=2哈D=2(2「_1),

271111

則:4(2nT-2n+1-1)'

^n^n+1

2222n

則：不等式----+-----+…4-

S1S?S2s3S71szi+工

1/11、-2n匚廿一

=4(1_2n+l_1)＜立而成乂，

當(dāng)不等式成立時n的最小值為9.

故選：B.

12.在長方體ABCO-AiBiCiDi中.AB^AD=i,AAi=2,P是線段8cl上的一動點，如

下的四個命題中,

(1)41P〃平面幺QiC；

2乘

(2)4P與平面BCCBi所成角的正切值的最大值是三；

V170

(3)41P+PC的最小值為一--；

一71

(4)以A為球心，&為半徑的球面與側(cè)面ZJCCO1的交線長是，

真命題共有幾個()

第15頁共26頁

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對于(1),在長方體ABC。-Ai81clz)i中，BC//AD,JSBC=AD,AD//

A\D\,KAD—A.\D\,

：.BC//A\D\,KBC=A\D\,

,/AiBC平面AD\C,CD\a平面AQiC,/.48〃平面AD\C,

'：A\C\//AC,AICIU平面ADiC,ACu平面4DC，

，4Ci〃平面AD\C,

：AiGnAi2=4,；.平面AOiC〃平面A\BC\,

?.?AiPu平面AiBCj,...AiP〃平面ADC，故⑴正確；

對于(2),平面BCCiBi，與平面BCCiBi所成角為NA為Bi，

tan/AiP8i=鬻i,...當(dāng)時，4P與平面BCQBi所成角的正切值最大,

rD|

由勾股定理得JBC2+CC/=6,

由等面積法得PBi=/譚1=等，

；.tan/AiP8i=唱"■的最大值為一，故(2)正確；

對于(3),ZVliCiB沿BQ翻折與△BCCj在同一平面，如下圖，

第16頁共26頁

在RtABCCi中，ZBCCi是直角，

/叱「eg275.?BC后

cosZBCiC==—g—,sin乙BC1c==-g-,

在△AiBQ中，AiB=BCi=V5,AiCi=V2,

由余弦定理得cosN4GB=/反器1敲出2=嚅，

則NAiCB為銳角，.?.疝乙41。/=￥^,

cosZA|C|C=cos(ZAiCiB+ZBCiC)=一祭，

由余弦定理得41c2=+CCj2-2余弦?CCrcosNAiCiC=等,

此時，4C=q^,

.,.A1P+PC的最小值為故(3)正確；

對于(4),設(shè)M是以A為球心，魚為半徑的球面與側(cè)面。CCiOi的交線上的一點,

?；AD_L平面OCCiOi，OMu平面。CCiOi,：.AD±DM,

:.DM=y/2-AD2=1,

.?.交線為以。為圓心，1為半徑的四分之一圓周，...交線是泉故(4)正確.

故選：D.

二、填空題(每小題5分，共20分)

13.設(shè)1,yWR，向量Q=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且aJ_c,b//cf則|a+b|=

V10_.

【解答】解：根據(jù)題意，向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且。_1。，b〃c,

第17頁共26頁

則有益之=-2X+2=0,2X2=-2y,解可得x=l,y=-2,

則改=(1,1),h=(2,-2),則有2+(3,-1),

故丘+b|=V9+1=V10,

故答案為：V10.

14.函數(shù)/(x)=罌的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為一2丫-1=0

【解答】解：?.?函數(shù)/(x)=巖，/(I)=0

[(x+l)Tnx

:.f(x)=

(X+l)2

1

?.?x=l時，/⑴=2,

二函數(shù)/(x)=器的圖象在點(1,/⑴)處的切線方程為尸寺(x-1),即x-2y-1

=0.

故答案為：x-2y-1=0.

,人a

01—tan—

15.若sina=-q,a是第三象限角，則---a=~2.

51+tan?-----

2

【解答】解：因為sina=—|,a是第三象限角，

所以cosa=—V1—sin2a=—

..a1------a.aaa

1—tan—cos^cos——sin—(zcos——sin^)y2z1-sina

~~a=-a=a~,~~~a=T.a、「a；~a7=

1+tan-5tn-cos-+sin-(cos-4-sm-){cos-sin-)cosa

21+.-222222

COSy

5

故答案為：-2.

