必修2知識點梳理

必修二知識點歸納梳理

一、空間立體幾何的結(jié)構(gòu)、三視圖'直觀圖

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

⑴多面體

①棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上、下底面是全等的多邊形.

②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形.

③棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.

(2)旋轉(zhuǎn)體

①圓柱可以由隨繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

③圓臺可以由直角梯形繞直魚型所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可

由平行于底面的平面截圓錐得到.

④球可以由半圓或圓繞直檢所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

2.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是正投影得到,這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的

形狀和大小是完全相同的,三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

3.空間幾何體的直觀圖

畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法,其規(guī)則是：

⑴原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、y’軸的夾角為45。(或135。)，z'軸與『

軸、y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀

圖中保持原長度丕變，平行于v軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

4.常用結(jié)論

(1)常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖

①球的三視圖都是半徑相等的圓.

②水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.

③水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.

④水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.

(2)斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

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.坐標軸的夾角改變，

，，三變”（與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

.圖形改變.

「平行性不改變，

，，三不變”（與X,Z軸平行的線段的長度不改變，

［相對位置不改變.

二、空間立體幾何體積與表面積

1.多面體的表（側(cè)）面積

因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)面積與

底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開圖

EL一

側(cè)面積公式S附柱例=2兀〃S圈錐側(cè)=以S園臺—=兀（門+■）/

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

柱體

S衣面積=S側(cè)+2S底V=Sh

（棱柱和圓柱）

錐體v=1s/?

S表面枳=S側(cè)+S底

（棱錐和圓錐）

V=|(SI+ST+

臺體

S表面積=S側(cè)+SI.+5下’

（棱臺和圓臺）

鄧^h

4

球S=4nR2V=^nR3

4.常用結(jié)論

（1）與體積有關(guān)的幾個結(jié)論

①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

（2）幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

a.正方體的棱長為a,球的半徑為R,

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①若球為正方體的外接球，則2R=?

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=&a.

b.若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2/?=后不再?.

c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

三、空間點線面位置關(guān)系

1.四個公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.直線與直線的位置關(guān)系

（1）位置關(guān)系的分類

平行宜線

共面直線

相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點0作直線a,//a,b'//h,把a'與沙所成

的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,f.

3.直線與平面的位置關(guān)系有壬任、相交、在平面內(nèi)三種情況.

4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

5.等角定理

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.

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四、直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

b—

圖形

百b_/丁

條件aUa,bQa,a//ballaalla,aU8,aCB=b

結(jié)論a//ab//aaGa=0allb

2.面面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

7

圖形zgEpz^7

z^7M~7

bUR,4Gla〃￡,

條件a//p,aUp

=P,alla,b〃a

結(jié)論a//pa//pa//ba//a

1.直線與平面垂直

2.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

圖形條件結(jié)論

LaA-btbUa(b為a內(nèi)的任意一條直線)a_La

判

a上m,a_L〃,m、nUa,mG〃=0aJ_a

定￡fey

a7a//b,a_LabS-a

性

a_La,bUaaA-b

質(zhì)

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ab

b.Laa"b

五、直線方程

1.直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做

直線/的傾斜角.當直線/與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0。.

(2)范圍：直線/傾斜角的范圍是10,兀).

2.斜率公式

(1)若直線/的傾斜角a#90。，則斜率仁tana.

(2)P1(xi，%),B(X2,”)在直線/上，且XIWM貝I/的斜率&=三脛

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)—血=攵(戈一丁)不含直線X=XO

斜截式不含垂直于X軸的直線

y—y\x—X}不含直線x=?(xi無冷)和直線y=y\

兩點式

”一yiX2-x\(yi#y2)

截距式支+.=]不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

伍2+B2#0)

六、兩直線位置關(guān)系

1.兩條直線的位置關(guān)系

(1)兩條直線平行與垂直

①兩條直線平行：

(i)對于兩條不重合的直線/1、/2,若其斜率分別為舟、依，則有人〃/20讓區(qū).

(ii)當直線人辦不重合且斜率都不存在時，h//h.

②兩條直線垂直：

3)如果兩條直線/|、/2的斜率存在，設(shè)為心、k2,則有/」/2。%限2=-L

(ii)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，/山2.

(2)兩條直線的交點

直線1\：A\x+B\y+Ci=0,I2：A2X++Q=0,貝U/1與，2的交點坐標就是方程組

[Ax+8]y+G=0,

[A^+B2y+C2=0的解.

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2.幾種距離

(1)兩點Pl(x”》),尸2(x2，丫2)之間的距離RP2I=M(X2—M)2+—巧)2.

|Axo+Byo+C|

(2)點Po(xo,泗)到直線/：4v+8y+C=0的距離d=

\]A2+B2

(3)兩條平行線Ax+B,y+G=O與Ax+By+C2=0(其中C1WC2)間的距離

【知識拓展】

1.一般地，與直線Ar+By+C=O平行的直線方程可設(shè)為Ar+By+/M=O；與之垂直的直線方程可

設(shè)為Bx—Ay+n=O.

2.過直線/1：Aix+Sy+Ci=O與/2：A^+B2y+C2=0的交點的直線系方程為4x+Biy+Ci+4AM

+&y+C2)=0(2GR),但不包括b

3.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：

(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.

七、圓的方程

1.圓的定義

在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.

2.確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑.

3.圓的標準方程

(X—Z>)2=r2(r>0),其中3，。為圓心,二為半徑.

4.圓的一般方程

x1+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是7+四一分,。,其中圓心為(一專，一穹，半徑r=

勺。2+￡2—4F

2

5.確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為

(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于m6,,?或。、E、尸的方程組；

(3)解出a、b、r或。、E、F代入標準方程或一般方程.

6.點與圓的位置關(guān)系

點和圓的位置關(guān)系有三種.

圓的標準方程(X—a)2+(y—6)2=產(chǎn)，點加(沏，yo)

(1)點在圓上：(&—a)2+(vo—加2=戶；

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(2)點在圓外：(Xo—4)2+(yo—

(3)點在圓內(nèi)：(雙一ap+Cvo—6)2<3.

八、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系.

相交;，/=，,=相切;辦，0相離.

>00相交;

(2)代數(shù)法：,陪相切;

d=b-4ac

<00相離.

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓Oi：(x—ai)2+(y—bi)2=ri(ri>0),

圓。2：(x—a2)2+(y—b2)2=r^(r2>0).

方法代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組

位置關(guān)秦幾何法：圓心距d與八，〃的關(guān)系