2023年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（四）

2023年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（四）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若復(fù)數(shù)Z滿足1-zi=z+i,則zW=（）

A.V2B.—1C.1D.—V2

2.若集合M={x|x（3-x）＞0},N={x|淆＜0},則MnN=（）

A.[-3,2]B.（0,3]C.[-3,2）D.（0,2]

3.已知。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足麗=：而，則（）

A.AD=^AB-^ACB.AD=1AB+^AC

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

4.某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動(dòng)，則至少有1名

男醫(yī)生參加的概率為（）

A-|B.|D.|

5.如圖，是1963年在陜西省寶雞市出土的一口“何尊”（尊為古代的

酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有銘文122字.銘文中的“宅茲中國”為

“中國”一詞最早的出處.“何尊”可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而

成，經(jīng)測量，該組合體的高約為40cm,上口的直徑為28cm,圓柱的高

和底面直徑分別為25cm,18cm,則“何尊”的體積大約為（）

A.40407rcm3B.4082zrcm3C.4182ncm3D.4288ncm3

6.已知sin(a則cos(2a+鋁二()

A8R1702xT-5

A,元B.元C.—D.一

7.設(shè)a=華，b=［，c=空，則()

34TT

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

8.在三棱錐P-4BC中，P41底面48C,△ABC和△P4B的外接圓半徑分別為q，r2,若三

棱錐P-4BC外接球的表面積與體積數(shù)值相同，AB=4,則r1+七取得最大值時(shí)，乙4cB的正

弦值為（）

A*B.2C.巨D(zhuǎn).烏

551313

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知函數(shù)f(x)=4sin(3X+")(/>0,3>0,-TTVwV")，且工=也%=?是函數(shù)/(%)

相鄰的兩個(gè)最大值點(diǎn)，V%6/?,-2</(%)<2,則()

A.A=2B.a)=2

C.0=_普D./(%-=)

10.在長方體ABCD-41&C1D1中，4B=BC=4C，=4,貝義)

A.直線ADi與CBi所成的角為45。

B.直線與C&所成的角為90。

C.直線A5與平面4BC。所成的角為30。

D.直線45與平面BBiDi。所成角的正弦值為華

11.已知點(diǎn)M(4,4)為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則()

A.若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,|4B|的最大值為8

B.若直線4B經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，|AB|的最小值為4

C.若刀=2而，則直線AB的斜率為C或-，3

D.直線MF,MB的傾斜角互補(bǔ)，MF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為4則直線4B的斜率為一;

12.已知函數(shù)/(x),9。)的定義域均為R,導(dǎo)函數(shù)分別為/'(x),g'(x),若f(3-乃=g(x)-2,

f(x)=g'(x+l),_Sg(2+x)+g(-x)=0,則()

A.4為函數(shù)g(x)的一個(gè)周期B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-2)對(duì)稱

c.Sn=l4g(n)=oD.X怒4f(n)=4048

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若(x2—a)(x+；)i。的展開式中迪的系數(shù)為30,則。=.

14.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)(2,0),與直線尤=-2相切，且被y軸截得的弦長為4，與，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)

方程為.

15.若數(shù)列｛a”｝滿足的=sin*anan^=斯-1-1(n？2,neN*),貝！|。2023=-

16.已知Fi，尸2分別為橢圓C：&+,=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為4,。為仍的

中點(diǎn)，且F1D_LAF2,直線F1D與C交于M,N兩點(diǎn),且AAMN的周長為28,則橢圓C的短軸長

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊,且3c=5(acosB-bcosA).

(1)證明：tanA=4tanB-,

(2)若。為的中點(diǎn)，且CD=5,c=10,求△ABC的周長.

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為無，%=1,3S“=(n+2)an.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛白｝的前ri項(xiàng)和為7；,證明：Tn6[1,2).

an

19.(本小題12.0分)

為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y,設(shè)z=)y,收集數(shù)據(jù)如下：

666

W(々-X)2

XyZ-%)(%-y)-X)(Zi-Z)

i=li=li=l

3.5062.833.5317.50596.5712.08

表(II)

(1)根據(jù)表(I)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)V關(guān)于天數(shù)%變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷y=bx+

a(a,b為常數(shù))與y=n/2”(豈為2為常數(shù)，且制＞322H0)哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于

天數(shù)x變化的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果和表(II)中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留2位小數(shù)).

