線性代數(shù)教案(正式打印版)

第頁(yè)第（1）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編教學(xué)目的：熟練掌握2階,3階行列式的計(jì)算；掌握逆序數(shù)的定義,并會(huì)計(jì)算；掌握階行列式的定義；教學(xué)重點(diǎn)：逆序數(shù)的計(jì)算；3.教學(xué)難點(diǎn)：逆序數(shù)的計(jì)算.1.教學(xué)內(nèi)容：二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；階行列式的定義2.時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3.教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第一節(jié)二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設(shè)二元線性方程組用消元法,當(dāng)時(shí),解得令,稱(chēng)為二階行列式,則如果將D中第一列的元素,換成常數(shù)項(xiàng),,則可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。同理將中第二列的元素a12,a22換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2,可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫(xiě)為其中解線性方程組同樣,在解三元一次方程組時(shí),要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義設(shè)三元線性方程組用消元法解得定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表記,稱(chēng)為三階行列式,則三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和,也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào),從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào),即例2.計(jì)算三階行列式.(-14)例3.求解方程（）例4.解線性方程組解先計(jì)算系數(shù)行列式再計(jì)算,,得,,第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)引例：用1、2、3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù)？一、全排列把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱(chēng)排列）.可將個(gè)不同元素按進(jìn)行編號(hào),則個(gè)不同元素的全排列可看成這個(gè)自然數(shù)的全排列.個(gè)不同元素的全排列共有種.二、逆序及逆序數(shù)逆序的定義：取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個(gè)元素的次序及標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個(gè)元素的次序相反時(shí),則稱(chēng)有一個(gè)逆序.通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即的全排列中取為標(biāo)準(zhǔn)排列.逆序數(shù)的定義：一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列.例1:討論的全排列.全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)為的一個(gè)全排列,則其逆序數(shù)為.其中為排在前,且比大的數(shù)的個(gè)數(shù).例2：求排列的逆序數(shù).解：(對(duì)于逆序數(shù)的計(jì)算介紹另一種算法)第三節(jié)階行列式的定義下面可用全排列的方式改寫(xiě)二階,三階行列式.二階行列式.其中：①是的全排列,②是的逆序數(shù),③是對(duì)所有的全排列求和.三階行列式其中:①是的全排列,②是的逆序數(shù),③是對(duì)所有的全排列求和.其中:①是的全排列,②是的逆序數(shù),③是對(duì)所有的全排列求和.例1.計(jì)算對(duì)角行列式:例2.證明對(duì)角行列式（其對(duì)角線上的元素是,未寫(xiě)出的元素都為0）,證明:按定義式例3.證明下三角行列式.證明:按定義式得.以上,階行列式的定義式,是利用行列式的第一行元素來(lái)定義行列式的,這個(gè)式子通常稱(chēng)為行列式按第一行元素的展開(kāi)式.回顧和小結(jié)小結(jié)：1.二三階行列式的定義；2.全排列及其逆序數(shù)；3.階行列式的定義。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.計(jì)算三階行列式2.求排列的逆序數(shù).作業(yè)題：習(xí)題一：第1（1,3）、2（2,4,6）實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了二、三階行列式和全排列及的定義概念,會(huì)計(jì)算二、三階行列式；2.對(duì)其逆序數(shù)等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（2）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編教學(xué)目的：掌握對(duì)換的概念；掌握階行列式的性質(zhì)，會(huì)利用階行列式的性質(zhì)計(jì)算階行列式的值；教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容：對(duì)換；行列式的性質(zhì)；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第四節(jié)

對(duì)換對(duì)換的定義：在排列中,將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào),其余元素不動(dòng),這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào),叫做相鄰對(duì)換．例：——.定理1

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換,排列改變奇偶性.推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明：由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立定理2

：階行列式為：其中為的逆序數(shù).（以4階行列式為例,對(duì)證明過(guò)程作以說(shuō)明）（補(bǔ)充）定理3階行列式也可定義為其中和是兩個(gè)級(jí)排列,為行標(biāo)排列逆序數(shù)及列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.練習(xí)：試判斷和是否都是六階行列式中的項(xiàng).第五節(jié)

行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式的定義記=()行列式稱(chēng)為行列式的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：

行列式及它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行及列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立，反之亦然.如:以r表示第i行，表示第j列.交換兩行記為,交換i,j兩列記作.性質(zhì)2：

行列式互換兩行（列），行列式變號(hào).

推論：

行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零.性質(zhì)3：

行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù),等于用數(shù)乘以該行列式.

推論：

行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外.性質(zhì)4：

行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零.性質(zhì)5：

若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.即若則+.性質(zhì)6：

把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變.二、階行列式的計(jì)算：例1.計(jì)算.解：.例2..(推廣至階，總結(jié)一般方法)例3.證明：.證明：左端.例4.計(jì)算階行列式.(利用遞推法計(jì)算)例5.，證明：.回顧和小結(jié)小結(jié)：對(duì)換和階行列式的性質(zhì)及計(jì)算1.對(duì)換的定義及兩個(gè)定理;2.階行列式的性質(zhì)及計(jì)算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.把排列54132作一次對(duì)換變?yōu)?4135,問(wèn)相當(dāng)于作幾次相鄰對(duì)換？把排列12345作偶數(shù)次對(duì)換后得到的新排列是奇排列還是偶排列？2.計(jì)算：.作業(yè)題：習(xí)題一：第3，4（2，4）,5(2,4,5)實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員掌握了階行列式的定義和對(duì)換的概念；2.對(duì)利用階行列式的定義和對(duì)換等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（3）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編；教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開(kāi)；教學(xué)重點(diǎn)：行列式按行（列）展開(kāi)；教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行（列）展開(kāi).教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開(kāi)；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第六節(jié)

行列式按行（列）展開(kāi)定義在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的階行列式，稱(chēng)為的余子式，記為；而稱(chēng)為的代數(shù)余子式.引理如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即：.則：.證先證簡(jiǎn)單情形：再證一般情形：定理

行列式等于它的任意一行（列）的各元素及對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即按行：按列：證：（此定理稱(chēng)為行列式按行（列）展開(kāi)定理）例1

：.解:

例2:解:.從而解得.例3．證明范德蒙行列式.其中，記號(hào)“”表示全體同類(lèi)因子的乘積.證用歸納法因?yàn)樗?，?dāng)n=2時(shí)，（4）式成立.現(xiàn)設(shè)（4）式對(duì)時(shí)成立，要證對(duì)時(shí)也成立.為此，設(shè)法把降階；從第行開(kāi)始，后行減去前行的倍，有（按第一列展開(kāi)，并提出因子）階范德蒙行列式=定理的推論

行列式一行（列）的各元素及另一行（列）對(duì)應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即按列：結(jié)合定理及推論，得，其中例4.計(jì)算行列式的值?；仡櫤托〗Y(jié)小結(jié)：行列式按行（列）展開(kāi)。1.余子式和代數(shù)余子式的概念;2.行列式按行（列）展開(kāi);復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：設(shè):求第一行各元素的代數(shù)余子式之和作業(yè)題：習(xí)題一:第7（2，3，5，6）實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了余子式和代數(shù)余子式的概念，掌握行列式按行（列）展開(kāi)；2.對(duì)利用行列式按行（列）展開(kāi)的方法計(jì)算行列式等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（4）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第七節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編教學(xué)目的：了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會(huì)利用克拉默法則求解含有個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組的解；教學(xué)重點(diǎn)：克拉默法則的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：克拉默法則的應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容：克拉默法則；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第七節(jié)

克拉默法則含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)方程的線性方程組（1）及二、三元線性方程組相類(lèi)似

,它的解可以用階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零

,即

,則方程組(1)有且僅有一組解：

,

,…

,(2)其中是把系數(shù)行列式中的第列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替

,而其余列不變所得到的階行列式.(證明在第二章)當(dāng)全為零時(shí),即稱(chēng)之為齊次線性方程組.顯然

,齊次線性方程組必定有解(）.根據(jù)克拉默法則,有1．齊次線性方程組的系數(shù)行列式時(shí)

