小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)-抽屜原理(含答案)

抽屜原理知識(shí)要點(diǎn)1.抽屜原理的一般表述(1)假設(shè)有3個(gè)蘋果放入2個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果。它的一般表述為：第一抽屜原理：(mn＋1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有(m＋1)個(gè)物體。(2)若把3個(gè)蘋果放入4個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。它的一般表述為：第二抽屜原理：(mn－1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m－1)個(gè)物體。2.構(gòu)造抽屜的方法常見(jiàn)的構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組、染色分類、圖形的分割、剩余類等等。例1自制的一副玩具牌共計(jì)52張(含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅，每種牌都有1點(diǎn)，2點(diǎn)，……13點(diǎn)牌各一張)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取張牌，才能保證其中必定有2張牌的點(diǎn)數(shù)和顏色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3張牌的點(diǎn)數(shù)是相鄰的(不計(jì)顏色)，那么至少要取張牌。點(diǎn)撥對(duì)于第一問(wèn)，最不利的情況是兩種顏色都取了1～13點(diǎn)各一張，此時(shí)再抽一張，這張牌必與已抽取的某張牌的顏色與點(diǎn)數(shù)都相同。點(diǎn)撥對(duì)于第二問(wèn)，最不利的情況是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4張，此時(shí)再取一張，這張牌的點(diǎn)數(shù)是3，6，9，12中的一張，在已抽取的牌中必有3張的點(diǎn)數(shù)相鄰。解(1)13×2＋1＝27(張)(2)9×4＋1＝37(張)例2證明：37人中，(1)至少有4人屬相相同；(2)要保證有5人屬相相同，但不保證有6人屬相相同，那么人的總數(shù)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？點(diǎn)撥可以把12個(gè)屬相看做12個(gè)抽屜，根據(jù)第一抽屜原理即可解決。解(1)因?yàn)?7÷12＝3……1，所以，根據(jù)第一抽屜原理，至少有3＋1＝4(人)屬相相同。(2)要保證有5人的屬相相同的最少人數(shù)為4×12＋1＝49(人)不保證有6人屬相相同的最多人數(shù)為5×12＝60(人)所以，總?cè)藬?shù)應(yīng)在49人到60人的范圍內(nèi)。例3有一副撲克牌共54張，問(wèn)：至少摸出多少?gòu)埐拍鼙ＷC：(1)其中有4張花色相同？(2)四種花色都有？點(diǎn)撥首先我們要弄清楚一副撲克牌有2張王牌，四種花色，每種有13張。(1)按最不利原則先取出2張為王牌，再取4張均不同花色，再連續(xù)取兩次4張也均不同花色，這時(shí)必能保證每一花色都有3張，再取1張即可達(dá)到要求。(2)仍需按最不利原則去取牌，先是2張王牌，接著依次把三種花色的牌全部取出13×3，這時(shí)假設(shè)仍是沒(méi)有四種花色，再取1張即可。解(1)2＋4×3＋1＝15(張)(2)2＋13×3＋1＝42(張)例4學(xué)校買來(lái)紅、黃、藍(lán)三種顏色的球，規(guī)定每位學(xué)生最多可以借兩種不同顏色的球。那么至少要來(lái)幾名學(xué)生借球，就能保證必有兩名學(xué)生借的球的顏色完全相同？點(diǎn)撥根據(jù)題中“最多可借兩種不同顏色的球”，可知最多有以下6種情況：解借球有6種情況，看做6個(gè)抽屜，所以至少要來(lái)7名學(xué)生借球，才能保證。例5從前面30個(gè)自然數(shù)中最少要取出幾個(gè)數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個(gè)數(shù)，其中較大的數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)？點(diǎn)撥把1～30這30個(gè)自然數(shù)分成下面15組：{1，2，4，8，16}，{3，6，12，24}，{5，10，20}，{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{17}，{19}，{21}，{23}，{25)，{27}，{29}，在這15組中，每組中的任意兩個(gè)數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，故可把這15組看做15個(gè)抽屜，至少要取出16個(gè)數(shù)才能達(dá)到題目的要求。例6邊長(zhǎng)為1的正方形中，任意給定13個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線。試說(shuō)明其中至少有4個(gè)點(diǎn)，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積不超過(guò)四分之一。解：把正方形平均分成四個(gè)相同的小正方形，每個(gè)正方形的面積為四分之一。13=4×3+1，13個(gè)點(diǎn)至少有4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)小正方形，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)小正方形的面積，即不超過(guò)原正方形面積的四分之一。例7平面上給定六個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線。每?jī)牲c(diǎn)用一條紅線段或黃線段連接起來(lái)，試說(shuō)明由這些線段圍成的三角形中，至少有一個(gè)三角形，它的三條邊同色.解因?yàn)橛辛鶄€(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都要引出五條線段，據(jù)抽屜原理，任意一點(diǎn)引五條線段中至少有三條線段同色，不妨設(shè)是紅色(如圖紅色線段為實(shí)線，藍(lán)色線段為虛線)，這時(shí)三角形a2a3a4會(huì)出現(xiàn)兩種顏色情況(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一條線段為紅的，那么這條紅線段與它的兩個(gè)端點(diǎn)與a1引出的兩條線段組成一個(gè)紅三角形。(2)若a2a3，a3a4，a2a4中沒(méi)有一條線段是紅色的，則a2a3a4為一個(gè)藍(lán)色三角形。綜上所述，無(wú)論(1)還是(2)，題目結(jié)論都成立。說(shuō)明：若把兩種顏色連線換成人與人之間的相識(shí)或不相識(shí)關(guān)系，就可以解決實(shí)際問(wèn)題：結(jié)果可證明6人之間至少有3人互相認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)。1.要在30米長(zhǎng)的水泥臺(tái)上放16盆花，不管怎么放，至少有幾盆之間的距離不超過(guò)2米？解：兩盆30÷2=15段，30米中每?jī)擅诪橐欢蔚挠?5段，16盆花至少有兩盆花在一段，至少兩盆之間的距離不超過(guò)2米。3.在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形內(nèi)隨意放置10個(gè)點(diǎn)，試說(shuō)明其中至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過(guò)1/3。解：把邊長(zhǎng)為一的正三角形平分成9粉，由每個(gè)三角的邊長(zhǎng)為1/3，必有兩點(diǎn)在一個(gè)三角形內(nèi)，則兩點(diǎn)的距離小于1/3。4.用黑、紅兩種顏色將一個(gè)長(zhǎng)9、寬3的矩形中的邊長(zhǎng)為1的小正方形隨意涂色，試證必有兩列涂色情況一樣。因?yàn)橥可霈F(xiàn)八種情況：（紅紅紅），（藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)），（紅，紅，藍(lán)），（紅，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，紅），（藍(lán)，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，藍(lán)），（紅，藍(lán)，藍(lán)），所以九列中一定有兩列是相同的。5.從整數(shù)1，2，3，……，199，200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。分?jǐn)?shù)組{1,2,4,8，16，……128}，{3,6,12,24,48^192}，{5,10,20,40^200}，{7,14,28,56,112}，{9,18,36,72,144}，{11,22,44,88,176}，{13,26,52,104}，{15,30,60,120,}……{99,198}，{101}，{103}，……{199}共100個(gè)抽屜，任選101個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)抽屜里，即其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。這個(gè)人在中間的8小時(shí)內(nèi)走了45?5?3=37(km)假設(shè)在中間的8個(gè)小時(shí)內(nèi)他相鄰2個(gè)小時(shí)內(nèi)都走9km，8個(gè)小時(shí)內(nèi)一共有7組相鄰，其中除去這8個(gè)小時(shí)內(nèi)的前后兩個(gè)小時(shí)，其他6個(gè)小時(shí)都有2次相鄰，這8個(gè)小時(shí)內(nèi)的路程可得：7×9?6÷2×9=36km<37km一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，這人至少走了10千米。23.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這12個(gè)自然數(shù)中，任意選取8個(gè)不同的數(shù)，其中必有兩對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的差是1。構(gòu)造6個(gè)抽屜{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}{9,10}{11,12}將八個(gè)不同的數(shù)放入六個(gè)抽屜，必有兩對(duì)數(shù)，每對(duì)的差是1。24.有紅、黃、藍(lán)、綠四色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里。一次摸出8個(gè)小球，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的。把紅黃藍(lán)綠四個(gè)小球看成四個(gè)抽屜，一次摸出八個(gè)小球放在抽屜里，8÷4=2，其中至少有2個(gè)小球顏色相同。25.數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，全世界52個(gè)國(guó)家的308名選手參加了競(jìng)賽。按組委會(huì)規(guī)定，每個(gè)國(guó)家的選手不得超過(guò)6名，至少有幾個(gè)國(guó)家派6名選手參賽。每個(gè)國(guó)家最多派出的運(yùn)動(dòng)員不超過(guò)6人，假設(shè)52個(gè)國(guó)家每個(gè)國(guó)家都派了5名，則剩下308-52×5=48（名）運(yùn)動(dòng)員。因?yàn)槊總€(gè)國(guó)家派出的運(yùn)動(dòng)員不超過(guò)6名，所以只好把48名運(yùn)動(dòng)員平均分到48個(gè)國(guó)家中去，也就是說(shuō)，至少有48個(gè)國(guó)家派滿了6名運(yùn)動(dòng)員。26.某中學(xué)有十位老師，每位至少與另外九位中的七位認(rèn)識(shí)，我們必可從中找出幾位，他們彼此認(rèn)識(shí)。

