2024年中考數(shù)學幾何模型歸納（全國通用）：17 全等與相似模型-對角互補模型（教師版）

專題17全等與相似模型-對角互補模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解模型1、旋轉中的對角互補模型思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側型)2)“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側型)B條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D,∠AOB=∠DCE,·B條件：如圖，已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠.的一邊與BO的延長線交于點D,.6)“2a對180°-2a模型”結論：①PB+PC=√3PA;圖2注意：①AP=BP,②∠A+∠B=180°,③OP平分∠AOB,7)“蝴蝶型對角互補模型”BC.團結論①正確.BC.團結論①正確.如圖，過點E作EIBAD于點I,過點F作FGDAD于點G,過點F作FHZBC于點H,ADEF相交于點O.BEO≥EI(EFBAD時取等于)=FH=GD,OF≥GH(EFEAD時取等于)=AG.例2.(2022遼寧九年級期末模擬)已知AOB=90°,在團AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直B圖1【詳解】解：圖②中OD+OE=√ZOC成立.有@CPD2ZCQE,EDP=EQ,EOP=OD+DP,0Q=OE-EQ,BOC為@AOB的角平分線，且CKBOA,CHZOB,ECK=CH,@CKD=2CHE=90°,點D作DB⊥MN于點B,連接CB.【詳解】(1)解：如圖1,過點C作CE⊥CB交MN于點E,【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，構造全等三角例4.(2022四川宜賓八年級期末)如圖1,∠AOB=90,OC平分∠AOB,以C為頂點作∠DCE=90,交OA于點D,OB于點E.(1)求證：CD=CE;(2)圖1中，若OC=3,求OD+OE的長；(3)如圖2,∠AOB=120°,OC平分∠AOB,以C為頂點作∠DCE=60,交OA于點D,OB于點E.若OC=3,求四邊形OECD的面積.圖1圖1求解；(2)根據(jù)全等三角形的性質得到OD+OE=2OH,然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；(3)過點C作CGBOA于G,CHEOB于H,然后根據(jù)題意利用AAS得到解決@OC平分∠AOBECG=CHD∠AOB=120°,∠DCE=60°BECDO+ZCE例5.(2022湖北省宜城市八年級期末)如圖，已知@AOB=120°,在AOB的平分線OM上有一點C,將一個(1)當aDCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖1),請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關系，并說明理由；(2)當ODCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結論是否成立?并說明理由；(3)當ODCE繞點C旋轉到CD與OA的反向延長線相交時，上述結論是否成立?若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想，不需證明.【答案】(1)詳見解析；(2)(1)中結論仍然成立，理由詳見解析；(3)(1)中結論不成立，結論為OE-OD=OC,證明詳見解析.【分析】(1)根據(jù)OM是BAOB的角平分線，可得AOB=60°,則;同理：;同理：同(2)的方法得到DF=EG,根據(jù)@CDEOA,RRODC=90°,RTOCD=30°,BROC,同理：,同理：B2OFC=2OGC=90°,BBAOB=120°,EBZDCE=60°,@FCG=60°,RRDCF=OECG,BECFDBRBOF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,BOF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,BOD+OE=B2OFC=2OGC=90°,EBAOB=120°,D2FCG=60°,B2OFC=2OGC=90°,EBAOB=120°,D2FCG=60°,BCFBOA,CGEOB,且點C是OAOB的平分線OM上一點，2CF=CG,BaDCE=60°,IFCG=60°,RRDCF=QECG,RECFDERCGZOF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0OE-OD=OC.把DEDF繞點D旋轉，使DEDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F.(1)當DFDAC時，求證：BE=CF;(2)在旋轉過程中，BE+CF是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】(1)證明見解析；(2)是，2.【答案】(1)證明見解析；(2)是，2.(2)過點D作DMOAB于M,作DN2AC于N,如圖2,易證△MBDERNCD,則有BM=CN,DM=DN,進而可BC=2.