大學物理學第二版下冊振動2

一個質(zhì)點沿x方向作簡諧振動，振幅A=0.12m周期T=2

s，t=0

時刻，質(zhì)點相對于平衡位置的位移為x0=0.06m

，此時質(zhì)點向x軸正向運動。例1求：⑴簡諧振動的表達式；

⑵

t=

T/4

時，質(zhì)點位置坐標、速度、加速度；⑶從t=0

時刻開始，第一次通過平衡位置的時刻。解：確定這里要求⑴簡諧振動的表達式；正負？正負？t=0時刻

，質(zhì)點向x

軸正向運動告訴此時速度的方向正負？旋轉(zhuǎn)矢量法t=0

時刻

，質(zhì)點向x軸正向運動解：已知振動表達式速度、加速度表達式為“－”表示與x

軸正向相反⑵

t=T/4

時，質(zhì)點位置坐標、速度、加速度；解：平衡位置第一次通過⑶從t=0時刻開始，第一次通過平衡位置的時刻。例2to如圖為簡諧振動x1

和x2的振動曲線。求：x1

和x2的表達式及位相差。解：設x1

和x2的表達式分別為解：由圖已知to解：to解：則x2

振動超前

x1振動π/3

。to例:

已知簡諧振動曲線x~t,試寫出此振動的運動方程

解：由圖可以看出由題意(解析法)otx-0.050.1此題也可用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。解：由圖可以看出關(guān)鍵在于求出！經(jīng)歷，振動相位的變化為：在參考圓上找出ｔ＝０，ｔ＝1/3

秒兩個振動狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量。otx-0.050.1

0

xO1.簡諧振動的動力學方程

受力特點:線性恢復力

動力學方程：

固有(圓)頻率三．簡諧振動描述——動力學部分固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)由初始條件求振幅和初位相：(1)動能(2)勢能2.簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例)xtoxto(3)機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒能量的角度：振幅不僅反映振動的幅度，還反映振動的強度由起始能量求振幅一.阻尼振動把在回復力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動1.阻尼振動的特點振幅在逐漸減小意味著在阻尼振動過程中，振動系統(tǒng)的能量在減少。引起能量損失的原因很多：摩擦阻尼：由于介質(zhì)對振動系統(tǒng)的摩擦阻力使系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊徇\動的能量，如空氣對單擺阻尼；輻射阻尼：由于振動物體引起鄰近質(zhì)點的振動，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去。如音叉振動§2阻尼振動受迫振動與共振2.阻尼振動的振動方程、表達式和振動曲線考慮一質(zhì)點在摩擦阻力作用下在x

方向上作阻尼振動實驗中發(fā)現(xiàn)，當物體的速度不太大時，介質(zhì)對運動物體的阻力fr

與速度

v成正比，又由于阻力總與速度方向相反，所以阻力與速度就有下述關(guān)系為比例常數(shù)大小由物體的形狀、大小、表面狀況及介質(zhì)的性質(zhì)決定。方程的解阻尼振動的振幅1）

阻尼較小情況，欠阻尼狀態(tài)β越大衰減越快，所以阻尼振動又叫減幅振動稱為振動系統(tǒng)的固有頻率。稱為阻尼系數(shù)。按

β

大小的不同，微分方程有三種不同形式的解。txo另外表達式中包含因子因子具有周期性，把因子的位相變化2π，所經(jīng)歷的時間，稱作阻尼振動的周期。阻尼振動曲線2）

