2004年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題理科數(shù)學(xué)(天津)卷

2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津）卷數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘第一卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1.答第一卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)答在試卷上的無(wú)效參考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互獨(dú)立，那么柱體（棱柱、圓柱）的體積公式其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，=（）A. B. C. D.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.3.若平面向量與向量的夾角是，且，則＝（）A. B. C. D.4.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（）A.1或5 B.6 C.7 D.95.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=（）A. B. C. D.6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）A. B.C. D.7.若為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）A. B.C. D.8.已知數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A. B.C. D.10.如圖，在長(zhǎng)方體中，AB=6，AD=4，分別過(guò)BC、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，，若，則截面的面積為（）A. B. C. D.1611.函數(shù)（）的反函數(shù)是（）A. B.C. D.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程21.（本小題滿分12分）已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求22.（本小題滿分14分）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明參考解答一.選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分1D2A3A4C5A6B7A8B9二.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分13.80 14. 15.2004 16.300 三.解答題：17.本小題考查兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分（1）解：由，有解得（2）解法一：解法二：由（1），，得∴∴于是，代入得18.本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分12分（1）解：可能取的值為0，1，2所以，的分布列為012P（2）解：由（1），的數(shù)學(xué)期望為（3）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為19.本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力，滿分12分方法一：（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中，EO是中位線，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而平面PDC，∴②由①和②推得平面PBC而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角由（2）知，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則，在中，在中，，∴所以，二面角C—PB—D的大小為方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且∴，這表明PA//EG而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB（2）證明；依題意得，又，故∴由已知，且，所以平面EFD（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，則從而所以由條件知，，即，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C—PB—D的大小為20.本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問(wèn)題的能力滿分12分（1）解：，依題意，，即解得∴令，得若，則，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)若，則，故在上是減函數(shù)所以，是極大值；是極小值（2）解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的方程為注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有化簡(jiǎn)得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為21.本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分12分（1）證明：由，可得由數(shù)學(xué)歸納法可證由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí)因此，數(shù)列是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而所以，當(dāng)時(shí)上式對(duì)也成立所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)上式對(duì)也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）解：當(dāng)時(shí)22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分