2024年中考數(shù)學(xué)專練4 二次根式（學(xué)生版+解析版）

第04講二次根式題型01二次根式有意義的條件題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式題型03判斷同類二次根式題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)題型05二次根式的乘除運(yùn)算題型06二次根式的加減運(yùn)算題型07二次根式的混合運(yùn)算題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值題型09二次根式的應(yīng)用真題實(shí)戰(zhàn)練真題實(shí)戰(zhàn)練題型01二次根式有意義的條件A.x≥3B.x≥-3C.x≥3且x≠0D.x≥-3且x≠0題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式1.(2023-貴州遵義·?？家荒?下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是()①3(2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè))關(guān)于√8,下列說(shuō)法不正確的是(A.是最簡(jiǎn)二次根式B.是無(wú)理數(shù)C.整數(shù)部分是2D.一定能夠在數(shù)軸上找到表示v8的點(diǎn)題型03判斷同類二次根式1.(2023·上海松江·二模)下列二次根式中，與V2是同類二次根式的是()A.V?.22.(2023·四川攀枝花·二模)下列二次根式中，不能與v3合并的是()3.(2023衡陽(yáng)市模擬)若最簡(jiǎn)二次根式√2x+1和√4x-3能合并，則x的值為()A.0.5B.1C.2題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)1.(2022·河北·中考真題)下列正確的是()A.√4+9=2+3B.√4×9=2×3C.√94=V32.(2023南皮縣模擬)下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為-5的是()A.√(-5)2B.(-v5)2C.-V52DA.2m-10B.10-2mC.104.(2022四川編陽(yáng)東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M頑測(cè))實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)(結(jié)果是()A.Va2-b2B.√b-a5.(2023.廣東佛山.一模)若實(shí)數(shù)m,n滿足(m-4)2+√n+3=0,則Vm2+n2的值是題型05二次根式的乘除運(yùn)算A.-2v2B.-22.(2020-江蘇泰州·中考真題)下列等式成立的是()A.3+4V2=7√2B.V3×√2=√53.(2023松原市三模)計(jì)算；5√21×2√3=題型06二次根式的加減運(yùn)算1.(2022.貴州六盤水.中考真題)計(jì)算：√12-2V3=A.0.5和1之間B.1和1.5之間C.1.5和2之間D.2和2.5之間題型07二次根式的混合運(yùn)算B.1題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值N的大小.題型09二次根式的應(yīng)用(2)疫情需要為解決臨時(shí)隔離問題，檢測(cè)人員利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不限)和63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的矩形隔離房，如圖設(shè)每間隔離房的面積為S(米2).問：當(dāng)每間隔離房的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，使每間隔離房面積S最大?最大面積是多少?∴a+b≥2Vab,只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.結(jié)論：在a+b≥2Vab(a、b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值4.(2021-河北唐山·一模)如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式，其為被污染看不清楚.甲乙(1)嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為-3,計(jì)算“A+B”的結(jié)果；(2)若a=3+√3,淇淇認(rèn)為存在一個(gè)整數(shù)，可以使得“A-B”的結(jié)果是整數(shù)，請(qǐng)你求出滿足題意的被污染的這個(gè)數(shù).(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0(a≠b).A.A.①③⑤B.③⑤C.③④⑤D.①②④(√2-k)2的化簡(jiǎn)結(jié)果是()個(gè).A.0B.1A.(√2)°=V2B.2V3+3V3=5v6A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間,,、、 ;,,,重難創(chuàng)新練重難創(chuàng)新練方法1:借助面積為2的正方形，觀察圖③可任務(wù)三用方法2,求q+q2+q3+…+q”+…的值(結(jié)果用q表示).【遷移拓展】觀察圖⑤,直接寫出2圖④圖⑤第04講二次根式題型過關(guān)練題型過關(guān)練題型01二次根式有意義的條件題型02判斷最簡(jiǎn)二次根式題型03判斷同類二次根式題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)題型05二次根式的乘除運(yùn)算題型06二次根式的加減運(yùn)算題型07二次根式的混合運(yùn)算題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值題型09二次根式的應(yīng)用真題實(shí)戰(zhàn)練真題實(shí)戰(zhàn)練重難創(chuàng)新練重難創(chuàng)新練題型01二次根式有意義的條件 1.(2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題)若式子Vx-19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__【答案】【答案】x≥19【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x-19≥0,求解即可.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.2.(2021.浙江麗水：統(tǒng)考中考真題)要使式子√x-3有意義，則x可取的一個(gè)數(shù)是【答案】如4等(答案不唯一，【答案】如4等(答案不唯一，x≥3)【提示】根據(jù)二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可.∴x可取x≥3的任意一個(gè)數(shù)，故答案為：如4等(答案不唯一，x≥3.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵.3.(2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題)在函數(shù),自變量x的取值范圍是()A.x≥3B.x≥-3C.x≥3且x≠0D.x≥-3且x≠0【答案】【答案】D【提示】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案.【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是【提示】根據(jù)k-1≥0,結(jié)合圖像分布規(guī)律判斷即可.1.(2023·貴州遵義·?？家荒?下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.