阻尼較大情況，過阻尼狀態(tài)物體運動速度緩慢，從離開平衡位置的地方運動回到平衡位置需要較長時間。物體運動方式為非周期運動，運動曲線欠阻尼過阻尼3）

臨界阻尼狀態(tài)處于由欠阻尼向過阻尼過渡的臨界狀態(tài)，此時物體剛好能做非周期運動。與過阻尼相比，從離開平衡位置的地方運動回到平衡位置，需要的時間最短。欠阻尼過阻尼臨界阻尼應用：在生產(chǎn)實際中，可以根據(jù)不同的要求，用不同的方法來控制阻尼的大小，例如各類機器，為了減振、防振，都要加大振動時的摩擦阻尼。在磁式儀表中，為使人們能較快地和準確地讀數(shù)測量，常使儀表的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處在臨界阻尼狀態(tài)下工作。二．受迫振動阻力總是客觀存在的，只能減小而不能完全消除它。所以實際的振動系統(tǒng)免不了由于阻力而消耗能量，這會使振幅不斷衰減，為了使振幅不衰減，通常是給系統(tǒng)施加一個周期性外力——策動力。在策動力作用下的振動稱作受迫振動。為簡單起見，假設策動力有如下形式為策動力的幅值，為策動力角頻率二．受迫振動在上述力的作用下。物體動力學方程設質(zhì)量為m

物體受力彈性力阻力策動力令在阻尼較小的情況下，方程的解為這個解由兩項組成，表示在策動力開始作用的階段，系統(tǒng)的振動是非常復雜的，可以看成是兩個振動合成的：一個振動是由第一項表示，它是一個減幅的振動；經(jīng)過一段時間之后第一項振動將減弱到可以忽略不計。只剩下第二項。第二項表示的是一個振幅不變的振動——等幅振動。經(jīng)過一段時間方程的穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解：特點：(1)頻率:

等于策動力的頻率

(2)振幅:(3)初相:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動表達式雖然和無阻尼自由振動的表達式相同，都是簡諧振動，但實質(zhì)已有不同受迫振動穩(wěn)態(tài)時的振幅為從這里看到，對于一定的振動系統(tǒng)，如果策動力的幅值Fo

一定，則受迫振動穩(wěn)態(tài)時的振幅隨策動力的頻率而改變，按上式可以畫出不同阻尼時，振幅和策動力頻率之間的關(guān)系曲線，如圖，從圖上可以看出，當策動力的角頻率為某個特定值時振幅達到最大值，把這種現(xiàn)象稱作共振x1=A1cos(

t+

1)x2=A2cos(

t+

2)x=x1+x2=A1cos(

t+

1)+A2cos(

t+

2)應用三角函數(shù)的和差化積公式合振動的運動方程

x

=A

cos(

t+

)其中合振動是簡諧振動,其頻率仍為

一．同方向同頻率簡諧振動的合成§3簡諧振動的合成

x

=A

cos(

t+

)討論兩種特殊情況

(2)

若兩分振動

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…)如A1=A2,

則A=0則A=|A1-A2|,

兩分振動相互減弱則

A=A1+A2

,

兩分振動相互加強(1)

若兩分振動同相

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)x1=A1cos(

t+

1)x2=A2cos(

t+

2)矢量和因為以相同的角速度

勻速旋轉(zhuǎn)。A1

和A2

A所以也是表示簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量，

x2x1

x設合振動的表達式

x

=A

cos(

t+

)

是在t=0

時刻矢量與x

軸夾角A由余弦定理x

x2x1

同理可得這一結(jié)果與解析法的結(jié)果一致例題求如下4個同頻率同方向的等幅簡諧振動的合成：解本題如采用旋轉(zhuǎn)矢量法求解較為容易。通過幾何分析易得：而：另外：若換成n個分振動：[例]

已知兩個同方向振動分別為：(1)

求合振動的振幅和初相位；(2)另有一同方向的振動，問為何值時的振幅為最大？為何值時，

的振幅最?。縖解](1)當時，與合成振幅最小。

(2)當時，與合成振幅最大。[例]

兩條諧振動的曲線如圖所示，求合振動方程。

[解]

由諧振動曲線可寫出兩個分振動方程：由圖知，Ｔ＝１Ｓt(s)x(cm)------I---0.5今用旋轉(zhuǎn)矢量法來求合振動：合振幅合振動的初相位由圖可見：故二．同方向不同頻率簡諧振動的合成如果在一條直線的兩個分振動的頻率不同，合成的結(jié)果不再是簡諧振動。

