2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集27

《2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集30篇》

在這套習(xí)題中，我們僅僅關(guān)注高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計(jì)與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第27篇

1過(guò)P（l,2）的直線/把圓/+丁―4尤—5=（）分成兩個(gè)弓形，當(dāng)其中劣孤最短時(shí)直線/的方程為.

2在三棱錐8—ACO中，BA,BC,8。兩兩垂直，BC=2,80=4,三棱錐8—ACO的側(cè)面積

為13,則該三棱錐外接球的表面積為.

3正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為3，此時(shí)四面體ABCD外接

球表面積為（）

A.卬兀B.1即^C.7萬(wàn)D.19不

~6~6

4.已知函數(shù)/。）=2?_8%+4（1（）1+10-工+2）有唯一零點(diǎn)，則。=

A.4B.3C.2D.-2

221*2/

xyxyFF

s周知橢定+爐=1（a＞方＞0）與雙曲線二7-彳=1（加＞0,〃＞0）具有相同的焦點(diǎn)I,2,且在第

一象限交于點(diǎn)P,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為e,e,若/尸PF=」則夕+&的最小值為.

1212QI2

72

6已知雙曲線「：二-==1（。＞0,/,〉（））的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)的直線/與雙曲線「的左、右兩支分

crb~

別交于A,8兩點(diǎn)，延長(zhǎng)8/交右支于。點(diǎn)，若AFl￡8,|C/q=3|FB|,則雙曲線「的離心率是（）

A.歷B.-C.-D.屈

3232

7.若三棱錐S—ABC的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，AB=2^,SA=SB=SC"，貝U

該三棱錐的外接球的表面積為.

|xi+2,x＜1

IIx

&已知函數(shù)/（x）=＜2、「設(shè)ae/?,若關(guān)于龍的不等式/（x）N7+d在R上恒成立，則4的取

x+—，%之12

值范圍是（）

A.[-2,2]B.班2]c.2,碼D.斌2科

a設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以尸為焦點(diǎn)的拋物線＞2=2“X（p＞0）上任意一點(diǎn)，M是線段PR上的點(diǎn)，且

|PM|=2|Mb|,則直線0M的斜率的最大值為（）

A.也B.-C.變D.1

332

2

1Q已知R,此分別是雙曲線。一g=l（。>0，^>0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一

點(diǎn)M,使得（0加+。工〉8知=0（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,且桃卜6|加局，則雙曲線的離心率為（）

A.75-1B.^±1C.D.6+1

22

f|lnx|,0<x<e

口已知函數(shù)/（x）=91，若仇C互不相等，且/（a）=/S）=/（c）,則a+8+c的取值

[2-Inx,x>e

范圍是.

12已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（l,2）,P是拋物線C：V=2px上的一點(diǎn)，戶為其焦點(diǎn)，若尸與雙曲線

2

X2.=1的右焦點(diǎn)重合，則下列說(shuō)法正確的有（）

3

A.若|P曰=6,則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為4

B.該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)度為6

c.若口POF外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為9萬(wàn)

D./周長(zhǎng)的最小值為3+6

a+2a+…+2”%

13對(duì)于數(shù)列面｝,定義一2-----------2為數(shù)列｛%｝的“好數(shù)”，已知某數(shù)列｛6｝的''好

n

數(shù)”4=2用，記數(shù)列｛為一也｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S,WS,對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值

范圍是.

14.已知實(shí)數(shù)九，y滿足logzX+e—〈log?y+e",則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.x>yB,ln|x-^|<0c,ln|x+1|>0D,hi|y-x+l|>0

is已知點(diǎn)A是拋物線C：x2=2py（p〉0）的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)尸為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)A作拋物

線的一條切線，切點(diǎn)為P,且滿足|PA|=0,則拋物線C的方程為（）

A.f=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y

3

《2021屆高中數(shù)學(xué)綜合、交匯習(xí)題集》第27篇參考答案

1.【答案】x—2y+3=0

【詳解】

當(dāng)劣弧最短時(shí)，即劣弧所對(duì)的弦最短，

當(dāng)點(diǎn)P（L2）是弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦最短，也即劣弧最短,

圓：（x—2）2+y=9,圓心。（2,0）,

直線方程是y_2=「（x—l）,即x—2y+3=0,

2

故填：x-2y+3=Q.

2.【答案】29）

【解析】根據(jù)側(cè)面積計(jì)算得到AB=3,再計(jì)算半徑為郡=，22+42+32,代入表面積公式得到答案.

