二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)課件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)體重X身高Y例2：檢查某大學(xué)的全體學(xué)生的身體狀況,例1

飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo))來確定的.從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X

和Y

表示其體重和身高.多個(gè)隨機(jī)變量舉例二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)3.1二維隨機(jī)變量及其分布例如E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重

Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

任務(wù)：需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)，更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)3.1.1二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.1

設(shè)X、Y

為定義在同一樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，則稱為Ω上的一個(gè)二維隨機(jī)變量。向量（X，Y）二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)二維隨機(jī)變量（X,Y）的幾何意義二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值可看作平面上的點(diǎn)（x，y）A二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.2稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義幾何解釋：

F(x,y)表示隨機(jī)點(diǎn)(X

,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn),且位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形內(nèi)的概率.二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)x1x2y1y2

P（x1

X

x2，y1

Y

y2）

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)（2）性質(zhì)（3）性質(zhì)（4）二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)F(x,y)分別關(guān)于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分別關(guān)于X和Y.單調(diào)不減；010001右連續(xù)；二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)3.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3.1.3

若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達(dá)式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)Pij的性質(zhì)二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例題講解二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例1

一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。(X,Y)的可能取值為(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)1/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律X/Y1212二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)

箱內(nèi)裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)從箱內(nèi)隨機(jī)抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。其中：練一練二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)1010X

Y(X,Y)的聯(lián)合分布律二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例2.設(shè)隨機(jī)變量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整數(shù)值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).

解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)=

+

+

=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：YX-101

2

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?

+

+

+k=1

k

=

二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)YX-101

2

-1

120

XY0二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)YX-101

2

-1

120

XY二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)YX-101

2

-1

120

XY二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)YX-101

2

-1

120

XY二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)YX-101

2

-1

120

XY二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)

Y=-1Y=0X=1

X=2

二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)3.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.4(二元連續(xù)型隨機(jī)變量)

若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的性質(zhì)

（1）非負(fù)性（2）正則性（3）可導(dǎo)性二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)幾何解釋=曲頂柱體的體積xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面區(qū)域G上的概率二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例題講解二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例1：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度

求：⑴系數(shù)A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)求：⑵F(x,y)；二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)xy解(3):

P{X<2,Y<1}

21

{x<2,y<1}f(x,y)≠0二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)

32

2x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠0二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則稱（X,Y)在D上服從均勻分布.其中G是平面上的有界區(qū)域，其面積為SG二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)例題講解二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)

例1：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y)