,則它只有零解（沒(méi)有非零解）2．反之,齊次線性方程組有非零解

,則它的系數(shù)行列式.例1．求解線性方程組解:系數(shù)行列式同樣可以計(jì)算

,

,

,所以,

,

,.注意：1.克萊姆法則的條件：個(gè)未知數(shù)

,個(gè)方程

,且2.用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。3.克萊姆法則具有重要的理論意義。4.克萊姆法則說(shuō)明線性方程組的解及它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的依存關(guān)系.例2.用克拉默法則解方程組例3.已知齊次線性方程組有非零解

,問(wèn)應(yīng)取何值？解系數(shù)行列式由：

,得回顧和小結(jié)小結(jié)：克拉默法則.1.內(nèi)容;2.應(yīng)用.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何?作業(yè)題：習(xí)題一第8（2）、9（2

,4）實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了解克拉默法則的內(nèi)容

,了解克拉默法則的證明

,會(huì)利用克拉默法則求解含有個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組的解；2.對(duì)利用克拉默法則等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（5）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第二章第一、二節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算；2.教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算；3.教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算。1.教學(xué)內(nèi)容：矩陣；矩陣的運(yùn)算；2.時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3.教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示?；緝?nèi)容備注矩陣一、矩陣的定義

稱(chēng)行、列的數(shù)表為矩陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)為矩陣；表示為或簡(jiǎn)記為,或或；其中表示中第行，第列的元素。

其中行列式為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個(gè)數(shù)；而矩陣是個(gè)數(shù)的整體,不對(duì)這些數(shù)作運(yùn)算。例如，公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表,學(xué)生成績(jī)登記表等,都可寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣。設(shè)，都是矩陣，當(dāng)

則稱(chēng)矩陣及相等,記成。二、特殊形式階方陣：矩陣行矩陣：矩陣（以后又可叫做行向量），記為列矩陣：矩陣（以后又可叫做列向量），記為零矩陣：所有元素為的矩陣,記為對(duì)角陣：對(duì)角線元素為,其余元素為的方陣，記為單位陣：對(duì)角線元素為1，其余元素為0的方陣，記為三、線性變換的系數(shù)矩陣線性變換的定義：設(shè)變量能用變量線性表示，即這里為常數(shù)。這種從變量到變量的變換稱(chēng)為線性變換。線性變換由個(gè)元函數(shù)組成，每個(gè)函數(shù)都是變量的一次冪，故而稱(chēng)之為線性變換。上式的系數(shù)可構(gòu)成一個(gè)矩陣稱(chēng)之為線性變換的系數(shù)矩陣。線性變換和系數(shù)矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。如,直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換（變量到變量的變換）的系數(shù)矩陣為.恒等變換的系數(shù)矩陣為例.同樣，齊次線性方程組及系數(shù)矩陣，也是一一對(duì)應(yīng)的.非齊次線性方程組及增廣矩陣也是一一對(duì)應(yīng)的。矩陣的運(yùn)算一、加法設(shè)，,都是矩陣,則加法定義為顯然,①，②二、數(shù)乘

設(shè)是數(shù),是矩陣,則數(shù)乘定義為

顯然①，②，③三、乘法乘法運(yùn)算比較復(fù)雜,首先看一個(gè)例子設(shè)變量到變量的線性變換為變量到變量的線性變換為那么,變量到變量的線性變換應(yīng)為即定義矩陣和的乘積為按以上方式定義的乘法具有實(shí)際意義.由此推廣得到一般定義

設(shè)，,則乘法定義為其中注：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個(gè)矩陣的第行元素及后一個(gè)矩陣的第行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。例：設(shè),，則例:設(shè)，，求及。解：，由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿足交換律）（2），，但卻有。一個(gè)必須注意的問(wèn)題：1．若，,,則成立,當(dāng)時(shí),不成立；2．即使，,則是階方陣,而是階方陣；3.如果,都是階方陣,例如，，則，而綜上所述,一般（即矩陣乘法不滿足交換率）。下列性質(zhì)顯然成立：，②，,幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果：1.；2.；3.若為矩陣,是階單位陣,則;若是階單位陣,則；4.線性變換的矩陣表示：設(shè),,,,則5．線性方程組的矩陣表示：,,, 則矩陣的冪:.例.證明證明用歸納法：時(shí),顯然成立,假定時(shí)成立,則時(shí)從而結(jié)論成立.由于是直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角度變換的系數(shù)矩陣,故而是旋轉(zhuǎn)了角度變換的系數(shù)矩陣.四、轉(zhuǎn)置設(shè)，記則稱(chēng)是的轉(zhuǎn)置矩陣。顯然，，②，③，④。對(duì)稱(chēng)矩陣的定義:若矩陣滿足（即）,則稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)陣?yán)?設(shè)是矩陣,證明是階對(duì)稱(chēng)陣,是階對(duì)稱(chēng)陣.例.設(shè),且,為階單位陣,,證明:①是對(duì)稱(chēng)陣，②.證明，故是對(duì)稱(chēng)陣。五、方陣的行列式為階方陣，其元素構(gòu)成的階行列式稱(chēng)為方陣的行列式,記為或。顯然，，②，③。例.設(shè)記，其中是的代數(shù)余子式,稱(chēng)為的伴隨陣.證明：.證明設(shè)設(shè)例.設(shè)為階實(shí)方陣,且,求.解：注意到由，得，由于,故.六、共軛矩陣為復(fù)矩陣,為的共軛復(fù)數(shù),則稱(chēng)為的共軛矩陣.顯然,,②,③回顧和小結(jié)小結(jié)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算：1.矩陣的概念;2.矩陣的運(yùn)算;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1.矩陣及行列式的有何區(qū)別?2.設(shè)及為階方陣，問(wèn)等式成立的充要條件是什么?作業(yè)題：習(xí)題二第2、3、4（2，3，5）、7實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)使學(xué)員理解矩陣的概念,掌握了矩陣的運(yùn)算；2.對(duì)利用矩陣的運(yùn)算法則的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（6）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第二章第三節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》；3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。教學(xué)目的：理解逆矩陣的概念；掌握逆矩陣的性質(zhì)和計(jì)算方法；教學(xué)重點(diǎn)：逆矩陣概念和計(jì)算；3.教學(xué)難點(diǎn)：逆矩陣概念和計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容：逆矩陣；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示?；緝?nèi)容備注第三節(jié)逆矩陣一、逆陣的定義引入：設(shè)給定一個(gè)線性變換可表示為矩陣方程（1）其中，，,由克萊姆法則知,若,則(1)有唯一解。如果存在階方陣,使得,則(1)的解可用矩陣乘積表出：（2）稱(chēng)為矩陣方程(2)的解。定義設(shè)為階方陣,若存在一個(gè)階方陣，使得,則稱(chēng)方陣可逆,并稱(chēng)方陣為的逆矩陣,記作，若,則性質(zhì)1若存在,則必唯一.證明設(shè)、都是的逆陣，則有（唯一）.性質(zhì)2若可逆，則也可逆，且證明可逆,,從而也可逆,且。性質(zhì)3若可逆,則可逆,且證明從而，于是性質(zhì)4若同階方陣、都可逆，則也可逆，且證明所以可逆,且二、逆陣存在的條件及逆陣的求法定義3.由的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的階方陣,記作,即稱(chēng)為的伴隨矩陣.例1.設(shè),求解:因?yàn)?，?，，,，，所以定理方陣可逆且證明必要性：可逆,即有存在,使得，兩邊取行列式得故充分性：由行列式的性質(zhì)7和Laplace定理知于是因?yàn)?，故有從而推論設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使得，(或)，則。證明：，，故存在。于是注：求時(shí)，只需要驗(yàn)算，計(jì)算量減半。例2.判斷下列方陣,是否可逆?若可逆，求其逆陣。解：，，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩陣法解線性方程組在第一節(jié)中，線性方程組可表示為矩陣方程，若，則，得到的解。解線性方程組解：其矩陣式為因,所以所以其解為求解矩陣方程，其中，，.解：易知，，則回顧和小結(jié)小結(jié)：1．1．逆矩陣的概念2．2．矩陣可逆的充分必要條件3．利用伴隨矩陣求逆矩陣復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：試分析以下給出的解答的錯(cuò)誤,并給出正確的解答.已知，求錯(cuò)誤解法:由于,所以存在故有作業(yè)題：習(xí)題11-1第3（1,3）、4（2,4）實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解逆矩陣的概念和矩陣可逆的充分必要條件,會(huì)利用伴隨矩陣求逆矩陣；2.對(duì)利用伴隨矩陣求逆矩陣等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng)。第（7）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第二章第四節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》；3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：掌握矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)和方法；2.教學(xué)重點(diǎn)：矩陣分塊；3.教學(xué)難點(diǎn)：矩陣分塊的方法。教學(xué)內(nèi)容：矩陣分塊法；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示?；緝?nèi)容備注第四節(jié)