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%),(u2,v2)，…，(斯，琢)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線p=gu+a的斜率和截距

的最小二乘估計(jì)分別為/?=叱*?=

▲繁殖個(gè)數(shù)y

200

150

100

50

0-----------------i----------?

°2468天數(shù)工

20.(本小題12.0分)

如圖，在直四棱柱4BCD-必當(dāng)前/中，底面ABCD為菱形，。心=3,AD=2,4BCD=§

E為棱BB］上一點(diǎn),BE=1,過4E,前三點(diǎn)作平面a交。劣于點(diǎn)G.

(1)求點(diǎn)。到平面BCiG的距離；

(2)求平面4EC與平面8EC夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

已知產(chǎn)(―2,0)為雙曲線C：弓―寫=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過尸作互相垂直的兩條直線人,

Qb

12,斜率分別為七，心(七人2片0)，若h與c交于A,B兩點(diǎn)，％與C交于。，E兩點(diǎn)，M為AB的

中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)自=3時(shí)，直線。M的斜率為2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求4MONVAMFN的面積之比.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=6(1-x)e*+Inx,mG(0,e-1),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Q)證明：函數(shù)/(%)存在唯一的極值點(diǎn)伙

(2)在(1)的條件下，若/'(a)=0,且a>0,證明：30-a>2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：l-zi=z+i,

l-i=(l-0^=-2i=』

1+i(l+i)(l-i)2

:*zz=—i2=1.

故選：C.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后求出共加復(fù)數(shù)即可.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共甄復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：集合M={x|x(3-％)>0}={x[0<x<3},N={x|<0}={x|-3<x<2},

:.MCN={x|0<x<2).

故選：D.

先求出集合M,N,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槎?：麗,所以點(diǎn)D是線段BC的一個(gè)四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C,

13

前

-+-

44

所以AB=4而-34C.

故選：C.

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，即可得解.

本題考查平面向量的基本定理，熟練掌握平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,

考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：“至少有1名男醫(yī)生”的可能包括“1男2女”，“2男1女”，

21

設(shè)“2男1女”的事件為A,則P(A)=B11=V，

設(shè)“1男2女”的事件為B,則P(B)=誓=|,

則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為：P(4)+P(B)=I.

故選：C.

本題根據(jù)“至少有1名男醫(yī)生”的可能包括“1男2女”，“2男1女”，由此能求出結(jié)果.

本題考查古典概率模型計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由題意可知，圓臺(tái)的高度為40-25=15,

上端圓臺(tái)的體積為：匕=gX兀(142+92+14x9)X15=20157T,

下端圓柱的體積為：%=乃x25x92=2025兀，

???該“何尊”的體積V=V1+V2=20157T+2025TT=4040/r,

故選：A.

根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解.

本題考查圓柱和圓臺(tái)的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：???sin(a咔=一|,

???cos2(a-^)=1-2sin2(a-^)=l-2x^=^,

OOCtD

???cos(2a+y)=cos(2a+y-2n)=cos2(a一看)=黃.

故選：B.

根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及角之間的轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：a=￡■二b=粵,c=X，

3e47r

設(shè)/(%)=手，r(x)=L^CZ，?">e時(shí)，f(x)<0,

???/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

又Q=/(3),b=/(e*2),c=/(TT),3<7T<e2,

a>c>b.

故選：B.

得出：。=里13=絆4=也工，設(shè)/。)=酌，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷/(x)的單調(diào)性，根

3eLnx

據(jù)單調(diào)性即可得出a,b,c的大小關(guān)系.

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)比較大小的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法,

基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)AABC和AP4B的外接圓圓心分別為。1和劣，因?yàn)镻AJ■底面ABC,ABu底面4BC,

所以P4_LAB,

則AP/IB為直角三角形，。2即為PB的中點(diǎn)，所以PB=2「2.