16.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為凡點M(-*0),過點F的直線與此拋物

線交于A、B兩點,若|AB|=12,且tan/AMB=2近，則〃=3.

【解答】解：設(shè)直線48：x—my+^,設(shè)A(xi,yi),B(X2,)2)，

X=my+2

聯(lián)立，2,化簡整理可得，/-2mpy-p-0,

y2—2px

第18頁共26頁

2

由韋達定理可得，yi+y2=2mp,yty2=-p?

.IX__21_,_Z2__力,_2_2叫及+孫+-2)_27n(—p2)+p.(2mp)

17n

'-勺+號冷+專―%+P血及+口一(my1+p)(my2+p)―(my1+p)(my2+p)

0,

所以可得ZAMF=NBMF,

D2tanZ-AMF

tan^MB=匚礪花礪=

又N4W為銳角，解得tan/AMF=孝,

設(shè)4/>8尸，如圖作AH_Lx軸交于H,

由題意可得，M在拋物線的準(zhǔn)線上，作準(zhǔn)線/,作AW，/,垂足為4,

則tcmZJlMF—-sinz.AFH-學(xué)，

所以=I即機=1,

1m22-

所以|AB|="+m21yl-y2|=7C+)[C/i+72)^^2]=4p=12,解得p=3.

故答案為：3.

三、解答題(17至21題，每題滿分60分，22或23題，每題滿1()分，共70分)

17.(12分)第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個

大項，15個分項，109個小項.為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進行

了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為10"(〃6N*),統(tǒng)計得到以下2X2列聯(lián)表，

經(jīng)過計算可得長224.040.

男生女生合計

了解6〃

第19頁共26頁

不了解5n

合計10〃10〃

(1)求”的值，并判斷有多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別

有關(guān)；

(2)①為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不理解

冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少

抽到一名女生”的概率；

②頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取10人，記其中對冬季奧

運會項目了解的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

附表:

P(犬2用)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

2

u_n(ad-bc)

"―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

【解答】解：(1)2X2的列聯(lián)表如下:

男生女生合計

了解6n5n\\n

不了解4〃57?9n

合計10/?10,?20〃

2

“2_20nx(6nx5n-4nx5n)_20nnn

K=10nxl0nxllnx9n=4-040,

因為〃EN*,

所以〃=20,

,：P(非》3.841)=0.05,

因此，有95%的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān);

(2)①采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，這

9人中男生的人數(shù)為4,女生的人數(shù)為5,

自一14

再從這9人中抽取3人進行面對面交流,“至少抽到一名女生”的概率為1年=1一函=

20

21:

第20頁共26頁

②由題意可知X?8(10,笳，

1111

故E(X)=10x

L3nL

18.(12分)已知f(x)=V3sin(n+a)x)*sin(丁-3/)-cos*,o)x(a)>0)的最小正周期

為T=n.

（1）求/（不）的值.

（2）在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c,若（2〃-c）cosB=hcosC,求

角5的大小以及/YA）的取值范圍.

L3

【解答】解：(1)/(x)=V3sin(ir+a)x)*sin(丁-a)x)cos2cox=V3sinu)x*cos(jox-cos2a)x

_V3.1?1_.z7T>.1

=SLTI2o(JI)X-7Tcos2ct)x一方=sin(n2u)x—工)一方.

22262

27r

???最小正周期為T=1T,---=7T,=3=1.

2a)

f(x)=sin(2x—石)一

47r47rTT

'.f(—)=sin(2x苧-J)1_1

J3362=2,

(2)*.*(2tz-c)cosB=/?cosC?(2sinA-sinC)cosB=sin8cosc

2sin/4cosB=sin^cosC+cosBsinC=sin(8+C)=sirt4.

1TT

VsinA>0,：.cosB=^,'：B&(0,n),AB=J.

?，.Ae(0,^-),2A—看G(—去，^-)(sin(2A—6(—,1].

1

f(A)的取值范圍：(-1,

19.(12分)如圖1,在邊長為4的菱形ABC。中，ZBA￡>=60°,OE_LAB于點E,/\ADE

沿OE折起到△4OE的位置，使AiDLOC,如圖2.