矩陣分塊法引例：設(shè)可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣：，，，,則。矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個(gè)小矩陣。矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)：1．加法：設(shè)，則.2．?dāng)?shù)乘：設(shè)，是數(shù)，則.3．乘法：設(shè)，，則其中，4．轉(zhuǎn)置：設(shè)，則5．對(duì)角分塊的性質(zhì)：

設(shè)，其中均為方陣，則。

若可逆，則例:

，求。解：設(shè)，，則。，，則例設(shè)，為可逆方陣,求。解設(shè)，則由得，其中,按乘法規(guī)則，得解得：，，,故。例設(shè)，證明幾個(gè)矩陣分塊的應(yīng)用：1．矩陣按行分塊：設(shè)，記,則矩陣按列分塊：記則。2．線性方程組的表示：設(shè)若記，，則線性方程組可表示為。若記，則線性方程組可表示為或。若記，則線性方程組可表示為或。3．矩陣相乘的表示：設(shè)，，則設(shè)，，則，其中是矩陣，是,是4．對(duì)角陣及矩陣相乘：，?；仡櫤托〗Y(jié)小結(jié)：矩陣分塊法1．運(yùn)算性質(zhì)；2．方法;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：設(shè)其中都是可逆矩陣。證明可逆,并求.作業(yè)題：習(xí)題二第26、29、30。實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員掌握矩陣分塊法的運(yùn)算性質(zhì)和方法；2.對(duì)矩陣分塊法的應(yīng)用方面有待加強(qiáng).第（9）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第三章第3節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：掌握矩陣秩的定義,會(huì)求矩陣的秩.2.教學(xué)重點(diǎn)：求矩陣的秩；3.教學(xué)難點(diǎn)：求矩陣的秩教學(xué)內(nèi)容：矩陣的秩；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注矩陣的秩定義1.在矩陣中任取行列,位于這些行列交叉處的個(gè)元素,不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫降碾A行列式,稱(chēng)為矩陣的階子式.矩陣A的k階子式共個(gè).定義2如果在矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式，且所有的階子式都等于,則稱(chēng)D為的一個(gè)最高階非零子式.數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，矩陣的秩記成.零矩陣的秩規(guī)定為0.注解:1.規(guī)定零矩陣的秩規(guī)定為0.2.若稱(chēng)為滿秩矩陣.3.若稱(chēng)為降秩矩陣.4..例4.求矩陣和的秩,其中,問(wèn)題：經(jīng)過(guò)初等變換矩陣的秩變嗎？定理若則.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例5.設(shè)求矩陣的秩,并求的一個(gè)最高階非零子式.例6.設(shè),求矩陣及矩陣的秩.例7.設(shè)已知矩陣的秩的性質(zhì)(1).(2).;(3).若則(4).若可逆,則.(5).(6)..(7).(8).若則例8.設(shè)為階矩陣,證明證明因由性質(zhì)(6),有而所以求秩方法：用初等變換把矩陣化成行階梯形矩陣，矩陣的秩=此行階梯形矩陣的秩（據(jù)定理1）．行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數(shù)（定義2）滿秩陣課堂練習(xí)題回顧和小結(jié)1.矩陣秩的定義；2.利用初等行變換求矩陣的秩復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：矩陣的階子式共有多少個(gè)？2.作業(yè)題:P798，9，11實(shí)施情況及分析通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員初步掌握了矩陣秩的定義,會(huì)利用初等變換求小型矩陣的秩.對(duì)求矩陣的秩的運(yùn)算速度、準(zhǔn)確性有待加強(qiáng)。第（10）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第三章第4節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：求解一般線性方程組的方法；2.教學(xué)重點(diǎn)：線性方程組的求解方法、步驟；3.教學(xué)難點(diǎn)：線性方程組的求解。1.教學(xué)內(nèi)容：線性方程組的解2.時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3.教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注線性方程組的解線性方程組稱(chēng)為元齊次線性方程組.記稱(chēng)為方程組的系數(shù)矩陣．于是，這個(gè)齊次方程組可以記為定理2元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩.證明必要性設(shè)方程組有非零解.用反證法來(lái)證明.假設(shè)，那么在中應(yīng)有一個(gè)階子式.根據(jù)Cramer法則，所對(duì)應(yīng)的個(gè)方程構(gòu)成的齊次線性方程組只有零解，從而原方程組也只有零解，矛盾.故.充分性設(shè),對(duì)施行初等行變換得到行階梯形矩陣.那么只含個(gè)非零行，不妨設(shè)為于是齊次線性方程組及同解.把它改寫(xiě)成這個(gè)方程組有個(gè)自由未知量,因此有非零解.故有非零解.關(guān)于齊次線性方程組的結(jié)論方程組僅有零解的充分必要條件是方程組有非零解的充分必要條件是當(dāng)齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)時(shí)，必有這時(shí)齊次線性方程組一定有非零解.例1.三元齊次線性方程組是否有非零解？解:由可知，所以此齊次線性方程組有非零解.有非零解.解：用初等行變換化系數(shù)矩陣可知，.齊次線性方程組有非零解.例3．求解下列齊次線性方程組(1)(2)解：(1)可得,而,故方程組只有零解:(2)可得,而,故方程組有非零解,通解中含有個(gè)任意常數(shù).原方程組的同解方程組為取為自由未知量(一般取行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的第一個(gè)非零元對(duì)應(yīng)的未知量為非自由的),令,則方程組的全部解(通解)為(為任意常數(shù))或?qū)懗?向量)形式.(為任意常數(shù))齊次方程組求解方法:用矩陣初等行變換將系數(shù)矩陣化成行階梯形矩陣,根據(jù)系數(shù)矩陣的秩可判斷原方程組是否有非零解.若有非零解,繼續(xù)將行階梯形化為行最簡(jiǎn)形矩陣,則可求出方程組的全部解(通解).元非齊次線性方程組記稱(chēng)為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣,稱(chēng)為增廣矩陣.于是，這個(gè)非齊次方程組可以記為其中定理3元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是,其中為非齊次線性方程組的增廣矩陣.證明必要性設(shè)非齊次線性方程組有解，要證.用反證法,假設(shè)，則可化成行階梯形矩陣于是得到及原方程組同解的方程組：因?yàn)樗忻芊匠?，所以這個(gè)方程組無(wú)解，這及原方程組有解矛盾.故.充分性設(shè).用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形矩陣，則中含個(gè)非零行.不妨設(shè)為對(duì)應(yīng)的方程組為這個(gè)方程組有解.它及原方程組同解，所以非齊次線性方程組有解.由上述證明還可得，元非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是.關(guān)于非齊次線性方程組的結(jié)論方程組無(wú)解充分必要條件是)方程組有唯一解的充分必要條件是)方程組有無(wú)窮多組解的充分必要條件是),且在任一解中含有個(gè)任意常數(shù).3.判斷下列非齊次線性方程組是否有解解:用初等行變換化其增廣矩陣由此可知，,，即，方程組無(wú)解.例4.取何值時(shí)，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多個(gè)解？解：用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形矩陣，由此可知：（1）當(dāng)時(shí)，,方程組有唯一解；（2）當(dāng)，時(shí)，，方程組無(wú)解；（3）當(dāng),時(shí)，,方程組有無(wú)窮多個(gè)解。例5．求解下列非齊次線性方程組(1)(2)(3)解：（1）可得,而,故方程組有解,且解唯一:,,.(2)可得,,故方程組無(wú)解.(3)可得,而,故方程組有解,且有無(wú)窮多解,通解中含有個(gè)任意常數(shù).及原方程組同解的方程組為取為自由未知量(一般取行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的第一個(gè)非零元對(duì)應(yīng)的未知量為非自由的),令,則方程組的全部解(通解)為(為任意常數(shù))或?qū)懗?向量)形式.(為任意常數(shù))例6．取何值時(shí),線性方程組(1)有唯一解?(2)無(wú)解?(3)有無(wú)窮多解?有解時(shí)求出全部解.解：方程組的系數(shù)矩陣及增廣矩陣分別為,.(1)當(dāng),即當(dāng)時(shí),方程組有唯一解.,所以，當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解.由于,根據(jù)克拉默法則,得到唯一解.（2）當(dāng)時(shí),可得,,故方程組無(wú)解.(3)當(dāng)時(shí),可得,故方程組有無(wú)窮多解,通解中含有個(gè)任意常數(shù).令,則方程組通解為或.(為任意常數(shù))回顧和小結(jié)一、線性方程組解的存在及判定定理：1、齊次2、非齊次二、求線性方程組的解的步驟復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：P8118，19，202.作業(yè)題:P8012（3），13（1），14，16實(shí)施情況及分析通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員初步掌握了利用初等變換判斷求解線性方程組的方法；利用初等變換判斷求解線性方程組的方法還需要通過(guò)多做題來(lái)掌握。