山西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)?導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)與解三角形?平面向量?復(fù)數(shù)?數(shù)列?立體幾何?直線與圓?圓錐曲線.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)的模不大于5，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2.若集合，則（）A.B.C.D.3.“”是“是質(zhì)數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若平面截球所得截面圓的面積分別為，且球心到平面的距離為3，則球心到平面的距離為（）A.B.2C.D.4

5.向量在向量上的投影向量為，則（）A.B.C.8D.12

6.若函數(shù)在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則（）A.有最大值，且最大值為58B.有最小值，且最小值為52C.有最大值，且最大值為60D.有最小值，且最小值為587.如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則直線與直線所成的角為（）A.B.C.D.8.已知正數(shù)滿足，現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中，所有可能成立的結(jié)論的序號(hào)為（）A.③B.①④C.②④D.①③二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.直線的傾斜角為B.C.直線的傾斜角為D.10.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則（）A.的斜率的最小值為-2B.的斜率的最小值為-3C.的方程為D.的方程為11.如圖，在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，則（）A.平面平面B.梯形內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面C.過可作一個(gè)平面，使得到這個(gè)平面的距離相等D.梯形的面積是面積的倍12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A.B.直線的斜率是C.線段的中點(diǎn)到軸的距離是D.的面積是三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)是__________.（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一個(gè)）函數(shù)14.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍是__________.15.在等比數(shù)列中，，則__________.16.若是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）在等差數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，底面，.（1）若四棱錐的體積為2，求的長；（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.19.（12分）如圖，在四邊形中，.（1）證明：.（2）證明：.20.（12分）已知是橢圓的左頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且，求弦的長.21.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，證明：當(dāng)，且時(shí)，恒成立.22.（12分）已知過點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程為.（1）求的方程；（2）已知是的實(shí)軸端點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上.高三數(shù)學(xué)試題參考答案1.B因?yàn)?，所以，解?2.D.3.D因?yàn)?，所?81不是質(zhì)數(shù)，故“”是“是質(zhì)數(shù)”的既不充分也不必要條件.4.A平面截球所得截面圓的半徑分別為，則，則.設(shè)球的半徑為，球心到平面的距離為，則，所以.5.B因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋?6.C當(dāng)時(shí)，，令，得，要使在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，解得.7.D設(shè)分別為棱的中點(diǎn)，連接，易得，所以（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成的角.設(shè)正三棱柱的棱長為，則，，所以.8.D由，得，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，或.9.CD因?yàn)橹本€的斜率為-1，所以直線的傾斜角為.因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以.10.BCD因?yàn)?，所以的斜率的最小值?3.因?yàn)?，所以的方程?因?yàn)?，所以的方程為，?11.ABC在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，可證，因?yàn)?，所以平面平面正確.連接，，設(shè)，連接，過點(diǎn)作的垂線，交于，交于，因?yàn)樵谏系酌娴纳溆盀?，易證，則，又，所以平面，所以平面，B正確.連接，取的中點(diǎn)，連接，所以過直線的平面一定滿足到這個(gè)平面的距離相等，C正確.因?yàn)樘菪闻c的高分別為，且，所以梯形的面積與面積的比值為，錯(cuò)誤.12.ACD由題意可得直線的斜率不為0，則可設(shè)直線.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，即，解得.因?yàn)椋?，解得，則正確.因?yàn)?，所以，則直線的斜率是.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率大于0，所以直線的斜率是，則錯(cuò)誤.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，即線段的中點(diǎn)到軸的距離是，則C正確.因?yàn)?，所以，則的面積，故D正確.13.奇因?yàn)?，所以是奇函?shù).14.因?yàn)?，所以，所以，則，又，所以的取值范圍是.15.設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，，則.又也滿足，所以.16.設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得最大值.17.解：（1）設(shè)的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上，18.解：（1）依題意可得梯形的面積，因?yàn)榈酌妫运睦忮F的體積，解得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.因?yàn)?，所?故直線與平面所成角的正弦值為.19.證明：（1）在中，由正弦定理得，所以，解得，所以，則.（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，則.在中，.所以，因?yàn)?，所以，所以，?20.解：（1）依題意可得.解得，所以的方程為.（2）聯(lián)立消去得，則.因?yàn)榻?jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在的內(nèi)部，所以恒成立.由，解得.所以，所以.21.（1）解：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以在處取得極小值，且極小值為無極大值.（2）證明：的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)，且時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，