【詳解】(1)ERABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判識，通過證明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解決本題的關鍵.例7.(2022山東省棗莊市一模)如圖，已知∠AOB=60°,在∠AOB的角平分線OM上有一點C,將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線OA,OB相交于點D,E.(1)如圖1,當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時，請猜想OD+OE與OC的數(shù)量關系，并說明理由；(2)當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結論是否成立?并說明理由；(3)如圖3,當∠DCE繞點C旋轉到點D位于OA的反向延長線上時，求線段OD,OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想，不需證明.【分析】(1)先判斷出BOCE=60°,再利用特殊角的三角函數(shù)得出即可得出結論；(2)同(1)的方法得OF+OG=√3OC,再判斷出ECFD2ECGE,得出DF=EG,最后等量代換即可得出結論；(3)同(2)的方法即可得出結論.【詳解】解：(1)QOM是∠AOB的角平分線∴在Rt△OCD中，(2)(1)中結論仍然成立，理由：過點C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G∵CF⊥OA,CG⊥OB,且點C是∠AOB的平分線OM上一點∴CF=CGZEAOB=60°,BEFCG=120°,同(1)的方法得，,BOF+0G=√3oc,OCF=CG,RZDCE=120°,ZFCG=120°BBCFDEECGE,EDF=EG,QOF2OF+0G=EG-OD+OE-EG=OE-OD,【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質的綜合運用，正確作出輔助線，構造全等三角形是解本題的關鍵.例8.(2022秋·福建廈門·九年級校考期中)如圖，∠AOB=α(α是常量).點P在∠AOB的平分線上，且OP=2,以點P為頂點的∠MPN繞點P逆時針旋轉，在旋轉的過程中，∠MPN的兩邊分別與OB,OA相【分析】如圖作PE⊥OA于點E,PF⊥OB于點F,只要證明Rr?PEO≌Rt。PF過點O作OH⊥BC,過點O作OH⊥BC,垂足為H,模型2.對角互補模型(相似模型)【模型解讀】四邊形或多邊形構成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.【常見模型及結論】1)對角互補相似1輔助線：過點O作OD⊥AC,2)對角互補相似2垂足為D,輔助線：作法1:如圖1,過點C作CF⊥OA,垂足為F,過點C作CG⊥OB,垂足為G;輔助線：作法2:如圖2,過點C作CF⊥OC,交OB于F;3)對角互補相似3條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點D作DE⊥BA,垂足為E,過點D作DF⊥BC,垂足為F;∠MPN=90°,點P在AC上，PM交AB于點E,PN交BC于點F.當PE=2PF時，AP的值為().【分析】過P作PH2BC于H,PQAAB于Q,證明BAQPEZABC,得到設BQ=x,則AQ=3-x,PQ=2x,求出x值即可解決問題.BEPQEEEPHF,[,又PE=2PF,BPQ=2PH=2BQ,設BQ=x,則AQ=3-x,PQ=2x,②·【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判作射線CP//AB,D為射線CP上一點，E在邊BC上(不與B,C重合)且∠DAE=45°,AC與DE交于點0.(1)求證：△ADC-△AEB;(2)求證：△ADE~△ACB;(3)如果CD=CE,求證：CD2=CO.CA.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【分析】(1)根據(jù)題意先由等腰直角BABC得到aBAC=QB=45°,從而結合DAE=45°得到aDAC=BEAB,再由(2)根據(jù)題意由相似三角形的性質得到AD:AE=(2)證明：【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，系得到三角形相似.板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE,DF分別與邊AB,AC交于點M,N.【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉過程中，當M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由.【問題解決】如圖2,在三角板旋轉過程中，當∠B=∠MDB時，求線段CN的長.[問題解決]由勾股定理可求BC的長，由中點的性質可得CG的長，由銳角三角函數(shù)可求【詳解】[猜想證明]四邊形AMDN是矩形，理由如下：如圖1,∵點D是BC的中點，點M是AB的中點，[問題解決]過點N作NG⊥CD于G,如圖2:,【點睛】本題考查四邊形綜合應用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有關知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up8(·),:)例4.