2

【詳解】

三棱錐8-4。0的側(cè)面積為4><2*4+1_乂2x48+Lx4xAB=13,所以AB=3

-222

故該三棱錐外接球的半徑為：=叵,球的表面積為4成2=29%

22

故答案為：29〃

3.【答案】C

詳解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACO的三條側(cè)棱BDLAD,DCIDA,底面是等腰三角形，它的外接球

就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，

三棱柱中，底面A8OC,BD=CD=1,BC=6

；.NBDC=120°,

.,.△BDC的外接圓的半徑為'/=1,

2sin120°

由題意可得：球心到底面的距離為正.

2

4

.?.球的半徑為r=31=立.

V42

,7

外接球的表面積為：5=4加2=4乃_=7%

4

故選：C.

4.【答案】A

詳解：因?yàn)閒(x)=2x2-8x+a(\0v-2+10~x+2)=-8+2(x-2)2+a(10'-2+)=°，

所以函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程8-2(x-2)2=a(]0'-2+/.)有唯一解，

IO，」

等價(jià)于函數(shù)y=8-2(x-2)2的圖象與y=a(10-2+*.)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

1032

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2X2-8x>-8,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾；

當(dāng)a<0時(shí)，由于y=8-2(x-2)?在(-8,2)上遞增、在(2,+°0)上遞減，

且a(10'-2+—r)在(-8,)上遞增、在(2,+8)上遞減，

10322

所以函數(shù)y=8-2(x-2)2的圖象的最高點(diǎn)為A(2,8),y=a(10'-2+—v)的圖象的最高點(diǎn)為B(2,

10

2a),

由于2a<0<8,此時(shí)函數(shù)y=8-2(x-2)2的圖象與a(10v-2+—y)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾；

10A-2

當(dāng)a>0時(shí)，由于y=8-2(x-2)2在(-8,2)上遞增、在(2,+8)上遞減，

且y=a(1O'-2+J.)在(-8,2)上遞減、在(2,+°°)上遞增，

所以函數(shù)y=8-2(x-2)2的圖象的最高點(diǎn)為A(2,8),y=a(10v-2+喘萬(wàn))的圖象的最低點(diǎn)為B(2,

2a),

由題可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件，即2a=8,即a=4,符合條件：

綜上所述，a=4,

A.

5.【答案】2+G

2

【詳解】

由題意設(shè)焦距為2c,橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,雙曲線實(shí)軸為2m,

令P在雙曲線的右支上，

由雙曲線的定義IPFt\-\2m,

5

由橢圓定義1Psi+IP尸21=2a,

7

可得|P//m+a,\PF2\=a-m,

一一左

又NFPF=,

12J

|P“+產(chǎn)『肝產(chǎn),

可得(機(jī)+Q)2+(〃-m)2-(m+a)(a-m)=4c2,

得/+3〃?2=4ca,

a23m2

即一+-----=4，

c2c2

13

可得-T+F=4,

4%

1,22\/l3、

則e2+2

12

4I—262

1晨3e2

4ee

12

□94+2戶）=2+W,

42

當(dāng)且僅當(dāng)e?=加上式取得等號(hào)，

可得e：+e,2的最小值為2+?.

2

故答案為：2+C

2

6.【答案】D

【詳解】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸，，連接,AF',CF',

設(shè)BF=x，則CF=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,

AFLFB,根據(jù)對(duì)稱性知四邊形AFBF'為矩形，

放AC8「中：CF'2=CB2+BF*,即（3x+2a）2=（4xy+（2a+x）2,解得x=。；

RfAFBF'中:FF'2=BF2+BF,2>BP（2c）2=?2+（3<z）2,故<=］，故e=史.

不22

6

故選：D.

_49%

7.【答案】——

4

【解析】【詳解】

取A3的中點(diǎn)，由題意可得：SD=2,DC=y/3,SD2+DC2=SC2,

所以SO，AB,S。，DC,SO，面ABC.

,7

所以球心在直線SO上，所以H?=3+（2—R）-,得R=，,

4

497r

所以S=4成2=

4

8.【答案】A

X

【解析】先畫出/（X）的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像，分別求出y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）時(shí)，yj+a的

22

2

圖象與y=的圖象相切時(shí)?，對(duì)應(yīng)的。的值，推出要使不等式恒成立，只需/（O）pp,從而可求出

X

結(jié)果.

【詳解】

畫出了（X）的圖象如圖所示，

7

x2x2

當(dāng)y=_+a的圖象與y=x+_的圖象相切時(shí)，由_+a=x±，得/一2以+4=0,

2x2x

由A=0,并結(jié)合圖象可得a=2；

要使/'（x）N—+a恒成立，只需/（。）斗牛B|J|<2|<2,解得—2<a<2.

-2<a<2.

故選：A.

