新高考物理一輪復習精講精練第5章 萬有引力與宇宙航行 第1講 萬有引力定律（含解析）

第一講萬有引力定律知識梳理一、開普勒定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)任何一個行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)行星繞太陽運行軌道半長軸a的立方與其公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比SKIPIF1<0二、萬有引力定律1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是兩球心間的距離。知識訓練考點一、開普勒定律的理解1．行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理．2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最?。?．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．例1、(2022·濰坊二模)中國首個火星探測器“天問一號”已于2021年2月10日成功環(huán)繞火星運動。若火星和地球可認為在同一平面內(nèi)繞太陽同方向做圓周運動，運行過程中火星與地球最近時相距R0、最遠時相距5R0，則兩者從相距最近到相距最遠需經(jīng)過的最短時間約為()A．365天 B．400天C．670天 D．800天【答案】B【解析】設火星軌道半徑為R1，公轉(zhuǎn)周期為T1，地球軌道半徑為R2，公轉(zhuǎn)周期為T2，依題意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(Req\o\al(3,2),Teq\o\al(2,2))，解得T1＝eq\r(\f(27,8))年，設從相距最近到相距最遠需經(jīng)過的最短時間為t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝eq\f(2π,T)，代入數(shù)據(jù)，可得t≈401天。例2、(多選)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運動過程中()A．從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B．從Q到N階段，機械能逐漸變大C．從P到Q階段，速率逐漸變小D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功【答案】CD【解析】由行星運動的對稱性可知，從P經(jīng)M到Q點的時間為eq\f(1,2)T0，根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到M運動的速率大于從M到Q運動的速率，可知從P到M所用的時間小于eq\f(1,4)T0，選項A錯誤；海王星在運動過程中只受太陽的引力作用，故機械能守恒，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向太陽，從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功，選項D正確。課堂隨練訓練1、某行星沿橢圓軌道繞太陽運行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個對稱點．若行星運動周期為T，則該行星()A．從a到b的運動時間等于從c到d的運動時間B．從d經(jīng)a到b的運動時間等于從b經(jīng)c到d的運動時間C．a(chǎn)到b的時間tab>eq\f(T,4)D．c到d的時間tcd>eq\f(T,4)【答案】D【解析】據(jù)開普勒第二定律可知，行星在近日點的速度最大，在遠日點的速度最小，行星由a到b運動時的平均速率大于由c到d運動時的平均速率，而弧長ab等于弧長cd，故從a到b的運動時間小于從c到d的運動時間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運動時間小于從b經(jīng)c到d的運動時間，A、B錯誤；從a經(jīng)b到c的時間和從c經(jīng)d到a的時間均為eq\f(T,2)，可得tab＝tda<eq\f(T,4)；tbc＝tcd>eq\f(T,4)，C錯誤，D正確．訓練2、(2021·安徽六安市示范高中教學質(zhì)檢)國產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》開創(chuàng)了中國科幻電影的新紀元，引起了人們對地球如何離開太陽系的熱烈討論．其中有一種思路是不斷加速地球使其圍繞太陽做半長軸逐漸增大的橢圓軌道運動，最終離開太陽系．假如其中某一過程地球剛好圍繞太陽做橢圓軌道運動，地球到太陽的最近距離仍為R，最遠距離為7R(R為加速前地球與太陽間的距離)，則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)?)A．8年B．6年C．4年D．2年【答案】A【解析】由開普勒第三定律得：eq\f(R3,T2)＝eq\f(\f(R＋7R,2)3,T12)，解得T1＝8年，選項A正確．考點二、萬有引力定律的理解及應用1．地球表面的重力與萬有引力地面上的物體所受地球的吸引力產(chǎn)生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力。(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力?。?3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力，F(xiàn)向和mg，這兩個分力剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq\f(GMm,R2)－mRωeq\o\al(2,自)。2．地球表面上的重力加速度(1)設在地球表面附近的重力加速度為g(不考慮地球自轉(zhuǎn))，由mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝Geq\f(M,R2)。(2)設在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。3．萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”(1)兩點理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個分力．(2)星體內(nèi)部萬有引力的兩個推論①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).考向1萬有引力定律的理解和簡單計算例1、(2019·全國卷Ⅱ·14)2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸．在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖像是()【答案】D【解析】在嫦娥四號探測器“奔向”月球的過程中，根據(jù)萬有引力定律F＝GSKIPIF1<0，可知隨著h的增大，探測器所受的地球引力逐漸減小，但不是均勻減小的，故能夠描述F隨h變化關系的圖像是D.考向2不同天體表面引力的比較與計算例2、(2021·高考山東卷，T5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經(jīng)歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1【答案】B【解析】懸停時所受平臺的作用力等于萬有引力，根據(jù)F＝Geq\f(mM,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,Req\o\al(2,火))∶Geq\f(M月m玉兔,Req\o\al(2,月))＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故選B?？枷?重力和萬有引力的關系例3、某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A．eq\f(4π2,g1T2) B．