(2023年江西省南昌市月考)如圖，兩個全等的四邊形ABCD和OA'BC',其中四邊形OA'B'C”的頂點O位于四邊形ABCD的對角線交點0.(1)如圖1,若四邊形ABCD和OA'B'C'都是正方形，則下列說法正確的有.(填序號).并證明.(3)類比拓展：如圖3,若四邊形ABCD和OA'BC'都是菱形，∠DAB=α,判斷(1)中的結論是否依然成立；如不成立，請寫出你認為正確的結論(可用α表示),并選取你所寫結論中的一個說明理由.【詳解】(1)如圖，在圖1中，過點O作OH⊥AB于點H,OG⊥AB于點G圖2圖3在=HOE和△GOF中-HIOF=?GOF(ASA)=OE=Or故①正確(2)關系為證明如下：如圖，在圖2中，過點O作OH⊥AB于點H,OG⊥AB于點Gww如圖，在圖3中，過點O作OH⊥AB于點H,OG⊥AB于點G在=HOE和△GOF中·∴HOE≥?GOF(ASA):OE例5.(2023.遼寧中考模擬)如圖，在Rt=ABC中，AC=BC,BACB=90°,點O在線段AB上(點O不與點A,B重合),且OB=kOA,點M是AC延長線上的一點，作射線OM,將射線OM繞點O逆時針旋轉90°,交射線CB于點N.(1)如圖1,當k=1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖2,當k>1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關系(用含k的式子表示),并證明；(3)點P在射線BC上，若@BON=15°,PN=kAM(k≠1),且,請直接寫出的值(用含k的式子表示).【答案】(1)OM=ON,見解析；(2)ON=k·OM,見解析；(3)【分析】(1)作OD2AM,OEBBC,證明EDOMEEEON;(2)作ODEAM,OEEBC,證明EDOMCEEON;(3)設AC=BC=a,解R@EON和斜O(jiān)AOM,用含a,k的代數(shù)式分別表示NC,PN,再利用比例的性質可得答案.【詳解】解：(1)OM=ON,如圖1,作ODAM于D,OEBCB于E,EEADO=ZMDO=2CEO=EOEN=90°,EEDOE=90°,@OA=OB,@OD=OE,BADOE=90°,REZMON=90°,REEON+EMOE=90°,RO在RaDOM和RBEON中，(3)如圖3,設AC=BC=a,8AB=√Za,,,【點睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關鍵是作ODEAC,OEZBC;本題例6.(2023浙江中考二模)(1)特例感知：如圖1,已知在RtABC中，@BAC=90°,AB=AC,取BC邊上中點D,連接AD,點E為AB邊上一點，連接DE,作DFBDE交AC于點F,求證：BE=AF;(2)探索發(fā)現(xiàn)：如圖2,已知在Rt=ABC中，@BAC=90°,AB=AC=3,取BC邊上中點D,連接AD,點(3)類比遷移：如圖3,已知在·ABC中，@BAC=120°,AB=AC=4,取BC邊上中點D,連接AD,點E為射線BA上一點(不與點A、點B重合),連接DE,將射線DE繞點D順時針旋轉30°交射線CA于點F,當AE=4AF時，求AF的長.圖3【答案】(1)見解析；(2)4;(3)【答案】(1)見解析；(2)4;(3)【分析】(1)證明@BDEBBADF(ASA),根據(jù)全等三角形的性質即可得到BE=AF;(2)方法同(1),利用全等三角形的性質解決問題；(3)證明BEBD2EDCF,推出設AF=m,則AE=4m,分三種情形，分別構建方程求解即可.【詳解】(1)證明：如圖1中，EDFEDE,D2EDF=2ADB=90°,E2BDE=2ADF=90°-@ADE,(2)解：如圖2中，由(1)知，BD=CD=AD,BB=2C=aBAD=8CAD=45°,BZEDF=ZADB=90°,REBDE=BADF=90°+EADE,BEBDEERADF(ASA),BBE=AF,AB=3,AE=1,BBE=AB+AE=4,QAF=4;(3)解：如圖3中，@AB=AC,BD=CD,QADBBC,BBD=CD=AB*sin60°=2√3,BAE=4AF,B可以假設AF=m,則AE=4m,BE=4-4m,CF=4-m,BEFDC=OBED,RRB=DC,RAEBD2&DCF,②或或(舍棄),經(jīng)檢驗，是分式方程的解.(舍棄),經(jīng)檢驗，是分式方程的解.或(舍棄),經(jīng)檢驗，是分式方程的解.或綜上所述，滿足條件的AF的值為或或【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.課后專項訓練【分析】可將@OBC繞著O點順時針旋轉90°,所得的圖形與@OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將BOBC繞O點旋轉90°,EOB=OAE點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3,ZCOD=90°,EOAD=ZOBC,的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條考慮CBZy軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可起到事半功倍的效果.2.