9.【答案】C

y2p

【解析】試題分析：設(shè)P（上，％），由題意產(chǎn)（_，0），顯然/<0時(shí)不符合題意，故%>0,則

2p2

2

［一一_1—?2—?yPy

OM=OF+FM7=O-FU+_*F—P二=O—F二+_*(,八O二P-O一F二)、=_O—P—+_O—F「=(■.n+_,」n、)，—可.得，l:

33336P33

%

k=工=2、<2當(dāng)且僅當(dāng)y2=2/乃〃時(shí)取等號(hào)，故選C.

。""2y…p_W2。。“

----卜—

6P3p%

10.【答案】D_________

【解析】先證明再分析得到2a=|即得解.

|OF2|=|OM|=C,（6—1）c,

8

【詳解】

因?yàn)镕2M^OM-OF2,

所4.贏施一0工=,，

____2--2---------?

即0M一OF?=0.所以|M=pM=c,

在△MKK中,邊巴工上的中線等于E「21的一半，

可得MF,1MF2.

因?yàn)?/p>

所以|麗|麗卜c,

所以根據(jù)雙曲線定義得2。=|"尸卜卜尸25（0:1）c，

所以雙曲線的離心率e=_=/_=G+1

aV3-1

故選：D.

11.【答案】pe+；,e?+2）

flrirL0<x<e

【解析】畫出函數(shù)/（幻=/?的圖象（如圖所示）.

I2-Inx,x>e

不妨令則由已知和圖象，得0<4<1</;<?<（:</，

且一Ina=\nb=2-Inc,則ab=\,bc=e2,

1e21+e2

則a+b+c=—+b+—=b+------，

bbb

1+「21_i_p-

因?yàn)?+1e\=1」比〈。在bw(Le)恒成立,

b)~V~

i.22

所以b+在（I,e）單調(diào)遞減，所以2e+_L<6+li土<2+3，

eb

9

12.【答案】ACD

［解析］先求出°=4,選項(xiàng)A求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為|=4,判斷選項(xiàng)A正確：選項(xiàng)B求出拋

物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)度為塵=2=2匯，判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C先判斷口「0尸外

?V33

接圓的圓心的橫坐標(biāo)為1,再判斷口P0尸外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓心

到焦點(diǎn)尸的距離等于半徑，最后求出半徑和外接圓面積，判斷選項(xiàng)c正確；選項(xiàng)D直接求出△PMF的周

長(zhǎng)為。23+石，判斷選項(xiàng)D正確.

【詳解】

2

解：因?yàn)殡p曲線的方程為二■夕=1，所以/=3，6=1，則,=yla2+b2=2-

2

因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)尸與雙曲線廠—2=的右焦點(diǎn)重合，所以2=2,即〃=4,

y1—

372

選項(xiàng)A：若仍用=6,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為無(wú)o="|-§=4,所以選項(xiàng)A正確;

2

選項(xiàng)B：因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)/與雙曲線上-產(chǎn)=1的右焦點(diǎn)重合，所以拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的

3'

線段長(zhǎng)度為"=馬="，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

a出3

選項(xiàng)G因?yàn)?(0,0)、F(2,0),所純POF外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為1,又因?yàn)榭赑O尸外接圓與拋物線C

的準(zhǔn)線相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓心到焦點(diǎn)尸的距離等于半徑，所以圓心在拋物線上且到準(zhǔn)線的距

離為3,所以r=3,所以該外接圓面積為S=〃=9兀,所以選項(xiàng)C正確;

選項(xiàng)D：因?yàn)椤鳌甘赖闹荛L(zhǎng)為

+M

C=|PF+4M\+\MF\^XP~+^\+j5^(xP+\PM\)+2+y/5>xM+2+75=3+75,所岫項(xiàng)

D正確.

故選：ACD

13.【答案】巴呼

-47」

【解析】計(jì)算4=4,得到a“=2〃+2,a?-kn=(2-k)n+2,根據(jù)題意%-7220,%—8攵40,計(jì)

算得到答案.

10

【詳解】

由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，4=4=2?=4,

?1

2

由=白+2。+…+2"，，可得(〃-1)A=a+2a+-+T~a(n>2)f

n12nn-\12n-\

兩式相減可得"A-(〃—1)A=2"”,

nM-ln

整理得a_*(7)%_",2--("I)2"=4〃-2(〃-1)=2〃+2,

〃-2"—i—2”一］

由于勾=2xl+2=4,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=2〃+2,

則a,-kn=(2-左)〃+2,

由于昆?&對(duì)任意的“eN*恒成立，則%>2且,%一8%W0,

916

解得

47

"依「9161

故答案為：一,——.

一47」

14答案】D

【解析】對(duì)已知進(jìn)行變形，得log/—e7<