eq\f(4π2,g2T2)C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在“極點”處：mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”處：eq\f(GMm,R2)－mg1＝m(eq\f(2π,T))2R；解得：R＝SKIPIF1<0，故選C.例4、一飛船圍繞地球做勻速圓周運動，其離地面的高度為H，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R。則飛船所在處的重力加速度大小()A．eq\f(Hg,R) B．eq\f(Rg,H＋R)C．eq\f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(H＋R))2) D．eq\f(H2g,R2)【答案】C【解析】忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力，有在地球表面eq\f(Gm地m,R2)＝mg在離地面的高度為H處eq\f(Gm地m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋H))2)＝mg′解得g′＝eq\f(gR2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋H))2)，故C正確?？枷?地球表面與地表下某處重力加速度的比較與計算例5、假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2【答案】A【解析】如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零．設地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；設礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A正確．課堂隨練訓練1、(2020·全國卷Ⅲ)“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為()A.eq\r(\f(RKg,QP)) B．eq\r(\f(RPKg,Q))C.eq\r(\f(RQg,KP)) D．eq\r(\f(RPg,QK))【答案】D【解析】設地球質(zhì)量為M，在地球表面處，對質(zhì)量為m的物體有Geq\f(Mm,R2)＝mg。設“嫦娥四號”的質(zhì)量為m1，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(\f(M,Q)m1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(K\f(R,P)))2)＝m1eq\f(v2,K\f(R,P))，解得v＝eq\r(\f(RPg,QK))，故D正確。訓練2、(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5【答案】B【解析】設該物體質(zhì)量為m，則在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,R\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，由題意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。聯(lián)立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))2＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0.4，故B正確。訓練3、某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為m?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由萬有引力定律得GSKIPIF1<0=1.1m'g，GSKIPIF1<0-m'g=m'ω2R，由以上兩式解得，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω=SKIPIF1<0，B正確，A、C、D錯誤。訓練4、萬有引力定律和庫侖定律都滿足與距離的二次方成反比的規(guī)律，因此引力場和電場之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關問題時可以將它們進行類比。例如電場中引入電場強度來反映電場的強弱，其定義式為E=SKIPIF1<0，在引力場中可以用一個類似的物理量來反映引力場的強弱。設地球質(zhì)量為m地，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G。如果一個質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點，則下列表達式中能反映該點引力場強弱的是()A．SKIPIF1<0 B．GSKIPIF1<0 C．GSKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】類比電場強度定義式E=SKIPIF1<0，該點引力場強弱為SKIPIF1<0，所以C正確。考點三天體質(zhì)量和密度的計算

1．利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.①由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).②天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．利用運行天體(以已知周期為例)測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T.①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).③若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．例1、(2021·全國乙卷，18)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖3所示?？茖W家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()圖3A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M【答案】B【解析】由萬有引力提供向心力有eq\f(Gm中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(Gm中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只與中心天體的質(zhì)量有關，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(Req\o\al(3,S2),Teq\o\al(2,S2)),\f(Req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地)))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。例2、(多選)(2021·八省聯(lián)考遼寧卷)“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運動時，軌道半徑為r，速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項正確的是()A．月球平均密度為eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度為eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度為eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度為eq\f(v2r,R2)【答案】BD【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(m月m,r2)＝meq\f(v2,r)，解得m月＝eq\f(v2r,G)，月球體積V＝eq\f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq\f(m月,V)＝eq\f(3v2r,4πGR3)，故B項正確，A項錯誤；根據(jù)月球表面物體的重力等于萬有引力，有Geq\f(m月m,R2)＝mg月，又m月＝eq\f(v2r,G)，解得g月＝eq\f(v2r,R2)，故D項正確，C項錯誤。例3、假設在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月面，上升的最大高度為h。已知月球半徑為R、引力常量為G，不計一切阻力，則月球表面的重力加速度大小為，月球的密度為。