第（11）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第四章第1節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：了解n維向量的基本概念，理解線性組合、線性表示、向量組等價(jià)的定義；2.教學(xué)重點(diǎn)：線性表示和向量組等價(jià)的定義、定理；3.教學(xué)難點(diǎn)：向量組線性表示、向量組等價(jià)的證明。1.教學(xué)內(nèi)容：向量組及其線性組合；2.時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3.教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第一節(jié)向量組及其線性組合一、維向量定義1個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱(chēng)為維向量這個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的個(gè)分量第個(gè)數(shù)稱(chēng)為第個(gè)分量分量全為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量分量為復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為復(fù)向量維向量可寫(xiě)成一行也可寫(xiě)成一列按第二章中的規(guī)定分別稱(chēng)為行向量和列向量也就是行矩陣和列矩陣并規(guī)定行向量及列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算因此維列向量及維行向量總看作是兩個(gè)不同的向量本書(shū)中列向量用黑體小寫(xiě)字母等表示行向量則用等表示所討論的向量在沒(méi)有指明是行向量還是列向量時(shí)都當(dāng)作列向量幾何中“空間”通常是作為點(diǎn)的集合即作為“空間”的元素是點(diǎn)這樣的空間叫做點(diǎn)空間我們把3維向量的全體所組成的集合叫做三維向量空間在點(diǎn)空間取定坐標(biāo)系以后空間中的點(diǎn)及3維向量空之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系因此向量空間可以類(lèi)比為取定了坐標(biāo)系的點(diǎn)空間在討論向量的運(yùn)算時(shí)我們把向量看作有向線段在討論向量集時(shí)則把向量看作以為向徑的點(diǎn)從而把點(diǎn)的軌跡作為向量集的圖形例如點(diǎn)集是一個(gè)平面(不全為)于是向量集也叫做向量空間中的平面并把作為它的圖形類(lèi)似地n維向量的全體所組成的集合叫做維向量空間維向量的集合叫做維向量空間中的維超平面二、向量組的概念若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組矩陣及向量組的對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣的全體列向量是一個(gè)含個(gè)m維列向量的向量組它的全體行向量是一個(gè)含m個(gè)維行向量的向量組個(gè)維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣;個(gè)維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣又如線性方程的全體解當(dāng)時(shí)是一個(gè)含無(wú)限多個(gè)維列向量的向量組三、向量組的線性組合及線性表示定義2給定向量組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為向量組的一個(gè)線性組合稱(chēng)為這線性組合的系數(shù)給定向量組和向量，如果存在一組數(shù)使則向量是向量組的線性組合這時(shí)稱(chēng)向量能由向量組線性表示向量能由向量組線性表示，也就是方程組有解定理1向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩即四、向量組的等價(jià)性定義3設(shè)有兩個(gè)向量組及若B組中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示則稱(chēng)向量組能由向量組線性表示若向量組及向量組能相互表示則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)把向量組和所構(gòu)成的矩陣依次記作和B組能由組線性表示即對(duì)每個(gè)向量存在數(shù)使從而這里矩陣稱(chēng)為這一線性表示的系數(shù)矩陣由此可知若則矩陣的列向量組能由矩陣的列向量組線性表示為這一表示的系數(shù)矩陣設(shè)則.同時(shí)的行向量組能由的行向量組線性表示為這一表示的系矩陣設(shè)則設(shè)矩陣及行等價(jià)即矩陣經(jīng)初等行變換變成矩陣則的每個(gè)行向量都是的行向量組的線性組合即的行向量組能由的行向量組線性表示由于初等變換可逆知矩陣亦可經(jīng)初等行變換變?yōu)閺亩男邢蛄拷M也能由的行向量組線性表示于是的行向量組及的行向量組等價(jià)類(lèi)似可知若矩陣及列等價(jià)則的列向量組及的列向量組等價(jià)向量組的線性組合、線性表示及等價(jià)等概念也可移用于線性方程組對(duì)方程組的各個(gè)方程作線性運(yùn)算所得到的一個(gè)方程就稱(chēng)為方程組的一個(gè)線性組合若方程組的每個(gè)方程都是方程組的線性組合就稱(chēng)方程組能由方程組線性表示這時(shí)方程組的解一定是方程組的解若方程組及方程組能相互線性表示就稱(chēng)這兩個(gè)方程組可互推可互推的線性方程組一定同解按定義3向量組能由向量組線性表示其涵義是存在矩陣Kml使也就是矩陣方程有解由上章定理7立即可得定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩即推論向量組及向量組等價(jià)的充分必要條件是其中和是向量組和所構(gòu)成的矩陣證明因?yàn)榻M和組能相互線性表示依定理2知它們等價(jià)的充分必要條件是且而即得充分必要條件為.例1．設(shè)，，，證明向量能由向量組線性表示并求出表示式解：根據(jù)定理1要證明矩陣及的秩相等為此把化成行最簡(jiǎn)形可見(jiàn)因此向量能由向量組線性表示由上列行最簡(jiǎn)形可得方程的通解為從而得表示式其中可任意取值例2．設(shè)，，，,證明向量組及向量組等價(jià)證明記根據(jù)定理2的推論只要證明,為此把矩陣化成行階梯形可見(jiàn),由于矩陣中有不等于的階子式故又于是知因此定理3設(shè)向量組能由向量組線性表示則證明記按定理的條件根據(jù)定理2有而因此前面我們把定理1及上章定理5對(duì)應(yīng)把定理2及上章定理7對(duì)應(yīng)而定理3可及上章定理8對(duì)應(yīng)事實(shí)上按定理3的條件知有矩陣,使從而根據(jù)上章定理8即有上述各定理之間的對(duì)應(yīng),其基礎(chǔ)是向量組及矩陣的對(duì)應(yīng),從而有下述對(duì)應(yīng):向量組能由向量組線性表示?有矩陣,使?方程有解.要掌握上述對(duì)應(yīng)關(guān)系,須注意兩個(gè)方面:一方面是把向量組的關(guān)系用矩陣及其運(yùn)算表達(dá)出來(lái),另一方面是給矩陣及其運(yùn)算以幾何解釋.例3.設(shè)維向量組構(gòu)成矩陣,階單位矩陣的列向量叫做維單位坐標(biāo)向量.證明:維單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是.證明根據(jù)定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是而又矩陣含n行知合起來(lái)有因此條件就是.本例用方程的語(yǔ)言可敘述為方程有解的充分必要條件是本例用矩陣的語(yǔ)言可敘述為對(duì)矩陣存在矩陣使的充分必要條件是對(duì)矩陣存在矩陣使的充分必要條件是顯然當(dāng)時(shí)便是的逆陣故上述結(jié)論可看作是逆矩陣概念的推廣給定向量組和向量,若存在數(shù)使則稱(chēng)向量能由向量組線性表示因?yàn)?，所以也就是說(shuō)非齊次線性方程組無(wú)解.就是說(shuō)非齊次線性方程組有解.一般地，向量能由向量組線性表示的充分必要條件是非齊次線性方程組有解.據(jù)第3章定理3，所以有定理1向量能由向量組線性表示的充要條件是,其中矩陣,.解：由此可知，,，即，因此向量不能由向量組線性表示.回顧和小結(jié)1.n維向量的基本概念2.線性組合、線性表示和向量組等價(jià)的定義復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：P1099，102.作業(yè)題:P1082，3，4，6，7實(shí)施情況及分析1.通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員理解了線性組合、線性表示以及向量組等價(jià)的定義；2.對(duì)相關(guān)概念的理解、準(zhǔn)確記憶還需課下加強(qiáng)。第（12）授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第四章第2、3節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第4版)同濟(jì)大學(xué)編；1.教學(xué)目的：理解向量組的線性相關(guān)、最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩的概念；2.教學(xué)重點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性的定義及判斷定理，最大無(wú)關(guān)組的求法；3.教學(xué)難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性的定義及判斷定理。教學(xué)內(nèi)容：向量組線性相關(guān)性，向量組的秩；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定義給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使則稱(chēng)向量組是線性相關(guān)的否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)說(shuō)向量組線性相關(guān)通常是指的情形但定義4也適用于的情形當(dāng)時(shí)向量組只含一個(gè)向量對(duì)于只含一個(gè)向量的向量組當(dāng)時(shí)是線性相關(guān)的當(dāng)時(shí)是線性無(wú)關(guān)的對(duì)于含個(gè)向量的向量組它線性相關(guān)的充分必要條件是的分量對(duì)應(yīng)成比例其幾何意義是兩個(gè)向量共線個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面向量組線性相關(guān)也就是在向量組中至少有一個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示這是因?yàn)槿绻蛄拷M線性相關(guān)則有不全為0的數(shù)使因?yàn)椴蝗珵?