（1）求證：4E_L平面8CDE：

（2）求二面角E-AiB-C的余弦值.

第21頁共26頁

Ai

圖2

【解答】解：（1）證明：'：DEA.BE,BE//DC,：.DELDC.

又YAimC,A\DC\DE=D,

.?.￡>C_L平面AiOE,：.DCLA\E.

AiEl.DE,DCnDE=D,.,.AiE，平面8c￡>￡

(2)：AiE_L平面BCQE,DELBE,

.,.以EB,ED,EAi所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

由題意知DE=2同

則Ai(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2百，0),D(0,26，0),

療

：.BA1=(-2,0,2),BC=(2,20),

由題意知平面A18E的一個法向量為1=（0,1,0）.

設(shè)平面4BC的法向量為m=(x,y,z),

由LBT45T=0,T叱Tm=0,/得口(鼠一2%++22何Z==0,

令y=l,得m=(—V3,1,—V3),

?,?cos/On,n.>\=―—―=-(=1-=V7

|m|-|n|V7xl7

由圖得二面角E-AiB-C為鈍二面角,

二面角E-AiB-C的余弦值為一身.

20.（12分）在AABC中，A,B的坐標(biāo)分別是（-VL0）,（夜，0）,點G是AABC的重心,

y軸上一點M滿足GM//AB,且

第22頁共26頁

(I)求AABC的頂點C的軌跡E的方程;

(II)直線/：與軌跡E相交于P,。兩點，若在軌跡E上存在點R,使四邊形

OPRQ為平行四邊形(其中。為坐標(biāo)原點)，求小的取值范圍.

【解答】解：(/)設(shè)C(x,y),:點G是AABC的重心，

軸上一點M滿足GM〃A3,給.

V\MC\=\MB\,

，卜+(|y)2=j+停尸,

x2y2

化為+—=l(y0)即為△ABC的頂點C的軌跡E的方程；

26

,化為(3+F)J?+2切-6=0,

3o%/2+y/2=6

由△>0,化為2必-zn2+6>0,

—2kmm2―6

%!+Xx±x

23+fc2'23+fc2'

?.?四邊形OPRQ為平行四邊形,

：.OR^OP+OQ,

:?R(xi+x2，yi+”)，y\-^-y2=k(xi+x2)+2m=-,

3+k

.,-2km6m、

3+r3+d

???點R在橢圓上，

.,.3x(衛(wèi)約2+(且與2=6,化為2川=必+3.

3+fc23+*

代入△>(),可得加2>(),

又加》3,解得m2乎或必-乎.

.?.用的取值范圍是(—8,9U停，+00).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=3J？-4/-X.

(1)若元日0,2],求/G)的值域；

(2)若0>(x)+2，-ar阮i20.求實數(shù)Q的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=34-4/-x,求導(dǎo)得：f(x)=9/-8x-1=(x-1)

(9x+l),

第23頁共26頁

xG［O,2］時，當(dāng)0<x<l時，f(x)<0,當(dāng)l<x<2時，f(x)>0,

：.f(x)在［0,1］上遞減，在［1,2］上遞增，

f(X)min=f(1)=-2,

,：f(0)=0,f(2)=6,：.f(x)max=f(2)=6,

.V(x)的值域為［-2,6J.

(2)"."xf(JC)+2eLi+mnx-

2ex1+3x4-4/--axlnx^O,

設(shè)g(x)—2ex*+3x4--x^+c^^lnx-axlnx,x>0,

則g1(x)=2^''+12X3-12X2-2x+2a2xlnx+a2x-a-alnx,

?.?在(0,+8)內(nèi)g(x)］o,且g(1)=0,(x)min=g(1)=0，則1為g(x)

的極值點，

.".g'(1)=0,即a?-0=0,解得a=0或a=l,

2e%T

當(dāng)a=0時，g(x)=2(^1+3x4-4/-x1=x(--—+3x3-4x2-x),x>0,

設(shè)力(x)=--------F3%3—4x2—%,x>0,

則/i'(x)=2eX-y~~D+9?-8x-1=2靖-岑-1)+(9%+1)(x-()=(x-1)