(2023.廣東九年級期中)如圖，。ABC為等邊三角形，以AB為邊向外作△ABD,使∠ADB=120°,再∠E=∠BAC;④DC=DB+DA.其中正確的有().【答案】D【分析】①設∠1=x度，把∠2=(60-x)度，∠DBC=∠4=(x+60)度，∠3=60°加起來等于180度，即可證角形，求出∠BDC=∠E=60°,∠CDA=1③由②可知，∠BAC=60°,∠E=60°,從而得到∠E=∠BAC.④由旋轉可知AE=BD,①設∠1=x度，則∠2=(60-x)度，∠DBC=(x+60)度，故∠4=(x+60)度，③∵∠BAC=60°,∠E=60°,∴∠E=∠BAC,④由旋轉可知AE=BD,又∵∠DAE=180°,∴DE【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質等相關知識，要不變量.別是AB,AD邊上的點，且∠ECF=60,BE=2,CF與BD交于點G,則的值為.進而求得答案.團AD//BCH∠FDG=∠CBG,∠DFG=∠BCGDFG~BCG.∴:【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，4.(2023青島版九年級月考)如圖，在RtABC中，∠ACB=90,∠ABC=30,直角∠MON的頂點O在AB上，OM、ON分別交CA、CB于點P、Q,∠MON繞點O任意旋轉.當?shù)闹禐閤x【答案】由相似三角形的性質就可以求出結論.;5.(2023·西城區(qū)校級期中)已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,∠A+∠C=180°,DE⊥BC,BD【解答】證明：如圖，過D作DF⊥AB,交BA的延長線于點F,∵∠BAD+∠C=180°,且∠6.(2023·阜新中考模擬)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點D.(1)如圖1,點E,F在AB,AC上，且∠EDF=90°.求證：BE=AF;②當點M在點A,D之間，且∠AMN=30°時，已知AB=2,直接寫出線段AM的長.【解答】解：(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°,(2)①如圖1,過點M作MP⊥AM,交AB的延長線于點P,∴∠AMP=90°,②如圖，在②如圖，在Rt△ABD中，在Rt△BDM中，7、(2023.重慶九年級期中)已知：如圖，在等邊RABC中，點O是BC的中點，@DOE=120°,團DOE繞著點O旋轉，角的兩邊與AB相交于點D,與AC相交于點E.圖1圖2(3)若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2,直接寫出BD,CE與BC的數(shù)量關系是【解析】(1)證明：取AB的中點F,連接OF.(3)結論：2(CE-BD)=BC.理由如圖2中，取AB的中點F,連接OF.8.(2022山西省呂梁市八年級期末)如圖，已知∠DCE與∠AOB,OC平分∠AOB.(1)如圖1,∠DCE圖2(備用)試判斷線段CD與CE的數(shù)量關系，并說明理由.理由如下：如圖1,過點C作CF⊥OC,交OB于點F,則∠OCF=90°,…請根據(jù)小宇同學的證明思路，寫出該證明的剩余部分.(2)你有與小宇不同的思考方法嗎?請寫出你的證明過程.(3)若∠AOB=120,∠DCE=60°.否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關系；如圖5,∠DCE的一邊與BO的延長線相交【分析】(1)通過ASA證明△CDO≌△CEF即可得到CD=CE;(2)過點C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分別垂足分別為M,N,,方法二：以CO為一邊作∠FCO=60°,交OB于點F,通過ASA證明△CDO≌△CEF,得到CD=CE,OD=EF,所以OE+OD=OE+EF=OF=OC;②圖4:以OC為一邊，作BOCF=60°與OB【詳解】解：(1):OC平分∠AOB,∴∠1=∠2=45°,(2)如圖2,過點C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分別為M,N,O∠CMD=∠CNE=90°,又8OC平分∠AOB,@CM=CN,在四邊形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠1+∠2@OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM+EN=ON+OM.方法二：如圖3(2),以CO為一邊作∠FCO=60°,交OB于點F,@∠DCE=∠4+∠5=60°,∠FCO=∠6+BCD=CE,OD=EF.0OE+OD=OE+EF=OF=OC.B2AOB=120°,OC為BAOB的角平分線2COB=2COA=60°如圖，以OC為一邊，作@OCG=60°與OA交于G點【點睛】本題主要考查全等三角形的綜合應用，有一定難度，解題關鍵在于能夠做出輔助線證全等.(1)如圖1.連接BD,若∠BAD=90°,求證：AD=CD.(2)如圖2,點P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：∠PBQ=∠ABP+∠QBC;(3)若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關系，并給出證明過程.