振幅相等頻率不同的兩分振動的合成x1=Acos(

1

t

)x2=Acos(

2t

)設有兩個同方向不同頻率的簡諧振動，振幅都是A，初位相都是0

合振動x=x1+x2=Acos(

1

t

)+Acos(

2

t

)旋轉(zhuǎn)矢量圖：任意時刻t，旋轉(zhuǎn)矢量A1

和A2

的合矢量的大小Ax1=A1cos(

1

t+

10)x2=A2cos(

2t+

20)設有兩個同方向不同頻率的簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量之間的夾角就要隨時間改變A1

和A2

它們的的合矢量的大小也就隨時間改變。A這時合矢量表示的振動不再是簡諧振動A通常是很復雜的運動合振動不是簡諧振動由三角函數(shù)的和差化積公式得合振動的表達式簡寫上式形式上與簡諧振動相似，令x=x1+x2=Acos(

1

t

)+Acos(

2

t

)但這里A(t)隨時間變化，而且是周期性變化一般情況下，覺察不到合振動由明顯的周期性，但當兩個分振動的頻率都較大，而其差值很小時，就會出現(xiàn)明顯的周期性討論來說明這種情形上式中的兩個因子都隨時間作周期性變化。角頻率分別為討論當

2

1

時

且

2-

1

2+

1即

2，

1很大，但相差很小或者說后者的周期比前者的周期大的多。意味著：后者的變化比前者的變化慢的多。因子的頻率比因子的頻率大的多當

2

1

時

且

2-

1

2+

1的變化比的變化慢的多。這就使得在某一段時間內(nèi)反復變化多次而幾乎沒有變化這種合振動的振動曲線如圖示xtx2tx1txt紅色實線為合振動的振動曲線虛線為合振動振幅的包絡線，這個包絡線是一余弦曲線，表明合振動的振幅是周期性變化的，忽強忽弱。在一小段包絡線下觀察，合振動近似簡諧振動振幅周期性變化，忽強忽弱的現(xiàn)象2.拍xt拍頻

:單位時間內(nèi)合振動加強或減弱的次數(shù)拍頻等于分振動頻率之差拍現(xiàn)象的應用：測未知信號的頻率振幅周期性變化，忽強忽弱的現(xiàn)象2.拍三．相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的兩個同頻率簡諧振動的合成設兩個簡諧振動分別在x軸和y軸上進行，振動頻率相同，它們的振動表達式為x=A1cos(

t+

1)

y=A2cos(

t+

2)方程給出了任何時刻t質(zhì)點的位置坐標，質(zhì)點在平面內(nèi)運動，方程就是質(zhì)點運動軌跡的參數(shù)方程x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)消去參數(shù)t，可得質(zhì)點運動的軌跡方程這是一個橢圓軌跡方程因為質(zhì)點在x軸和y軸方向上的位移是在有限范圍內(nèi)變動，所以橢圓軌道不會超出2A1和2A2為邊的矩形范圍橢圓的性質(zhì)如長短軸的大小和方位，由位相差決定討論幾種特殊情況

2

－

1=0同相質(zhì)點的軌跡是一通過原點的直線如圖斜率為x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)在直線上如何運動呢？

=0

2

－

1=0同相在任何時刻t質(zhì)點離開原點的位移x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)質(zhì)點作簡諧振動，頻率與分振動相同，振幅等于

=0

2

－

1=π

反相質(zhì)點的軌跡仍然是一通過原點的直線如圖斜率為x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)

=π

在任何時刻t質(zhì)點離開原點的位移合振動仍然是簡諧振動，頻率與分振動相同，振幅等于

2

－

1=π

反相

=π

2－

1=π/2

質(zhì)點的軌跡是一以坐標軸為主軸的正橢圓如圖x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)由于y軸振動超前x軸振動質(zhì)點運動的方向為順時針為什么？

=π/2

質(zhì)點的軌跡是一以坐標軸為主軸的正橢圓如圖x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)由于y軸振動落后x軸振動質(zhì)點運動的方向為逆時針為什么？

2

－

1=－π/2

=－

π/2