不妨設(shè)于是便有即能由線性表示如果向量組中有某個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示不妨設(shè)能由線性表示即有使于是因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不全為0所以向量組線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)及線性無(wú)關(guān)的概念也可移用于線性方程組當(dāng)方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí)這個(gè)方程就是多余的這時(shí)稱(chēng)方程組(各個(gè)方程)是線性相關(guān)的當(dāng)方程組中沒(méi)有多余方程就稱(chēng)該方程組(各個(gè)方程)是線性無(wú)關(guān)(或線性獨(dú)立)向量組構(gòu)成矩陣向量組線性相關(guān)就是齊次線性方程組即有非零解定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是.例1.試討論維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性解:維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為是階單位矩陣由知即等于向量組中向量個(gè)數(shù)故由定理4知此向量組是線性無(wú)關(guān)的例2.已知,,,試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性解:對(duì)矩陣施行初等行變換變成行階梯形矩陣即可同時(shí)得出矩陣及的秩利用定理4即可得出結(jié)論可見(jiàn)故向量組線性相關(guān)同時(shí)可見(jiàn)故向量組線性無(wú)關(guān)例3．已知向量組線性無(wú)關(guān),，，,試證向量組線性無(wú)關(guān).證明一設(shè)有使,即亦即因?yàn)榫€性無(wú)關(guān),故有.由于此方程組的系數(shù)行列式,故方程組只有零解,所以向量組線性無(wú)關(guān).證明二把已知的三個(gè)向量等式寫(xiě)成一個(gè)矩陣等式,記作.設(shè)，將代入得。因?yàn)榫仃嚨牧邢蛄拷M線性無(wú)關(guān),所以可推知.又因,知方程只有零解所以矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān).證三把已知條件合寫(xiě)成,記作.因?yàn)椋赡?根據(jù)上章所述矩陣的性質(zhì)4知.因?yàn)榈牧邢蛄拷M線性無(wú)關(guān),根據(jù)定理4知,從而,定理4知的列向量線性無(wú)關(guān),即線性無(wú)關(guān).本例給出三種證法這三種證法都是常用的證明一的關(guān)鍵步驟是按定義4把證明向量線性無(wú)關(guān)轉(zhuǎn)化為證明齊次線性方程沒(méi)有非零解；證明二的證明過(guò)程及證明一相同只是在敘述時(shí)改用矩陣形式；證明三也采用矩陣形式并用了矩陣的秩的有關(guān)知識(shí)還用了定理4從而可以不涉及線性方程而直接證得結(jié)論線性相關(guān)是向量的一個(gè)重要性質(zhì)下而介紹及之有關(guān)的一些簡(jiǎn)單的結(jié)論定理5(1)若向量組線性相關(guān)則向量組也線性相關(guān)反之若向量組線性無(wú)關(guān)則向量組也線性無(wú)關(guān)(2)個(gè)維向量組成的向量組當(dāng)維數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān)特別地個(gè)維向量一定線性相關(guān)(3)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)而向量組線性相關(guān)則向量必能由向量組線性表示且表示式是唯一的證明這些結(jié)論都可利用定理4來(lái)證明記，有若向量組線性相關(guān)則根據(jù)定理4從而因此根據(jù)定理4知向量組線性相關(guān)結(jié)論(1)是對(duì)向量組增加1個(gè)向量而言的增加多個(gè)向量結(jié)論也仍然成立即設(shè)向量組是向量組的一部分(這時(shí)稱(chēng)組是組的部分組)于是結(jié)論(1)可一般地?cái)⑹鰹橐粋€(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組則該向量組線性相關(guān)特別地含零向量的向量組必線性相關(guān)一個(gè)向量組若線性無(wú)關(guān)則它的任何部分組都線性無(wú)關(guān)(2)個(gè)維向量構(gòu)成矩陣有若則故個(gè)向量線性相關(guān)(3)記，有因組線性無(wú)關(guān)有因組線性相關(guān)有所以即有由根據(jù)上章定理4知方程組有唯一解即向量能由向量組線性表示且表示式是唯一的例4.設(shè)向量組線性相關(guān)向量組線性無(wú)關(guān)證明(1)能由線性表示(2)不能由線性表示證明(1)因線性無(wú)關(guān)由定理5(1)知線性無(wú)關(guān)而線性相關(guān)由定理5(3)知能由線性表示(2)用反證法若能由線性表示由(1)知能由線性表示故能由線性表示及線性無(wú)關(guān)矛盾第三節(jié)向量組的秩一、最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩定義5設(shè)有向量組,如果在中能選出個(gè)向量滿足（1）向量組：線性無(wú)關(guān),（2）向量組中任意個(gè)向量（如果有個(gè)向量的話）都是線性相關(guān)的；那末稱(chēng)是向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組,簡(jiǎn)稱(chēng)最大無(wú)關(guān)組。最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組的秩,記為。只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組,規(guī)定它的秩為0。一般來(lái)說(shuō),向量組的最大無(wú)關(guān)組不是唯一的二、矩陣的秩及向量組秩的關(guān)系定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行量組的秩.證明設(shè)矩陣,且,并設(shè)階子式.據(jù)定理2可知,所在的個(gè)列向量線性無(wú)關(guān).又由于中所有的階子式都為0,再由定理2知,A中的任意個(gè)列向量都線性相關(guān).因此,所在的列是的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,所以的列向量組的秩等于.類(lèi)似的可證,矩陣的行向量組的秩也等于矩陣的秩.例5.求下列向量組的秩和它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組：解:組成矩陣,用初等行變換把變成行階梯形矩陣.知,所以,向量組的秩等于3.因?yàn)?向量組構(gòu)成的矩陣經(jīng)初等行變換可以變成~所以,向量組的秩為3,因此向量組線性無(wú)關(guān)。于是是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。三、最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義定義設(shè)有向量組：是向量組的一個(gè)部分組,且滿足（1）向量組線性無(wú)關(guān),（2）向量組中的任個(gè)向量都能由向量組線性表示；那末稱(chēng)是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。例6.設(shè)齊次線性方程組的全體解向量構(gòu)成的向量組為,求的秩。解:～～于是得同解方程組令得通解：記則于是即能由向量組線性表示。又因?yàn)榈乃膫€(gè)分量顯然不成比例,故線性無(wú)關(guān),從而是的最大無(wú)關(guān)組,。定理2向量組能由向量組線性表示的充要條件是定理若向量組能由向量組線性表示,則。例7.設(shè)向量組能由向量組線性表示,且它們的秩相等,證明向量組及向量組等價(jià)。例8.設(shè)矩陣求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示?；仡櫤托〗Y(jié)1.向量組的線性相關(guān)性定義；2.向量組的線性相關(guān)性定理；3.向量組的秩概念；4.向量組的秩的求法;復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：若則有沒(méi)有r階的余子式？2.作業(yè)題:P10913（1），14（2），15復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題1.通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)員們初步理解向量組的線性相關(guān)性及線性無(wú)關(guān)性的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)。了解向量組的相關(guān)性的判定定理、向量組的秩概念以及求法；2.對(duì)向量組的線性相關(guān)性的判定方法以及向量組的秩求法方面有待加強(qiáng)。第（13）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第四章第7節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。教學(xué)目的：掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會(huì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并會(huì)求解非齊次線性方程組；教學(xué)重點(diǎn)：求解齊次及非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；教學(xué)難點(diǎn):求解齊次及非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.教學(xué)內(nèi)容:線性方程組的解的結(jié)構(gòu)；時(shí)間安排:2小時(shí)；教學(xué)方法：講授;教學(xué)手段:板演及多媒體相結(jié)合?；緝?nèi)容備注第四節(jié)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)有元齊次線性方程組若是⑴的解，記稱(chēng)為方程組⑴的解向量.齊次方程組的解的性質(zhì)：性質(zhì)1若為（1）的兩個(gè)解（向量），則也是（1）的解.性質(zhì)2若為（1）的解（向量），為任意實(shí)數(shù)，則也是（1）的解.如果⑴的全體解向量所組成的集合記為，則是一個(gè)向量空間.稱(chēng)為齊次方程組⑴的解空間.齊次方程組⑴的解空間的一個(gè)基也稱(chēng)為齊次方程組⑴的一個(gè)基礎(chǔ)解系.