√0.5【答案】B【提示】若根號(hào)下沒有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、能夠開方的因數(shù)，就是最簡(jiǎn)二次根式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.最簡(jiǎn)二次根式有()①個(gè)C.因?yàn)?<√2<1.5,則2<2V2<3,所以V8的整數(shù)部分是2,選項(xiàng)不符合題意；4.(2022江門市模擬)若最簡(jiǎn)二次根式a-<4a+3b和√2a-b+6能合并，則a、b的值分別是()題型03判斷同類二次根式A.√32B.V27A.0.5B.1題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)2.(2023南皮縣模擬)下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為-5的是()A.√(-5)2A.2m-10解得：3<x<7,結(jié)果是()A.√a2-b2B.√b-aC.-√a2-b2D.-Vb2-g2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和二次根式及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸圖判斷絕對(duì)值里數(shù)值的正負(fù).【答案】【答案】5【提示】?jī)蓚€(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,須兩個(gè)非負(fù)數(shù)同為0,須被平方的式子與被開方的式子都為0,求得m、n的值.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0,是解決此類為題的關(guān)題型05題型05二次根式的乘除運(yùn)算1.(2021·湖南株洲-統(tǒng)考中考真題)計(jì)A.-2v2B.-2C.【答案】A【提示】將,然后根據(jù)乘法法測(cè)運(yùn)算即可?！军c(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)下列等式成立的是()A.3+4V2=7√2B.√3×V2=V5【提示】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可逐一判斷.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握基本的運(yùn)算法則.3.(2023松原市三模)計(jì)算：5√21×2√3=.【答案】30【答案】30v7【提示】根據(jù)二次根式的計(jì)算法則運(yùn)算即可.【詳解】5v2I×2V3【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)果應(yīng)該化為最簡(jiǎn)二次根式.4.(2021·天津和平·統(tǒng)考一模)計(jì)算(√5+2)(V5-2)的結(jié)果等于【提示】先用平方差公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：原式=(V5+2)(V5-2)故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式與二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵.【提示】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算計(jì)算即可.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法運(yùn)算，掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵.題型06二次根式的加減運(yùn)算【答案】0故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的減法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【答案】3v?【提示】根據(jù)題意可知，本題考查二次根式的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，即可進(jìn)行求解.故答案為：3V6【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，先化簡(jiǎn)再進(jìn)行合并二次根式是解決此類問題的關(guān)鍵.【答案】2【提示】根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)再進(jìn)行計(jì)算.A.0.5和1之間B.1和1.5之間【答案】C【提示】√12-V3整理得√3,根據(jù)1.52=2.25,22=4,即可判斷.∴實(shí)數(shù)√12-√3的值在1.5和2之間，【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)，關(guān)鍵是掌握用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值.【答案】-7代入求值即可得出結(jié)果.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減，掌握二次根式加減的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.題型07二次根式的混合運(yùn)算1.(2022-山東青島·統(tǒng)考中考真題)計(jì)算(結(jié)果是()【答案】【答案】B【提示】把括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)分別乘以再合并即可.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，掌握“二次根式的乘法運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵.【答案】2v3【提示】先計(jì)算乘法，再合并，即可求解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.的結(jié)果是【提示】根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可求解.4.(2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))計(jì)算：【答案】1+√3【提示】根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則求解即可.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.【答案】3【提示】按照二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：原式=5-(V2-1)-3+v2=3.【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.題型08二次根式的化簡(jiǎn)求值1.(2021-湖北恩施·統(tǒng)考中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：【提示】先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入進(jìn)行求解即可.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.2.(2023-河北衡水·二模)已知A,B都是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且A=2x2-5x+4,A-B=2x+1.(2)若A-B=√2,求B的值.