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【分析】(1)根據(jù)已知條件得出△BDC為直角三角形，再根據(jù)HL證出Rt?BAD=Rt?BCD,從而證出(2)如圖2,延長DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過證△BPAZEBCK(SAS)得到：21=02,BP=BK.然后(3)如圖3,在CD延長線上找一點K,使得KC=AP,連接BK,構建全等三角形：△BPAZRBCK(SAS),由該四邊形的內角和是360度可以推得：【詳解】(1)證明：如圖1,B∠ABC+∠ADC=180°,∠BAD=90°@∠BCD=如圖3,在CD延長線上找一點K,使得KC=AP,連接BK,B∠ABP=∠CBK,BP=BKO∠PBK=∠ABC@PQ=AP+CQBPQ=QK【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質.在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形.若∠A與∠C互補，則線段AD與CD有什么數(shù)量關系?探究二：若∠A≠90°,請借助圖①,探究AD與CD的數(shù)量關系并說明理由.圖①CD;[拓展]:見解析.探究二：作DF⊥BC于F,CD的數(shù)量關系是AD=CD,故答案為：AD=CD;[拓展]在BC上取一點E,使BE=BD,作DF⊥BA角BA的延長線于F,DG⊥BC于G,【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理，掌握全等三角形的判定定理和性(1)如圖1,四邊形ABCD中，AB=AD,∠B與ZD互補，BC=2CD=20,點A到BC邊的距離為17,【答案】(1)255;(2)【答案】(1)255;(2)【分析】(1)連接AC,過點A作AH⊥BC于點H,將ABH繞著A點逆時針旋轉，使得AB與AD重合，得【詳解】解：(1)如圖，連接AC,過點A作AH⊥BC于點H,將ABH繞著A點逆時針旋轉，使得AB與B∠G=∠AHB=90°,AG=AH=1(2)如圖，連接AD,AC,過點D作DH⊥BC交BC延長線于點H.sc@BE=CD.即BE=CD=60-x.又@CD//AB,B∠DCH=∠ABC=60°.求二次函數(shù)的最大值，解決本題的關鍵是靈活運用相關性質定理.12.(2023山東中考模擬)如圖，矩形ABCD中，@ACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC,BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC所在的(1)當PE&AB,PF2BC時，如圖1,則的值為(2)現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉α(0?<a<60°)角，如圖2,求的值；(3)在(2)的基礎上繼續(xù)旋轉，當60°<a<90°,且使AP:PC=1:2時，如圖3,的值是否變化?證明你的結論.(2)如答圖1所示，作輔助線，構造直角三角形，證明△PME2BPNF,并利用(1)的結論，求得的值；(3)如答圖2所示，作輔助線，構造直角三角形，首先證明△APME2PCN,求得然后證明△PMEERPNF,從而由求得的值.與(1)(2)問相比較，的值發(fā)生了變化.@PEEAB,BCAAB,EPEZBC.BRAPE=B2PF&BC,ABBBC,BPF&AB.EBPAE=OCPF.,(2)如答圖1,過點P作PMQAB于點M,PNGBC于點N,則PMaPN.答圖1.由(1)知，..(3)變化.證明如下：如答圖2,過點P作PMEAB于點M,PMEBC于點N,則PMaPN,PMEBC,PNOAB.OPMOPN,PEAPF,DDEPM=OFPN.又BEPME=EPNF=90°,BZPMEEEPNF..上的一點.過點D作射線DE⊥DF,分別交邊AB、AC于點E、F.(1)當D為BC的中點，且DE⊥AB、DF⊥AC時，如圖1,(2)若D為BC的中點，將∠EDF繞點D旋轉到圖2位置時，(3)若改變點D到圖3的位置，且時，求的值.圖1圖1圖2圖2【答案】(1)2;(2)2;(3)【分析】(1)由D為BC的中點，DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAC=90°,結合三角形的中位線的性質得到DE=2,DF=1,從而可得答案；(2)如圖，過D作DK⊥AB于K,過D作DQ⊥AC于Q,結合(1)求解DK,DQ,再證明=KDE~QDF,利用相似三角形的性質可得答案；(3)過點D分別作DM⊥AB于點M,解DM,同法求解DN,從而可得答案.【詳解】解：(1)∵D為BC的中點，DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAC=90°,故答案為：2故答案為：2(2)如圖，過D作DK⊥AB于K,過D作DQ⊥AC于Q,∴∠DKE=∠DQF=90°,故答案為：2.(3)過點D分別作DM⊥AB于點M,DN⊥AC于點N,@∠BAC=90°,@∠MDN=90°,@DE⊥DF,@∠MDE+∠EDF,【點睛】本題考查的是矩形的性質，三角形中位線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵.14.