【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】由自由落體公式得SKIPIF1<0，解得g=SKIPIF1<0，設月球質(zhì)量為M，月球表面質(zhì)量為m的物體所受重力等于萬有引力，有mg=GSKIPIF1<0，設月球體積為V，V=SKIPIF1<0πR3，則月球的密度為ρ=SKIPIF1<0，聯(lián)立以上各式得ρ=SKIPIF1<0。課堂隨練訓練1、(2022·葫蘆島一模)若銀河系內(nèi)每個星球貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示，被環(huán)繞的星球的平均密度用ρ表示。ρ與eq\f(1,T2)的關系圖像如圖所示，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。則該圖像的斜率約為()A．1.4×1010kg2/(N·m2)B．1.4×1011kg2/(N·m2)C．7×10－10N·m2/kg2D．7×10－11N·m2/kg2【答案】B【解析】令該星球的半徑為R，則星球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運動，由萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，則Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，星球的密度為ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3π,GT2)，由數(shù)學知識知，題中圖像斜率k＝eq\f(3π,G)≈1.4×1011kg2/（N·m2）。訓練2、(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖中虛線所示。假設兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則()A．M與N的密度相等B．Q的質(zhì)量是P的3倍C．N的密度是M的3倍D．Q的質(zhì)量是P的6倍【答案】AD【解析】如圖，當x＝0時，對P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；對Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。當P、Q的加速度a＝0時，對P有：mPgM＝kx0，則mP＝eq\f(kx0,3a0)，對Q有：mQgN＝k·2x0，則mQ＝eq\f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP，B錯誤，D正確；根據(jù)mg＝Geq\f(Mm,R2)得，星球質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，則星球的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，所以M、N的密度之比eq\f(ρM,ρN)＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(3,1)×eq\f(1,3)＝1，A正確，C錯誤。訓練3、已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。(1)北京時間2020年3月9日，中國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導航衛(wèi)星，此次發(fā)射的是北斗第2顆地球靜止軌道衛(wèi)星(又稱地球同步衛(wèi)星)，它離地的高度為h，求此衛(wèi)星進入地球靜止軌道后正常運行時的速度v的大小(不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響)；(2)為考察地球自轉(zhuǎn)對重力的影響，某研究者在赤道時，用測力計測得一小物體的重力是F1，在南極時，用測力計測得該小物體的重力為F2，求地球的質(zhì)量M。(已知地球的自轉(zhuǎn)周期為T)【答案】(1)eq\r(\f(gR2,R＋h))(2)eq\f(4π2F2R3,F2－F1T2G)【解析】(1)設該衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律提供向心力可得：GSKIPIF1<0＝mSKIPIF1<0，在地球表面，根據(jù)萬有引力和重力的關系可得：Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得：v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))。(2)設小物體的質(zhì)量為m0，在赤道處，小物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，受到萬有引力和測力計的作用力，有：Geq\f(Mm0,R2)－F1＝m0eq\f(4π2,T2)R，在南極有：Geq\f(Mm0,R2)＝F2，聯(lián)立可得地球的質(zhì)量M＝SKIPIF1<0。同步訓練1、根據(jù)開普勒第一定律可知：火星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。下列說法正確的是()A．太陽對火星的萬有引力大小始終保持不變B．火星運動到近日點時的加速度最大C．火星在橢圓上運動，速率相等的點總有兩個D．火星繞太陽運行過程中萬有引力始終不做功【答案】B【解析】根據(jù)開普勒第一定律可知，火星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上，結(jié)合萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)可知，由于它們之間的距離在變化，則太陽對火星的萬有引力的大小在變化，故A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得出：a＝Geq\f(M,r2)，故火星運動到近日點時的加速度最大，B正確；火星在橢圓上運動，對于遠日點和近日點，沒有其他點的速率與這兩個點相等，故C錯誤；火星繞太陽運行的軌道是橢圓，萬有引力指向地心，與運動方向不總是垂直，所以萬有引力不是始終不做功，故D錯誤。2、(多選)地球的某衛(wèi)星的工作軌道為圓軌道，軌道高度為h，運行周期為T。若還知道引力常量G和地球半徑R，僅利用以上條件能求出的是()A．地球表面的重力加速度B．地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力C．該衛(wèi)星繞地球運行的速度D．該衛(wèi)星繞地球運行的加速度【答案】ACD【解析】該衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有GSKIPIF1<0＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，得M＝SKIPIF1<0，故根據(jù)已知量可以求得地球的質(zhì)量M，再根據(jù)物體在地球表面時的重力與萬有引力相等，有Geq\f(mM,R2)＝mg，在已知地球質(zhì)量和半徑及引力常量的情況下可以求得地球表面的重力加速度，故A正確；由于不知道該衛(wèi)星的質(zhì)量，故無法求出地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力，故B錯誤；已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期，根據(jù)v＝eq\f(2πr,T)知，可以求出衛(wèi)星繞地球運行的速度，故C正確；該衛(wèi)星繞地球運動的加速度也就是衛(wèi)星的向心加速度，根據(jù)a＝eq\f(4π2,T2)r，已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期可以求出其加速度，故D正確。3、(2020·全國卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期是()A．