2023-2024學(xué)年海南省?？谑行阌^(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年海南省?？谑行阌^(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．2．在棱柱中，（

）A． B． C． D．3．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A．1 B． C．3 D．45．已知，，且，則（

）A． B．2 C．4 D．66．某直線l過點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是（

）A． B． C．或 D．或7．給出以下命題：①直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直；②直線的方向向量為，平面的法向量為，則；③平面的法向量分別為，則；④平面經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，向量是平面的法向量，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．在一個(gè)平面上，機(jī)器人甲到與點(diǎn)距離為5的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)的距離不變，機(jī)器人乙在過點(diǎn)與的直線上行進(jìn)，機(jī)器人甲與機(jī)器人乙的最近距離是（

）A． B． C． D．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部公選對(duì)的想2分，有選錯(cuò)的很0分）9．下列方程表示的直線中，與直線垂直的是（

）A． B．C． D．10．已知圓和圓，則（

）A． B．圓半徑是4 C．兩圓相交 D．兩圓外離11．已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．圓關(guān)于對(duì)稱C．直線與圓相切D．若圓與圓恰有三條公切線，則12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到的距離的取值范圍為D．對(duì)于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形三?填空題（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，則．14．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為15．設(shè)直線l的方程為，若直線不過第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為.四?解答題（本小題共6小題，共70分）17．已知三點(diǎn)，，，D是BC中點(diǎn)．（1）求直線AD的方程；（2）求過C與AB垂直的直線方程．18．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn).(1)證明.(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知、（1）求以點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的方程為，判斷直線與（1）中圓的位置關(guān)系，并說明理由.若直線與圓相交，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng).20．三棱臺(tái)中，若面，，，，，分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.21．圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上．(1)求圓的方程．(2)過點(diǎn)作直線，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．22．如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．1．D【分析】利用向量的加法運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】.故選：D.2．B【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則直接計(jì)算.【詳解】，故選：B.3．D【分析】根據(jù)直線方程求得直線的斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，即，且，所以，即直線的傾斜角為.故選：D.4．B【分析】根據(jù)兩條平行線間的距離公式求解.【詳解】將直線化為，因?yàn)橹本€與直線平行，設(shè)兩條平行線間的距離為，所以根據(jù)兩平行線之間的距離公式.故選：B5．A【分析】根據(jù)空間向量共線定理列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得，即，所以,所以，得，所以.故選：A6．D【分析】討論在x軸和y軸上的截距均為0或均不為0，設(shè)直線方程并由點(diǎn)在直線上求參數(shù)，即可得直線方程，進(jìn)而寫出其斜率.【詳解】當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，所以所求直線的方程為，即，綜上，該直線的斜率是或．故選：D7．B【分析】①當(dāng)兩直線的方向向量數(shù)量積為零時(shí)，兩直線垂直；②當(dāng)直線的方向向量和平面的法向量數(shù)量積為零時(shí)，直線和平面平行；③當(dāng)兩平面的法向量平行時(shí)，兩平面平行；④求出的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為零列關(guān)于的方程組求解.【詳解】①因?yàn)椋灾本€與垂直,正確；②因?yàn)椋灾本€平面，或直線在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；③若，則，所以，此方程組無解，所以平面不平行于平面，錯(cuò)誤；④由得，因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以，解得，即，正確.故選：B.8．D【分析】分別求出機(jī)器人甲、機(jī)器人乙的運(yùn)行軌跡，再求出圓心到直線的距離，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)闄C(jī)器人甲到與點(diǎn)距離為5的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，且在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)的距離不變，所以機(jī)器人甲的運(yùn)行軌跡為；又因?yàn)?，，所以機(jī)器人乙的運(yùn)行軌跡為直線，其方程為：；機(jī)器人甲與機(jī)器人乙的最近距離，其中為圓心到直線的距離，為圓的半徑，又因?yàn)?，，所以，即機(jī)器人甲與機(jī)器人乙的最近距離為.故選：D.9．BC【分析】根據(jù)斜率確定正確選項(xiàng).【詳解】直線的斜率為，直線、直線的斜率為，不符合題意.直線、直線的斜率為，符合題意.故選：BC10．AC【分析】先根據(jù)配方法確定兩個(gè)圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置.【詳解】對(duì)于B，因?yàn)閳A，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，因?yàn)閳A，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，故A正確；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以兩圓相交，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．BCD【分析】將圓M的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知圓心和半徑，利用點(diǎn)到圓心的距離和半徑比較，可知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷A選項(xiàng)正誤；利用圓的對(duì)稱直線過圓心，判斷B選項(xiàng)正誤；利用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷C選項(xiàng)正誤；利用兩圓外切，判斷D選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，已知圓：，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，圓心，點(diǎn)到圓心的距離，所以點(diǎn)在圓外，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將圓心代入直線，得成立，所以直線過圓心，則圓關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相切，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD12．BC【分析】根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系．

所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．13．##【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為.14．x2＋y2－4x＝0.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為,則圓方程為:(x?a)2+y2=4,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得,解得a=2或(舍去),所以圓C的方程為:(x?2)2+y2=4,整理為一般方程為:.15．【分析】分兩種情況討論，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可，斜率存在時(shí)利用斜率和截距的限制條件可得答案.【詳解】①當(dāng)，即時(shí)，直線為.該直線不過第三象限，符合；②當(dāng)，即時(shí)，直線化為斜截式方程為，因?yàn)橹本€不過第三象限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在軸上的截距大于等于零．即，解得．綜上：，即.故答案為.16．【分析】計(jì)算出以及、的值，可求得的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：由題意可得，，所以，，，，所以，.因此，與所成角的余弦值為.故答案為.17．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)是中點(diǎn)，得到坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式寫出直線方程，整理得到答案；（2）根據(jù)與垂直，得到所求直線的斜率，再由直線過點(diǎn)，點(diǎn)斜式寫出直線方程，整理得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，且是中點(diǎn)，所以，而，所以由兩點(diǎn)式可得的直線方程為，整理得；（2）直線的斜率，所以與垂直的直線的斜率，所以過與AB垂直的直線為，整理得.本題考查直線方程中的兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式，兩直線垂直的斜率關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.18．(1)證明見解析；(2)【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量證明垂直關(guān)系和求解角度.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則則，，則；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，則，令，，則，設(shè)直線與平面所成角為.則直線與平面所成角的正弦值為.19．（1）；（2）直線與圓相交，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.【分析】（1）求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）計(jì)算圓心到直線的距離，由可判斷直線與圓相交，并利用勾股定理可計(jì)算出直線被圓所截得的弦長(zhǎng).【詳解】（1）圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓心到直線的距離為，所以，直線與圓相交.因此，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時(shí)也考查了直線與圓的位置關(guān)系的判斷以及直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，即可得到四邊形是平行四邊形，則，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）

連接，由，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，，于是，由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面．（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，解得，，所以點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為．21．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）圓心在直線上，不妨設(shè)圓心為，則，得，故圓的方程為；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為,，顯然滿足，②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：即，由（1）可知：圓的半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到距離．綜上，的方程為或．22．(1)(2)存在，【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；（2）