2024屆新教材二輪復習 　計數(shù)原理及其簡單應用 學案

2024屆新教材二輪復習計數(shù)原理及其簡單應用學案素養(yǎng)導引1.了解兩個計數(shù)原理的特征.(數(shù)學抽象)2.理解兩個計數(shù)原理的概念與區(qū)別.(數(shù)學抽象)3.掌握兩個計數(shù)原理的應用.(邏輯推理、數(shù)學運算)4.會根據(jù)實際問題的特征,合理地分類或分步.(邏輯推理)一、分類加法計數(shù)原理【批注】(1)每類方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事.(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的,即“分類互斥”.[診斷]1.辨析記憶(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同. (×)提示:在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法是不同的.(2)用分類加法計數(shù)原理解決實際問題時,分類標準是唯一的. (×)提示:分類標準并不唯一,但應先確定一個適合的分類標準,然后在這個標準下進行分類.(3)分類加法計數(shù)原理可以推廣到n類不同的方案的情況. (√)提示:完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,…,在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.2.(教材改編題)用1,2,3這三個數(shù)字能寫出________個沒有重復數(shù)字的偶數(shù).

【解析】用1,2,3這三個數(shù)字能寫出1個一位偶數(shù):2;用1,2,3這三個數(shù)字能寫出2個沒有重復數(shù)字的兩位偶數(shù):12,32;用1,2,3這三個數(shù)字能寫出2個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù):132,312.所以用1,2,3這三個數(shù)字共能寫出5個沒有重復數(shù)字的偶數(shù).答案:5二、分步乘法計數(shù)原理【批注】(1)每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事.(2)各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性,“獨立”確保不重復,即“分步互依”.[診斷](1)(教材改編題)現(xiàn)有4件不同款式的上衣與3件不同顏色的長褲,如果一條長褲和一件上衣配成一套,則不同搭配方法有____種 ()

A.7 B.64 C.12 D.81【解析】選C.因為選定一件上衣時,有不同顏色的褲子3條,所以有3種不同的穿衣方案,所以共有3×4=12(種)不同的搭配方法.(2)(教材改編題)某小組有8名男生,6名女生,從中任選男生、女生各一人去參加座談會,則不同的選法種數(shù)為________.

【解析】從8名男生中任意挑選一名參加座談會,共有8種不同的選法;從6名女生中任意挑選一名參加座談會,共有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為8×6=48.答案:48學習任務一分類加法計數(shù)原理(邏輯推理)【典例1】(1)某學生去書店,發(fā)現(xiàn)3本好書,決定至少買其中一本,則購買方式共有 ()A.3種 B.5種 C.7種 D.9種【解析】選C.分三類:買1本、買2本或買3本,各類購買方式依次有3種、3種、1種,故購買方式共有3+3+1=7(種).(2)若x,y∈N*,且x+y≤6,則有序自然數(shù)對(x,y)的個數(shù)為 ()A.8 B.10 C.12 D.15【解析】選D.按x的取值進行分類:x=1時,y=1,2,3,4,5,共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對;x=2時,y=1,2,3,4,共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對;…;x=5時,y=1,共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有N=5+4+3+2+1=15個有序自然數(shù)對.(3)(2023·濰坊高二檢測)如圖所示,若從正六邊形ABCDEF的六個頂點中任取三個頂點構(gòu)成一個三角形,則直角三角形的個數(shù)為 ()A.6 B.8 C.12 D.16【解析】選C.由正六邊形的性質(zhì)可得,當以AD為斜邊時,可構(gòu)成直角三角形:△ADB,△ADC,△ADE,△ADF四個,同理可得當以BE,CF為斜邊時,分別也為四個,即直角三角形的個數(shù)為12.【思維提升】利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程提醒:確定分類標準時,一方面要做到分類“不重不漏”,另一方面要確保每一類都能獨立地完成這件事.【即學即練】1.用1,3,5,7中的任意一個數(shù)為分子,2,4,8,9中的任意一個數(shù)為分母,則可構(gòu)成真分數(shù)的個數(shù)為 ()A.8 B.9 C.10 D.11【解析】選D.分四類:①當分子為1時,有12,14,18,19,共4個真分數(shù);②當分子為3時,有34,38,39=13,共3個真分數(shù);③當分子為5時,有58,59,共2個真分數(shù);④當分子為7時,有78,72.有三項體育運動項目,每個項目均設(shè)冠軍和亞軍各一名.學生甲參加了這三個運動項目,但只獲得一個獎項,學生甲獲獎的不同情況有__________種.

【解析】三項體育運動項目,每個項目設(shè)冠軍和亞軍各一名,即每個運動項目可有2個獎項.由分類加法計數(shù)原理,學生甲獲獎的不同情況有2+2+2=6(種).答案:6學習任務二分步乘法計數(shù)原理(邏輯推理)【典例2】(1)4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目,每人報一項,則不同的報名方法數(shù)為 ()A.43 B.34 C.7 D.12【解析】選B.要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事,因為每人必報一項,四人都報完才算完成,于是按人分步,且分為四步,又每人可在三項中選一項,選法為3種,所以共有3×3×3×3=34(種)報名方法.(2)(2023·濟南高二檢測)已知四棱錐O-ABCD,現(xiàn)有質(zhì)點Q從O點出發(fā)沿棱移動,規(guī)定質(zhì)點Q從一個頂點沿棱移動到另一個頂點為1次移動,則該質(zhì)點經(jīng)過3次移動后返回到O點的不同路徑的種數(shù)為________.