又因?yàn)锳B=4,所以24=J4以-16=以一4,

設(shè)三棱錐P-48C外接球的球心為0,連接。?！?，如圖所示,

則。O1J■底面4BC,。遇u底面ABC,所以001J.。),。。1=：P4=J4一4,所以。4=

J。遇2+。。/=J*+以-4,

因?yàn)槿忮FP-4BC外接球的表面積與體積數(shù)值相同，所以1-0屋=4兀-0聯(lián)，解得。4=3,

所以廳+以=13,

2o

22

13=rj+母=(G+r2)-2r注2之(/1+^)-⑺愛)=勺皆)4-r2<726,當(dāng)且僅當(dāng)q=

「2=攀時(shí)，等號(hào)成立，即r1+-2的最大值為中,

又

4B2r

sinzzlCB1(

AB_4_2^6

???sin乙4cB2r^=>J~26=13

故選：C.

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,△ABC和APaB的外接圓圓心分別為名,外，則0。11底面

ABC,有。4=J。1爐+。0：=Jq2+以一％得廳+以=13,通過基本不等式可求以+萬的

最大值，代入正弦定理即可求解.

本題考查了三棱錐外接球的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：/(x)=Asin(a)x+(p')(A>0,3>0,-rt<<p<n),且x建，x=今是函數(shù)/'(x)相

鄰的兩個(gè)最大值點(diǎn)，

其周期7=生=?_]=兀，

366

???3=2,故B正確；

又VxER,-2</(%)<2,

???4=2,故A正確；

令(X2+租=2kn+^(fcGZ),

則9=2kn+(keZ),又一兀<(p<n,

???9屋，故C錯(cuò)誤；

/(%)=2sin(2x+2)；

???/(-5)=2sin[2x(一今+)=-2,為/(x)的最小值，

y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=一利稱，

故D正確.

故選：ABD.

依題意，可求得/a)=2sin(2x+》從而可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的正誤作出判斷.

本題考查由y=4sin(3x+0)的部分圖象性質(zhì)確定其解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】CD

【解析】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因

為48=BC=4門，AAi=4,

所以A(4C,0,0),。式0,0,4),C(0,4c0),

BI(4C,4，3,4),

所以麗=(-4C,0,4),函=(4?0,4),

ADi?CB]=一48+16=一32'cos<AD-y>C>

一布i.?西______32__1

-I祝II西I-V48+16X,48+16~~2,

所以異面直線4。1與。當(dāng)所成的角為60。，選項(xiàng)A錯(cuò)

誤;

因?yàn)?(4，？,0,4),所以鬲=(4<^,-4<1,4),

計(jì)算福?兩(=—48+16W0，所以直線AD1與C4所成的角不是90。，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

易知平面4BCD的一個(gè)法向量為利=(0,0,1),元.福=4,cos<匯福>=[祟=^

1XV48+16

1

21

所以直線AD1與平面4BCD所成的角為30。，選項(xiàng)C正確;

易知平面BDCiBi的一個(gè)法向量為記=(1,-1,0),

砧?沆=—4Gcos<m,砧>=?1+慮+16=-￥所以直線4。1與平面

BBiQD所成角的正弦值為?，選項(xiàng)。正確.

故選：CD.

建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，即可計(jì)算空間中的直線與直線，以及直線與平面所成角

的大小問題.

本題考查了空間中的直線與直線以及直線與平面所成的角計(jì)算問題，是中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：?點(diǎn)M(4,4)為拋物線C：y2=2px(p>0)±-

點(diǎn)，

.?.16=8p,得p=2.即拋物線方程為y2=4x,

設(shè)4(Xi，%),8(%2/2)，

AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

-.x1+x2=8,而|4B|W=F|+|BF|=石+*2+2=10,當(dāng)且僅當(dāng)直線48過焦點(diǎn)尸時(shí)取等號(hào),

即|4引的最大值為10,故A錯(cuò)誤：

8.若直線48經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，由于過焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，通徑長為2P=4,故|4B|的最小值為4,