【答案】(1)2【答案】(1)2x2-7x+3【提示】(1)根據(jù)題意，可得B=A-(2x+1),根據(jù)整式的加減進(jìn)行計(jì)算即可求解；代入(1)的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】(1)解：∵A=2x2-5x+4,A-B=2x+1M與N的大小.【提示】先計(jì)算出M-N=x2-2x,再把x=√2代入，求得M-N=2結(jié)果.題型09二次根式的應(yīng)用并加以證明.并加以證明.【答案】(1)√5×6×7×8+1=41【詳解】(1)(1)因?yàn)棰佟?×2×3×4+1=12+3×1+1=5;(2)疫情需要為解決臨時(shí)隔離問題，檢測(cè)人員利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不限)和63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的矩形隔離房，如圖設(shè)每間隔離房的面積為S(米2).問：當(dāng)每間隔離房的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，使每間隔離房面積S最大?最大面積是多少?墻【答案】(1)1,2,2,8(2)設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為y米，根據(jù)題意得出9x+12y=63,然后根據(jù)題干提供的方法求S的最大值即可.故答案為：1,2,2,8.(2)解：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為y米，,米2.故答案為2,4:))所以，當(dāng)a=-4時(shí)，線段AB最短，最短距離是8.數(shù)因?yàn)楸晃廴究床磺宄?甲乙(1)嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為-3,計(jì)算“A+B”的結(jié)果；(2)若a=3+√3,淇淇認(rèn)為存在一個(gè)整數(shù)，可以使得“A-B”的結(jié)果是整數(shù)，請(qǐng)你求出滿足題意的被污染的這個(gè)數(shù).【答案】(1)-2【答案】(1)-2a2-2a+3;(2)0.【提示】(1)根據(jù)整式的加法法則解題；(2)設(shè)污染的數(shù)字為m,利用整式的減法法則解得A-B=a2-6a+9-ma2,再利用配方法化為A-B=(a-3)2-ma2,由A-B的結(jié)果是整數(shù)得到ma【詳解】解：(1)A+B=a2-4a+6+(-3a2+2a-3)(2)設(shè)污染的數(shù)字為m,∵A-B的結(jié)果是整數(shù)即存在整數(shù)0滿足題意.【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減混合運(yùn)算、涉及完全平方公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.小明在思考時(shí)，感覺無(wú)從下手，就去請(qǐng)教學(xué)霸小剛，小剛審題后思考了片刻，對(duì)小明說(shuō)：我們可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參令√2023=x,則2023=x2,原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0(a≠b).從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和v2023. 【詳解】解：令√2023=x,則2023(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0(a≠b).=2023.真題實(shí)戰(zhàn)練真題實(shí)戰(zhàn)練A.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及在數(shù)軸上表示解集.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式有意義的條件.2.(2022-內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題)下列說(shuō)法正確的是()①若二次根式√1-x有意義，則x的?、廴粢粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,則它的邊數(shù)是5.⑤一元二次方程x2-x-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.A.①③⑤B.③⑤C.③④⑤D.【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、估算無(wú)理數(shù)的大小根的判別式判斷即可.【詳解】解：①若二次根式√1-x有意義，則1-x≥0,解得x≤1.故x的取值范圍是x≤1,題干的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.②8<√65<9,故題干的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.③若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,則它的邊數(shù)是5是正確的.④√16=4的平方根是±2,故題干的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.∴一元二次方程x2-x-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故題干的說(shuō)法是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.也考查了二次根式有意義的條件、估算無(wú)理數(shù)的大小、算術(shù)平方根、平方根和多邊形.√(k-1)2-(√2-k)2的化簡(jiǎn)結(jié)果是()A.-1B.1C.-1-2k=-1.-√3×√2=-V6,-VZ×√2=-2,5.(2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題)下列計(jì)算正確的是()A.(V2)?=√2B.2√3+3v3=5v6C.V8=4V2D.V3(2V【答案】【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解.故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.2V3+3V3=5V3,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.V8=2√2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：6.(2023.重慶·統(tǒng)考中考真題)估計(jì)，的值應(yīng)在()【答案】A【分析】先計(jì)算二次根式的乘法，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算即可得.∴√25<V30<V36,即5<√30<6,【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵.7.(2022·四川瀘州-統(tǒng)考中考真題)與2+√15最接近的整數(shù)是()A.4B.5【答案】C【答案】C【分析】估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案.【詳解】解：∵12.25<15<16,∴最接近的整數(shù)是6,【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.…,一般地，對(duì)于正整數(shù)a,b,如果滿足 b+時(shí)，稱(a,b)為一組完美方根數(shù)對(duì). 對(duì).則下面4個(gè)結(jié)論：①(4,12)是完美方根數(shù)對(duì)；②(9,91)是完美方根數(shù)對(duì)；③若(a,380)是完美方根數(shù)對(duì)，則a=20;④若(x,