【解析】質(zhì)點Q第一步移動到A,B,C,D四個頂點中的一個,共4種不同的移動方法,不妨設(shè)先移動到頂點A;第二步移動到B、D兩個頂點中的一個,共2種不同的移動方法;第三步移動到頂點O即可,即該質(zhì)點經(jīng)過3次移動后返回到O點的不同路徑的種數(shù)為4×2=8.答案:8【一題多變】本例(1)條件改為4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍(每項冠軍只允許一人獲得),共有多少種可能的結(jié)果?【解析】要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事,因為每項冠軍只能有一人獲得,三項冠軍都有得主,這件事才算完成,于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步,而每項冠軍是四人中的某一人,有4種可能的情況,于是共有4×4×4=64(種)可能的結(jié)果.【思維提升】利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程提醒:注意完成這件事情要分幾個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事情,每個步驟缺一不可.【即學即練】1.為響應國家“節(jié)約糧食”的號召,某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食,并在用餐時積極踐行“光盤行動”,則不同的選取方法有 ()A.48種 B.36種 C.24種 D.12種【解析】選B.由題意可知,分三步完成:第一步,從2種主食中任選一種有2種選法;第二步,從3種素菜中任選一種有3種選法;第三步,從6種葷菜中任選一種有6種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有2×3×6=36種不同的選取方法.2.一植物園的參觀路徑如圖所示,若要全部參觀并且路線不重復,則不同的參觀路線共有 ()A.6種 B.8種 C.36種 D.48種【解析】選D.如圖所示,由題意知在A點可先參觀區(qū)域1,也可先參觀區(qū)域2或3,選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀,也可以按順時針參觀,所以第一步可以從6個路口任選一個,有6種結(jié)果,參觀完第一個區(qū)域后,選擇下一步走法,有4種結(jié)果,參觀完第二個區(qū)域,只剩下最后一個區(qū)域,有2種走法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有6×4×2=48(種)不同的參觀路線.【加固訓練】某校舉辦文藝匯演,原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序,又有3個新節(jié)目需要加進去,不改變原來節(jié)目的順序,則新節(jié)目單的排法種數(shù)為 ()A.165 B.286 C.990 D.1716【解析】選D.第一步:10個節(jié)目空出11個位置,加入1個新來的節(jié)目,所以加入一個新節(jié)目有11種方法;第二步:從排好的11個節(jié)目空出的12個位置中,加入第2個新節(jié)目,有12種方法;第三步:從排好的12個節(jié)目空出的13個位置中,加入第3個新節(jié)目,有13種方法.所以由分步乘法計數(shù)原理得,加入3個新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有11×12×13=1716(種).學習任務三兩類計數(shù)原理的簡單綜合問題(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例3】(1)(2023·佛山高二檢測)立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃里有草莓、蘋果、杧果3種水果.李老師的果籃里有蘋果、櫻桃、香蕉、獼猴桃4種水果.小華可以在兩位老師的果籃里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有 ()A.6種 B.7種 C.11種 D.12種【解析】選C.分兩種情況:①小華拿到的水果里沒有蘋果,則在王老師的果籃里有2種選法,在李老師的果籃里有3種選法,共有2×3=6種選法;②小華拿到的水果里有蘋果,再分蘋果來自王老師還是李老師的果籃,共有1×3+2×1=5種選法.由分類加法計數(shù)原理知,共有6+5=11種選法.(2)某公園休息處東面有8個空閑的凳子,西面有6個空閑的凳子,小明與爸爸來這里休息.①若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐),有幾種坐法?②若小明與爸爸分別就坐,有多少種坐法?【解析】①小明爸爸選凳子可以分兩類:第一類:選東面的空閑凳子,有8種坐法;第二類:選西面的空閑凳子,有6種坐法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,小明爸爸共有8+6=14(種)坐法.②小明與爸爸分別就坐,可以分兩步完成:第一步,小明先就坐,從東西兩面共14個凳子中選一個坐下,共有14種坐法;(小明坐下后,空閑凳子數(shù)變成13)第二步,小明爸爸再就坐,從東西兩面共13個空閑凳子中選一個坐下,共13種坐法.由分步乘法計數(shù)原理,小明與爸爸分別就坐共有14×13=182(種)坐法.【思維提升】利用兩個計數(shù)原理的解題策略(1)在用兩個計數(shù)原理處理問題時,首先要分清是“分類”還是“分步”,其次要清楚“分類”或“分步”的具體標準,在“分類”時要遵循“不重”“不漏”的原則,在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的程序,注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.(2)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.【即學即練】1.在5名乒乓球隊員中,有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員參加團體比賽,則入選的3名隊員中至少有1名老隊員的選法有________種.(用數(shù)字作答)

【解析】分為兩類:第一類是2名老隊員、1名新隊員,有3種選法;第二類是2名新隊員、1名老隊員,有2×3=6種選法,即共有3+6=9種不同的選法.答案:92.現(xiàn)有3名醫(yī)生、5名護士、2名麻醉師.(1)從中選派1名去參