故8正確；

C.若刀=2而，則4B,尸三點(diǎn)共線，則直線4B過焦點(diǎn)F（l,0），且直線4B的斜率不為0,故設(shè)直

線4B的方程為％=rny+1,代入y2=4x,得y?—4my—4=0,

則/=16m2+16>0,

則為+yi=4m,yry2--4,

-

因?yàn)闃?biāo)=2FB>則（1一Xi，-yi）=2（X21,為），故乃=-2y2>解得羽=2,

故當(dāng)紇=—時(shí)，％=2\T~2'm-當(dāng)丫2=時(shí)，Yi=-2yJ-2>m=—故直線4B的

斜率工=2/至或一2，9，故C錯(cuò)誤；

m

。.直線MEMB的傾斜角互補(bǔ),

4

則直線MF的斜率KMF一口一磊石-豆工-后五一西一3,

44

解得力=-1，則4（；,一1），

4

同理=^7^，

由于直線MF，MB的傾斜角互補(bǔ)，則AMB=—左/vfF=—全

44AQ

即=在五=一§，得4+如=-3,得為=-7,則4（彳,一7）,

—7—（—1'）—61

故直線4B的斜率k=49_1=運(yùn)=-5,故。正確.

44

故選：BD.

先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用直線和拋物線相交是的弦

長公式，以及直線斜率公式分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查直線和拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)拋物線的定義求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用弦

長直線，直線斜率公式進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：由g(2+x)+g(-x)=0得g(2-%)=-g(x),

由/(3-x)=g(x)-2求導(dǎo)得-r(3-x)=/(%),

又r(x)=g'(x+1)得尸(3-x)=g'(4-x),所以一g'(x)=g'(4-x),

所以g(x)=g(4-x)+c,

所以g(2)-g(2)+c=c=0,g(x)=g(4-x),

所以g(4-x)=一。(2-x)=g(x+2)=-g(x)=g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

所以4為函數(shù)g(x)的一個(gè)周期，A正確；

/(3-x)=g(x)-2ng(x)=/(3-x)+2,故g(2-x)=/(3-(2-x))+2=f(l+x)+2,

因此f(3—x)+2+/(I+x)+2=00f(3-x)+f(1+x)=-4,

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-2)對(duì)稱，8正確；

在g(2+x)+g(-x)=0中，令x=-1,二g⑴=0,

由/'(x)=g'(x+1)得/Q)=g(x+1)+c,c為常數(shù),

故/(-x+4)=g(-x+5)+c,

由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,—2)對(duì)稱，

f(x)+f(f+4)=g(x+1)+c+g(-x+5)+c=-4,

因此+1)+g(-x+5)+2c=-4=g(x+1)-g(x-3)+2c=-4=>c=-2,

所以f(x)=9(x+l)-2,

由于g(x)的周期為4,所以/(x)的周期也為4,

由于g(4-x)=/(3-%)+2=g(x),

所以g(3)=g(l)=0,g(4)+g(2)=g(0)+g(2)=0,

所以(n)=506[g(l)+g⑵+g(3)+g(4)]=0,故C正確，

由于/'(x)=g(x+1)-2,

4

X啰14f(n)=+1)-2]=2怒g(n+1)-2x2024

=506[g(2)+g(3)+g(4)+g(5)]-2x2024

=0-4048=-4048,故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

根據(jù)題中條件可得g(x+2)=-g(x)即可判斷4,由f(3-x)=g(x)-2的關(guān)系可判斷B,由

f'(x)=g'(x+1)得/(X)=g(x+1)+C，進(jìn)而可得c=-2,結(jié)合周期性即可判斷CD.

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】2

10rr102r

【解析】解：(%+；)i°的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+1=C[0x-(j)=C[0x-.

令10-2r=4,或6.

解得r=3,或2.

30=^。一忒K，解得。=2.

故答案為：2.

利用通項(xiàng)公式即可得出.

本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、分類討論方法、方程思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(％—2尸+(y+4)2=16

【解析】解：設(shè)圓M的方程為Q—a)2+(y—b)2=*,

222

f(2-a)+(0-b)=r,=2

由題意可得｛佃+2|=r,解得卜=_4,

+?x41^)2=N(r=4

???圓M的方程為(x-2)2+(y+4)2=16.

故答案為：(x-2)2+(y+4)2=16.