具體說(shuō)，如果是⑴的一組解向量，且滿足[1]向量組線性無(wú)關(guān)；[2]齊次方程組⑴的每個(gè)解都可由線性表示；那么稱(chēng)為齊次方程組⑴的一個(gè)基礎(chǔ)解系.如果是齊次方程組⑴的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么⑴的所有解都可表為其中為任意實(shí)數(shù),稱(chēng)上式為齊次方程組⑴的通解.定理6元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)為，即⑴的基礎(chǔ)解系含個(gè)解，其中.證明設(shè)，用初等行變換化系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣,不妨令為于是得到及⑴同解的方程組：對(duì)自由未知量分別取值代入⑶的右端依次可得：于是得到⑶的個(gè)解:下面證明解向量組是⑶的一個(gè)基礎(chǔ)解系，從而它們也是⑴的一個(gè)基礎(chǔ)解系.首先，據(jù)定理3⑵可知，線性無(wú)關(guān).其次證明⑶的任意解都可由線性無(wú)關(guān).設(shè)是⑶的一個(gè)解.根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，向量也是⑶的一個(gè)解，由于及的后面的個(gè)分量對(duì)應(yīng)相等，因此即可由線性表示.這就證明了,是方程組（3），從而也是齊次方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以，⑴的基礎(chǔ)解系含個(gè)解.例1.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解.解:對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換,將其變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣,得于是得同解方程組令可得即得基礎(chǔ)解系：并得方程組的通解例2.設(shè)是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明也是這個(gè)方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,其中數(shù).證明根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，也是齊次方程組的兩個(gè)解．因?yàn)槭腔A(chǔ)解系，所以向量組線性無(wú)關(guān).因此向量組也線性無(wú)關(guān)，于是是此齊次方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解．因?yàn)榈幕A(chǔ)解系含有兩個(gè)解，因此它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解也是基礎(chǔ)解系.設(shè)非齊次線性方程組（4）的解也記為向量.非齊次線性方程組的解具有性質(zhì)：性質(zhì)3設(shè)都是（4）的解，則是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的解.性質(zhì)4設(shè)是（4）的解，是（5）的解，則是（4）的解.若是（4）的一個(gè)解，則（4）的任意一個(gè)解都可以表示為，其中是（5）的某個(gè)解.由此及性質(zhì)4可知，非齊次線性方程組（4）的通解為其中是（5）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是任意實(shí)數(shù).例3.求解方程組解:用初等行變換把增廣矩陣B變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形知，所以方程組有解，并得同解方程組取，即得方程組的一個(gè)解對(duì)應(yīng)的齊次方程組為，可得基礎(chǔ)解系方程組的通解為也就是也可以把方程組寫(xiě)成也就是得通解為例4.設(shè)線性方程組問(wèn)取何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解.解：用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形由此可知1.方程組有唯一解.2.方程組無(wú)解.3.方程組有無(wú)窮多個(gè)解.此時(shí)，有同解方程組此方程組得通解為回顧和小結(jié)小結(jié)：1.齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念.2.計(jì)算齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.3.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).4.求解非齊次線性方程組.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：P11021，23，24。作業(yè)題：P11022（1），（3），29，33實(shí)施情況及分析1.通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會(huì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.2.求解非齊次線性方程組的運(yùn)算能力還有待加強(qiáng)。第（14）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第四章第5節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。教學(xué)目的：了解向量空間，向量空間的基及維數(shù)的概念；掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；并會(huì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；教學(xué)重點(diǎn)：求解線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；教學(xué)難點(diǎn)：求解線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.教學(xué)內(nèi)容:向量空間；時(shí)間安排:2小時(shí)；教學(xué)方法：講授;教學(xué)手段:板演及多媒體相結(jié)合.基本內(nèi)容備注第五節(jié)向量空間定義6設(shè)是維向量的集合，如果集合非空，且對(duì)任意和任意實(shí)數(shù)，都有那么稱(chēng)集合為向量空間.例1.3維向量的全體是一個(gè)向量空間,由單個(gè)零向量組成的集合也是一個(gè)向量空間.例2.集合是一個(gè)向量空間.例3.集合不是向量空間.定義7設(shè)有向量空間及,若就稱(chēng)是的子空間.定義8設(shè)為向量空間，如果個(gè)向量且滿足線性無(wú)關(guān)；中任意向量都可由線性表示.那么，向量組就稱(chēng)為的一個(gè)基，稱(chēng)為向量空間的維數(shù)，并說(shuō)是維向量空間.例1中的維數(shù)為3，因?yàn)椋?，是的一個(gè)基.例2中V的維數(shù)為,因?yàn)槭撬囊粋€(gè)基.事實(shí)上，維向量空間中的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量就可以組成它的一個(gè)基.如果向量是向量空間的一個(gè)基,則例4.設(shè)，問(wèn)是否為向量空間？若是向量空間，試求出它的一個(gè)基和它的維數(shù).解：因?yàn)?，?duì)任意的和任意的，都有.所以，是向量空間.因?yàn)橄蛄烤€性無(wú)關(guān)，且每個(gè)，都可由表示為，，所以向量組是的一個(gè)基.是1維向量空間.回顧和小結(jié)小結(jié)：1.向量空間，向量空間的基及維數(shù)的概念.2.齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念.3.求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：向量組的秩及向量空間的基關(guān)系？作業(yè)題：P11236，39，40實(shí)施情況及分析1.通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員掌握了解向量空間以及向量空間的基及維數(shù)的概念；2.理解了齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；3.對(duì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法有了進(jìn)一步的提高。第（15）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第五章第1節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：掌握向量的內(nèi)積、向量長(zhǎng)的概念.掌握正交矩陣和正交變換的定義.了解規(guī)范正交向量組的概念，能夠運(yùn)用正交化公式將線性無(wú)關(guān)的向量組規(guī)范正交化；2.教學(xué)重點(diǎn)：用正交化公式將線性無(wú)關(guān)的向量組規(guī)范正交化；3.教學(xué)難點(diǎn)：用正交化公式將線性無(wú)關(guān)的向量組規(guī)范正交化.教學(xué)內(nèi)容：向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性；時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注預(yù)備知識(shí)：向量的內(nèi)積定義1設(shè)有維向量令稱(chēng)為向量及的內(nèi)積.易知,.內(nèi)積具有下列性質(zhì)：1.;2.；3.;4.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)時(shí).其中是為向量，為實(shí)數(shù).定義2非負(fù)實(shí)數(shù)稱(chēng)為維向量的長(zhǎng)度（范數(shù)）.向量的長(zhǎng)度具有性質(zhì)：1.2.3.長(zhǎng)為1的向量稱(chēng)為單位向量.若向量,則是單位向量.例1.都是3維單位向量.如果，那么稱(chēng)向量及正交.正交向量組:一組兩兩正交的非零向量.例2.試求一個(gè)非零向量及向量都正交.解：設(shè)所求的向量為那么它應(yīng)滿足由得，取向量即為所求.定理1正交向量組必線性無(wú)關(guān).證明設(shè)向量組是正交向量組,若有一組數(shù)使以左乘上式兩邊，得因?yàn)椋?，因此必?類(lèi)似的可證于是向量組線性無(wú)關(guān).例3.向量組線性無(wú)關(guān)，但不為正交向量組.規(guī)范正交向量組:由單位向量構(gòu)成的正交向量組.向量組為規(guī)范正交向量組，當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組及等價(jià).