(2023·浙江臺州·九年級?？茧A段練習)【問題情境】如圖①,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點D為AB中點，連結CD,點E為CB的延長線上一點，過點E且垂直于DE的直線交AC的延長線于點F.易知BE與CF的數(shù)量關系A、C重合),將射線DE繞點D逆時針旋轉60°交BC于點F.【答案】問題情境：BE=CF;探索發(fā)現(xiàn)：成立，見解析；類比遷移：3-√3或-1+√7【分析】問題情境：根據(jù)等腰直角三角形的性質，證明△BDE≥△CDF即可得BE=CF;探索發(fā)現(xiàn)：與圖①類似，證明△BDE=△CDF即可；類比遷移：根據(jù)等邊三角形的性質得到2A=BB=60°,求得2BDF=BAED,設CE=x,則CF=2x,分兩種情況討論：點E在線段AC上，點E在AC的延長線上，證明AADE-BFD,根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論.在△BDE和CDF中，探索發(fā)現(xiàn)：成立，理由：團在Rt△ABC中，D為AB中點，@CD=BD,?∠DBE=180°-45°=135°,∠DCF=在△BDE和CDF中，BAC=BC=AB=4,2,∠A=∠B=60°團∠ADF是VBDF的外角，∠EDF=60°,@∠ADF=∠B+∠BFD解得x=3-√3,x?=3+√3(大于4,不符合題意，舍去)當點E在線段AC的延長線時，如圖：設CE=x,則CF=2CE=2x,AE=AC+CE=4+x,BF=BC-CF=4-2x【點睛】本題考查全等三角形與相似三角形的綜合問題，運用等腰直角三角形的性質尋找全等條件，熟練掌握相似三角形中的一線三等角模型是解題的關鍵.15.(2023廣東中考模擬)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”(1)概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；(2)問題探究；如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，DDAB=OABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P,連結AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關系，并說明理由；(3)應用拓展；如圖2,在RtāABC與RtZABD中，BC=aD=90°,BC=BD=3,AB=5,將RtDABD繞著點A順時針旋轉角α(0?<Ba<QBAC)得到RtGAB'D'(如圖3),當凸四邊形AD'BC為等鄰角四邊形時，求出它的面【答案】(1)矩形或正方形；(2)AC=BD,理由見解析；(3)或(2)AC=BD,理由為：連接PD,PC,如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對【詳解】(1)矩形或正方形；(2)AC=BD,理由為：連接PD,PC,如圖1所示：(3)分兩種情況考慮：(i)當OAD'B=ZD'BC時，延長AD',CB交于點E,如圖3(i)所示，【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內角和定理，角平分分類討論是解本題的難點，是一道中考?？碱}.分類討論是解本題的難點，是一道中考?？碱}.16.(2023年成都市中考模擬)(1)如圖，Rt=ABC中，8A=90°,AB=AC,D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的動點，且aEDF=90°.求證：DE=DF;(2)如圖2,RtABC中，@BAC=90°,AC=4,AB=【分析】(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質可得ZADE=QBDF,從而得到EBDFERADE,即可求證；②連接EF,根據(jù)勾股定理可得BC=5,根據(jù)三角形的面積可得,從而得到再可得到當DE最小時，EF取最小值，即可求解.【詳解】證明：(1)如圖1,連接AD,圖2@AB=AC,@BAC=90°,BD=CD,@ADaBC,AD=B2EADB=8EDF=90°,EEADB-@ADF=OEDF-OADF,即@ADE=OBDF,(2)①證明：@ADZBC,RADB=90°,RBADB=DEDF,RFBAD+aDAE=90°,GBAD+CB=90°,QEBDFEEADE,@BDF·DA=DB·DE;B2B=BB,AADB=ZCAB=90°,,BZEDF=OCAB=90°,GZEDFERCAB,即,BEF的最小值為：熟練掌握等腰三角形的性質，全等三角形和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且@PDQ=90°.備用圖【答案】(1)【答案】(1)CQ=4;(2)當BP=2時，或【分析】(1)首先證明DQBAB,根據(jù)平行線等分線段定理即可解決問題.(2)分兩種情形①當點P在線段AB上時，②當點P在AB的延長線上時，作DMQAB,DNBAC,垂足分別為M、N,由EPDMEEQDN,分別求得PQ和DN,即可求解.【詳解】(1)如圖1中，QDPZAB,EBAC=90°,DQEDP,RDQEAB,ZBD=DC,ECQ=AQ=4;(2)①如圖2中，當點P在線段AB上時，作DMEAB,DNZAC,垂足分別