用a(1),a(2),...,a(10)表示10個(gè)人；a(1)不認(rèn)識(shí)的至多2人,認(rèn)識(shí)的人不少于7個(gè),不妨假定a(1)認(rèn)識(shí)a(2)；a(1)、a(2)中至少有一個(gè)人不認(rèn)識(shí)的人至多4人，不妨假定a(1)、a(2)都認(rèn)識(shí)a(3)；a(1)、a(2)、a(3)至少有一個(gè)人不認(rèn)識(shí)人的至多6人,不妨假定a(1)、a(2)、a(3)都認(rèn)識(shí)a(4)；

則a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相認(rèn)識(shí)；我們必可從中找出4位，他們彼此認(rèn)識(shí)。27.袋子里有4種不同顏色的小球，每次摸出2個(gè)。要保證有10次所摸出的結(jié)果是一樣的，至少要摸幾次。把1種不同的結(jié)果看成1個(gè)抽屜，至少要摸出9×10+1=91（次)28.某班有27名同學(xué)排成三路縱隊(duì)外出參觀，同學(xué)們都戴著紅色或白色的太陽(yáng)帽。在9個(gè)橫排中，至多有幾排同學(xué)所戴的帽子的顏色順序不同。每排三人，每排戴帽子的可能有8種，所以27人排成九個(gè)橫排，必有兩個(gè)橫排所戴帽子順序相同，帽子顏色順序不同的有:9-2=7排29.在平面內(nèi)有1994條互不平行的直線。求證：一定有兩條直線它們的夾角不大于度。如果平面內(nèi)有3條互不平行的線，那么，要將最小的兩條線的夾角為最大，就必須先讓兩條互相垂直，夾角為90°，然后再讓另外一條線過(guò)交點(diǎn)，平分夾角，角度為45°，45°<