正交化：取單位化：于是，是規(guī)范正交向量組，且及等價(jià).例4.把向量組規(guī)范正交化.解：正交化：??；再單位化：取即為所求.例5.已知，求向量使為正交向量組.解：因?yàn)橄蛄慷技跋蛄空?，所以?duì)齊次方程組，取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系再把正交化即為所求.也就是取向量組是所求正交向量組.定義3設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基,如果向量組為規(guī)范正交向量組，則稱(chēng)是的一個(gè)規(guī)范正交基.定義4如果階矩陣滿足，那么稱(chēng)為正交矩陣.例6.都是正交矩陣.階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是的列（行）向量組是規(guī)范正交向量組.或者說(shuō),階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是的列（行）向量組構(gòu)成向量空間的一個(gè)規(guī)范正交基.設(shè)階矩陣,其中是的列向量組.為正交矩陣，即是亦記由此可見(jiàn)，為正交矩陣的充分必要條件是的列（行）向量組是規(guī)范正交向量組.變量及變量之間的關(guān)系式叫做從變量到變量的線性變換.線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣于是線性變換（＊）就可以記為定義5若為正交矩陣，則線性變換稱(chēng)為正交變換.正交變換具有下列性質(zhì)：(1)正交變換保持兩向量?jī)?nèi)積不變;(2)正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變(保距性);(3)正交變換保持向量的夾角不變(保角性);(4)正交變換把標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基.例7.及都為正交變換.若線性變換為正交變換，為任意兩個(gè)向量.那么這是因?yàn)樘貏e的，回顧和小結(jié)小結(jié)：1.向量的內(nèi)積、向量長(zhǎng)度、夾角的概念.2.正交矩陣和正交變換的定義.3.規(guī)范正交向量組的概念，施米特正交化公式4.線性無(wú)關(guān)的向量組的規(guī)范正交化.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：向量的正交、線性無(wú)關(guān)之間關(guān)系？作業(yè)題：P1381（2），2，3實(shí)施情況及分析1.通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員掌握了向量的內(nèi)積、向量長(zhǎng)度、夾角的概念；2.掌握了正交矩陣和正交變換的定義.3.了解規(guī)范正交向量組的概念，能夠運(yùn)用施米特正交化公式將線性無(wú)關(guān)的向量組規(guī)范正交化第（16）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第五章第2、3節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。教學(xué)目的：掌握特征值及特征向量的概念，計(jì)算特征值及特征向量的方法；掌握相似矩陣的概念、主要性質(zhì)及矩陣及對(duì)角矩陣相似的條件；教學(xué)重點(diǎn):計(jì)算特征值及特征向量的方法,矩陣及對(duì)角矩陣相似的條件；教學(xué)難點(diǎn):計(jì)算特征值及特征向量的方法,矩陣及對(duì)角矩陣相似的條件.教學(xué)內(nèi)容:方陣的特征值及特征向量，相似矩陣時(shí)間安排:2小時(shí)；教學(xué)方法：講授;教學(xué)手段:板演及多媒體相結(jié)合.授課內(nèi)容基本內(nèi)容備注第二節(jié)方陣的特征值及特征向量定義6設(shè)是階矩陣，如果有和維非零列向量使得那么數(shù)稱(chēng)為方陣的特征值，非零向量稱(chēng)為的對(duì)于特征值的特征向量.行列式是的次多項(xiàng)式，稱(chēng)為方陣的特征多項(xiàng)式.方程稱(chēng)為階矩陣的特征方程.(1)式也可寫(xiě)成于是，矩陣的特征值是它的特征方程的根，的特征向量是齊次線性方程組的非零解.求階方陣的特征值及特征向量的方法：1求出矩陣的特征多項(xiàng)式,即計(jì)算行列式2特征方程的解（根）就是的特征值.3解齊次線性方程組，它的非零解都是特征值的特征向量.例1．求矩陣的特征值和特征向量.解：的特征多項(xiàng)式為所以，的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由得基礎(chǔ)解系所以特征值的全部特征向量為，其中為任意非零數(shù).當(dāng)時(shí)，解方程組.由得基礎(chǔ)解系所以特征值的全部特征向量為，其中是任意非零數(shù).例2.求矩陣的特征值和特征向量.解:的特征多項(xiàng)式為所以，的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組(A-3E)x=0.由得基礎(chǔ)解系所以特征值的全部特征向量為，其中為任意非零數(shù).當(dāng)時(shí)，解方程組.由得基礎(chǔ)解系所以特征值的全部特征向量為，其中，不同時(shí)為零.例3.求矩陣的特征值及特征向量.解：得特征值當(dāng)時(shí),解方程，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于全部特征向量為當(dāng)時(shí),解方程，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為，其中，不同時(shí)為零.例4.如果矩陣則稱(chēng)是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設(shè)兩邊左乘矩陣,得由此可得因?yàn)樗杂械谩勺C明過(guò)程可得結(jié)論,若是的特征值,則是的特征值.進(jìn)而是的特征值定理2設(shè)是方陣的特征值，依次是及之對(duì)應(yīng)的特征向量,如果各不相等，那么線性無(wú)關(guān).證明對(duì)特征值的個(gè)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.由于特征向量是非零向量，所以，時(shí)定理成立.假設(shè)個(gè)不同的特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的，令依次為個(gè)不等的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.下面證明線性無(wú)關(guān).設(shè)有一組數(shù)使得成立.以乘等式（1）兩端，得以矩陣左乘式(1)兩端,得（3）式減（2）式得根據(jù)歸納法假設(shè)，線性無(wú)關(guān)，于是.但所以,.這時(shí)（1）式變成，.因?yàn)?，所以只?這就證明了線性無(wú)關(guān).歸納法完成，定理得證.例5.設(shè)是的特征值，依次是及之對(duì)應(yīng)的特征向量，若，那么向量組線性無(wú)關(guān)．證明設(shè)有一組數(shù)使得成立.以乘等式（1）兩端，得以矩陣左乘式(1)兩端,得（3）式減（2）式得因?yàn)?，所?這樣（1）式變成，.因?yàn)椋灾挥?即證明了線性無(wú)關(guān).例6.設(shè)是方陣的特征值，為任意常數(shù)，試證是的特征值．證明因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以有向量使，于是，．所以是的特征值．第三?jié)相似矩陣定義7設(shè)都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱(chēng)矩陣及相似，可逆矩陣稱(chēng)為把變成的相似變換矩陣.相似矩陣有相同的行列式及相同的秩.定理3若階矩陣及相似，則及的特征多項(xiàng)式相同,從而及的特征值也相同.證明因?yàn)榧跋嗨?，所以有可逆矩陣，使，故證畢.推論若階矩陣及對(duì)角陣相似，則即為的個(gè)特征值.證明因?yàn)榧仁菍?duì)角矩陣的特征值，由定理3知，即為的個(gè)特征值.定理4階矩陣及對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是:有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論如果階矩陣的特征值互不相等，則及對(duì)角矩陣相似．定理4的證明如果可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，也就是若記矩陣，其中是的列向量組,就有即為，于是有，.再由是可逆矩陣便可知，就是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.反之，如果階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，于是，應(yīng)有數(shù)，使，.以向量組構(gòu)成矩陣，則為可逆矩陣，且，其中是以構(gòu)成的對(duì)角矩陣，也就是，即及對(duì)角矩陣相似.§2例1中的3階矩陣只有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以它不可能及對(duì)角矩陣相似.§2例2中的矩陣，是的特征值3的線性無(wú)關(guān)的特征向量,是的特征值1的線性無(wú)關(guān)的特征向量.于是，3階矩陣恰有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以它能及對(duì)角矩陣相似.令，則為可逆矩陣，且.例1.判斷下列矩陣是否及對(duì)角矩陣相似，若是，求出相似變換矩陣和對(duì)角矩陣．解:的特征多項(xiàng)式為因此的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組．由得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，解方程組.由得基礎(chǔ)解系于是，3階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以它能及對(duì)角矩陣相似.令，則可逆矩陣為所求相似變換矩陣,且.例2．設(shè)2階矩陣的特征值為1,-5,及特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為求.解：因?yàn)?階矩陣有2個(gè)互異的特征值，據(jù)定理4的推論，能及對(duì)角矩陣相似.取，應(yīng)有，所以例3．社會(huì)調(diào)查表明，某地勞動(dòng)力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng)人員中每年有3/4改為從事非農(nóng)工作，在非農(nóng)從業(yè)人員中每年有1/20改為從農(nóng)工作.