eq\r(\f(3π,Gρ)) B．eq\r(\f(4π,Gρ))C．eq\r(\f(1,3πGρ)) D．eq\r(\f(1,4πGρ))【答案】A【解析】對在該星體表面附近繞其做圓周運動的衛(wèi)星有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，對該星體有V＝eq\f(4,3)πR3，ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立可得，在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，A正確。4、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應用公式進行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍【答案】CD【解析】衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，則F＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。因為在不同半徑的軌道處g值不同，故不能由v＝eq\r(gR)得出甲、乙的速度關系，衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，可得eq\f(v甲,v乙)＝eq\r(\f(r乙,r甲))＝eq\f(\r(2),2)，故A錯誤；因為在不同半徑的軌道上衛(wèi)星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出兩衛(wèi)星的加速度關系，衛(wèi)星的加速度a＝eq\f(GM,r2)，可得eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故B錯誤；衛(wèi)星所受的向心力F＝Geq\f(Mm,r2)，兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可得eq\f(F甲,F乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可得eq\f(T甲,T乙)＝eq\r(\f(r\o\al(3,甲),r\o\al(3,乙)))＝2eq\r(2)，故D正確。5、(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計．則()A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80【答案】AD【解析】設初速度為v0，由對稱性可知豎直上拋的小球在空中運動的時間t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，選項A正確，B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，則eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，選項C錯誤，D正確．6、假設某探測器在著陸火星前貼近火星表面運行一周用時為T，已知火星的半徑為R1，地球的半徑為R2，地球的質(zhì)量為M，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則火星的質(zhì)量為()A．eq\f(4π2R13M,gR22T2)B．eq\f(gR22T2M,4π2R13)C．eq\f(gR12,G)D．eq\f(gR22,G)【答案】A【解析】對繞地球表面運動的物體，由牛頓第二定律可知：Geq\f(Mm,R22)＝mg對繞火星表面做勻速圓周運動的物體有：eq\f(GM火m,R12)＝m(eq\f(2π,T))2R1結(jié)合兩個公式可解得：M火＝eq\f(4π2R13M,gR22T2)，故A對．7、若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7).已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R，不考慮氣體阻力．由此可知，該行星的半徑約為()A．eq\f(1,2)RB．eq\f(7,2)RC．2RD．eq\f(\r(7),2)R【答案】C【解析】由平拋運動規(guī)律：x＝v0t，h＝eq\f(1,2)gt2，得x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，拋出的速率相同，高度相同，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(7,4)；由Geq\f(Mm,R02)＝mg，可得g＝eq\f(GM,R02)，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(\f(M行,R行2),\f(M地,R2))＝eq\f(7,4)，解得R行＝2R，選項C正確．8、將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點時，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時，該物體的重力為mg.假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)【答案】C【解析】設地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力的分力．有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬有引力Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯誤；在兩極mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯誤．9、(2021·全國甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m【答案】C【解析】忽略火星自轉(zhuǎn)，設火星半徑為R，則火星表面處有eq\f(GMm,R2)＝mg①可知GM＝gR2設與周期為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r，由萬有引力提供向心力可知eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r②設近火點到火星中心的距離為R1＝R＋d1③設遠火點到火星中心的距離為R2＝R＋d2④由開普勒第三定律可知eq\f(r3,T2)＝SKIPIF1<0⑤聯(lián)立①②③④⑤可得d2≈6×107m，故選C.10、若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度大小之比為(質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的萬有引力為零)()A．eq\f(R－d,R＋h) B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設地球的密度為ρ，則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小相等，有g(shù)＝Geq\f(M,R2).由于地球的質(zhì)量為M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表達式可寫成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR.質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣萭′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)．根據(jù)萬有引力提供向心力有GSKIPIF1<0＝ma，“天宮一號”所在處的重力加速度為a＝SKIPIF1<0，所以eq\f(a,g)＝SKIPIF1<0，eq\f(g′,a)＝SKIPIF1<0，故C正確，A、B、D錯誤．11、(2018·全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500m口徑射電望遠鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19