'(2-a)2+(0-b^2=r2

設(shè)圓”的方程為。一￡1)2+0-。)2=「2,由題意得[佃+2|=「,求解即可.

\a\2+x4A/-3)2=r2

本題考查圓的方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

15.【答案】1

aa

【解析】解：???a1=sin7=；，ann-i=n-i-l(n22,nGN*),

OL

1

：?。2=-1，。3=2,Q4=,，=—1，

.?.數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

.___1

a2023-03x674+1==于

故答案為：

根據(jù)數(shù)列的遞推式，求出數(shù)列的前5項(xiàng)，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.［答案］7V3

【解析】解：???。為“尸2的中點(diǎn)，月.&。14尸2，

A|MF2|=\MA\9\NF2\=\NA\,

v\MFt\+\MF2\=2a,\NF2\+\NFt\=2a,

??,+IMF2I+\NF2\+\NFi\=4a,

A\MA\+\MFr\+\NA\+INF/=4a,

A\MA\+\MN\+\NA\=4a,

???△AMN的周長為28,

:.4a=28,???a=7,

由已知可得A(b,0),&(0,—c),F2(0,C),。(猛)，

c

-+

2cc

---X--OW=3CT

bo

-

2

7

??.b2=3c2,???4c2=Q2=49,c=g,

:.b=Gx'=亨，.??短軸長為7，？.

故答案為：

c

由題意可得|M川+|MN|+|N4|=4a,可求a,進(jìn)而可得舉X言=去（g）=-1,可求b,進(jìn)

而可求短軸長.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算解能力，屬中檔題.

17.【答案】證明：(1)由題意知3c=5(acosB-bcosA),

故由正弦定理可得3si?iC=5(^sinAcosB-sinBcosA),即3s譏C=5sin(A—B),

又C=—+所以3SE(4+B)=5sin(A一B),

^3sinAcosB+3cosAsinB=SsinAcosB-ScosAsinB,

^sinAcosB=4cosAsinB,而在△48c中，cosAH0,cosB00,

rrisinAcosB4cosAsinB

所H以際病=忘就萬'^tanA=4tanB；

解：（2）若。為4B的中點(diǎn)，且CD=5,c=10,即CD=；4B,

則AC1CB,

故tcmA=7,tanB=由tanA=4tanB得；=—,a=2b,

baba

由c=10可得a?+b2=5b2=100,b=2V-5>

則a=4A/-5,

故4ABC的周長為a+b+c=6V-5+10.

【解析】(1)由正弦定理邊化角化簡可得3sinC=5sin(A-B),再結(jié)合三角誘導(dǎo)公式以及兩角和的

正弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可證明結(jié)論；

(2)由題意推得4CLCB,結(jié)合(1)的結(jié)論可得a=2b,結(jié)合勾股定理即可求得a,b,即得答案.

本題考查了正弦定理和三角誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)?S”=5+2)即，

所以當(dāng)nN2時(shí)，3s71T=(n+l)0n_i，

兩式作差可得3即=(n+2)an-(n+l)an_i，

整理得(n-l)a?=(n+又a]=1,..an^0,

.an_n+1

a

n-l九-1'

._03￡2_n+1_n_n-143日(幾十D

n

一_an_i,an_2......做Qi9一九―]九—2.九一3.........2,12，

當(dāng)n=1時(shí)，ar=1也符合上式，

綜上an=華2

證明：(2)由(1)可知2=水篇=2(；一磊)，

111111111

.??〃=工+心+~+疏=2[(1_5)+(2_§)+—+4_而)]=2(1一不)<2,

又易知7；單調(diào)遞增，7；2A=1

.??(=2(1-+)€口,2).

【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推式可得n>2時(shí)，3Sn_i=(n+1)頷-1，采用作差的方法可得看=當(dāng)，

結(jié)合累乘法即可求得答案;

(2)由(1)可得｛；｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和的方法，即可求得〃，從而證明結(jié)論.

an

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)由題意作出散點(diǎn)圖如圖:

▲繁殖個(gè)數(shù)y

200-1-------r-

150

1001-十一-

50.?

oL--：------------?