到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的1/5和4/5，試預(yù)測(cè)到2005年底該地勞動(dòng)力從業(yè)情況以及經(jīng)過(guò)多年之后該地勞動(dòng)力從業(yè)情況的發(fā)展趨勢(shì)．解：到2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞動(dòng)力的百分比分別為和如果引入2階矩陣，其中，表示每年非農(nóng)從業(yè)人員中有1/20改為從農(nóng)工作.表示每年從農(nóng)人員中有3/4改為從事非農(nóng)工作.于是有再引入2維列向量,其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比．如向量表示到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的1/5和4/5．那么，2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比就可由下述運(yùn)算得出于是，到2005年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比應(yīng)為年后該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況可由計(jì)算而得.矩陣的特征多項(xiàng)式得的特征值，.據(jù)定理4的推論，能及對(duì)角矩陣相似.求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，得.求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，得.取矩陣，則為可逆矩陣，且使得因?yàn)?，所以?lèi)似的，第年底該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況為按此規(guī)律發(fā)展，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞動(dòng)力的百分比趨于即，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的6/100和94/100.例4.如果那么于是及的特征多項(xiàng)式相同，但及不相似.特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似.例5.已知及相似,求.解:因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?故有相同的特征值2,,-1.根據(jù)特征方程根及系數(shù)的關(guān)系,有而，故.回顧和小結(jié)小結(jié)：慣性定理；正（負(fù)）定二次型及正（負(fù)）定矩陣的概念；3．實(shí)二次型﹑實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是否為正定的判斷。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：方陣可對(duì)角化的條件？P13814作業(yè)題:P1387，8，10，12，15實(shí)施情況及分析1.通過(guò)2小時(shí)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)員掌握了特征值及特征向量的概念.2.掌握了計(jì)算特征值及特征向量的方法.3.理解相似矩陣的概念和主要性質(zhì).4.對(duì)矩陣及對(duì)角矩陣相似的條件的掌握還有待加強(qiáng).第（17）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第五章第4節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1.教學(xué)目的：了解對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及特征向量的性質(zhì)，正交相似變換矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣；2.教學(xué)重點(diǎn)：正交相似變換矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣；3.教學(xué)難點(diǎn)：正交相似變換矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣教學(xué)內(nèi)容：對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示. 授課內(nèi)容基本內(nèi)容備注第四節(jié)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似矩陣定理5實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).為對(duì)應(yīng)的特征向量.即于是有兩式相減，因?yàn)閜≠0,定理6依次是它們對(duì)應(yīng)的特征向量.則及正交.證明由已知有左乘（2）式的兩端得因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以于是即p1及p2正交.定理7設(shè)為階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣,使，是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.它們的重?cái)?shù)依次為于是,.根據(jù)定理5及定理7知，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量,把它們正交單位化，即得個(gè)單位正交的特征向量,.由.知這樣的特征向量恰有個(gè).又實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不等的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交(根據(jù)定理6)，故這個(gè)特征向量構(gòu)成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣,則為正交矩陣，并有恰是的個(gè)特征值.推論設(shè)為階對(duì)稱(chēng)矩陣,重根,恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.為對(duì)角矩陣．于是得正交矩陣且使得為對(duì)角矩陣．解：A的特征多項(xiàng)式為將其規(guī)范正交化.正交化：取再單位化得于是得正交矩陣.且使得例3．設(shè)求.回顧和小結(jié)小結(jié)：1.二次型的概念；2.用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形的方法及步驟；3.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形的方法復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1．二次型的標(biāo)準(zhǔn)型唯一嗎？標(biāo)準(zhǔn)型及特征值之間有何關(guān)系？2．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形并寫(xiě)出所做的可逆變換作業(yè)題：習(xí)題五第27（1，2）、30(1,3)實(shí)施情況及分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員解對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及特征向量的性質(zhì)，正交相似變換矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣；2.對(duì)正交相似變換矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣等方面有待加強(qiáng).第（18）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第五章第5、6節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書(shū)1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué)胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》;3.孫建東等編《線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析》。1．教學(xué)目的：掌握二次型、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、合同等概念,會(huì)用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；掌握配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形的方法；2.教學(xué)重點(diǎn)：用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型、配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形；3.教學(xué)難點(diǎn)：用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型、配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形。教學(xué)內(nèi)容：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；教學(xué)方法：講授及討論相結(jié)合；4.教學(xué)手段：黑板講解及多媒體演示.基本內(nèi)容備注二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形變量的二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為元二次型,簡(jiǎn)稱(chēng)為二次型．：稱(chēng)為實(shí)二次型（本章只討論實(shí)二次型）：稱(chēng)為復(fù)二次型.一、二次型的概念定義1含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)=稱(chēng)為二次型.1．矩陣表示：于是(1)式可寫(xiě)成對(duì)二次型(1),記則二次型(1)又表示為其中為對(duì)稱(chēng)矩陣,叫做二次型的矩陣,也把叫做對(duì)稱(chēng)矩陣的二次型.對(duì)稱(chēng)矩陣的秩,叫做二次型的秩.2．標(biāo)準(zhǔn)形：二次型經(jīng)過(guò)可逆的線性變換即用(3)代入(1),還是變成二次型.那么新二次型的矩陣及原二次型的矩陣A的關(guān)系是什么？找可逆線性變換,即使得.介紹二次型的規(guī)范型。3．合同矩陣可逆線性變換(3),記作,把可逆的線性變換代入二次型，得二次型就是說(shuō),若原二次型的矩陣為,那么新二次型的矩陣為,其中是所用可逆