02468天數(shù)工

由散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)是沿指數(shù)型曲線分布，不是分布在某直線附近,

故y=，無為常數(shù)，且之＞0,a2K0)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)X變化的回歸方程類

型.

(2)由題總知z=Inyr故z=bx+a

a=z-bx=1.12,

則z=0.69x+1.12-

故y=e0.69X+1.12.

【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)即可作出散點(diǎn)圖，據(jù)此可判斷出結(jié)論;

(2)由最小二乘法計(jì)算b，a，寫出回歸方程，即可求得答案.

本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴連接力C,交于點(diǎn)。,

由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征知：平面平面BCCiBi，

又AGu平面4。。送1，4G〃平面BCG電

???平面4GCin平面BCC/i=GE,AGu平面

:.AG“GE,同理可得GG〃AE,

四邊形4GC1E為平行四邊形，AG=GE,

7T

又/。=B?,Z-ADG—乙CmE=

DG—B]E-2,DrG=1,

???四邊形4BCD為菱形，.?.2CJ.8D,

以65，而正方向?yàn)閤,y軸，作z軸〃可建系如圖,

VAB=BC=2,4BCD=宗BD=2,AC=2V4-1=2/3,

e(0,1,0),。(0,-1,0),Ci(-Co,3),G(0,-l,2),

：.~DB=(0,2,0).西=(一口—1,3)，BG=(0,-2,2).

設(shè)平面BCiG的法向量元=(x,y,z),

則(元-BC；=—>J~3x—y+3z=0

取元=(2,，3,J3),

'{jt-BG=-2y+2z=0

???點(diǎn)D到平面BC】G的距離d=曙=*=粵；

(2)由(1)知E(0,l,l),又4(q,0,0),8(0,L0),。(一門,0,0),

???荏=(一<3,1,1)，~CE=(^1,1),詼=(0,0,1),

設(shè)平面AEC的法向量日=(x,y,z),

n-AE——y/~~3x+y+z=0

則取詁=(0,L—l),

n-=y/~3x+y+z=0

設(shè)平面BEC的法向量記=(a,瓦c),

則伴塞片3+c4

取沆=(1,一Co),

元三=_q=_W

A|cos<m,

|m||n|<7x24

.??平面AEC與平面BEC夾角的余弦值為手.

4

【解析】(1)連接AC,BD交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的

向量求法可求得結(jié)果;

(2)根據(jù)面面平行和線面平行性質(zhì)可證得四邊形AGCiE為平行四邊形，由此可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用

面面角的向量求法可求得結(jié)果.

本題考查向量法求解點(diǎn)面距問題，向量法求解面面角問題，向量夾角公式的應(yīng)用，屬中檔題.

21.【答案】解：⑴已知產(chǎn)(一2,0)為雙曲線C：5-%=1(。>0,/?>0)的左焦點(diǎn),

所以尸(-2,0),

因?yàn)榻?jīng)過F的直線4與C交于4,8兩點(diǎn)，

不妨設(shè)B(%2，y2)，

‘五_/=1

則卜：,

仁一7一1

兩式作差得(X1+X2)，L&)_。巾2)”2)=0,

a」b

即山

l

yi+y2bxt-x2

因?yàn)楫?dāng)心4時(shí)，直線OM的斜率為2,

所以：

2b26

2

整理得$=3,①

又。2+。2=22=4,②，

聯(lián)立①②，解得。2=3,爐=1,

2

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為段-y2=1;

(2)不妨設(shè)4(X1，乃)，8(%2/2)，直線I的方程為y=/iQ+2)，

2

由(1)知雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為號(hào)一y2=1，

,

y

)2

y

l3

消去y并整理得（1-3M*_12k*-12/cf-3=0,且1一3好手0,4>0,

-12必-3

可得+%2=I），X1X2=

1-3好

所以空6居丫1+丫2=2kl

1-34'2-1一3好

2

即M(號(hào)，奇)，

因?yàn)橹本€。，％相互垂直，

所以A1,七=—1，

同理，用/替換七，可得N(六,含)，

2kl二2〃

當(dāng)七4士1時(shí)，直線MN的斜率為富」?=一逢6,

l-3kjkj-3

所以直線MN