垂直于弦的直徑教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課課時(shí)分配3課時(shí)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的弦、弧等概念的基

礎(chǔ)上再深入探究垂直于弦的直徑與弦以及弦所對(duì)的兩條弧的關(guān)系，具

備了探究垂徑定理的能力。而且本節(jié)課的知識(shí)也是圓的計(jì)算以及有關(guān)

證明的一個(gè)工具，尤其涉及到的“連半徑，作弦心距”的輔助線做法

貫穿整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)習(xí)下面幾節(jié)課打下基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解圓是軸對(duì)稱圖形.

2.掌握垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計(jì)

算、證明和作圖問題.（重點(diǎn)）

3.垂徑定理推論的探究.（難點(diǎn)）

評(píng)價(jià)目標(biāo)：

優(yōu)：能理解垂徑定理以及推論內(nèi)容，掌握其幾何語言，并能熟練運(yùn)

用它解決實(shí)際問題。

良：能夠辨清符合垂徑定理?xiàng)l件的幾個(gè)圖形，并能利用垂徑定理解

決簡單的實(shí)際問題。

教具：圓規(guī)，圓形紙片，直尺，多媒體。

教學(xué)方法：問題引入，動(dòng)手操作，小組合作，

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

趙州橋是我國隋朝建造的石拱橋，是我國古代人勤勞與智慧的結(jié)晶。

它的主橋拱是圓弧形，它的跨度是37米，拱高是7.23米，你能求出

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際生活著手，引發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是一門

源于生活又服務(wù)于生活的學(xué)科。并且提出問題，激發(fā)學(xué)生解決問題的

興趣。

—\出ZF學(xué)習(xí)目標(biāo)（明確目標(biāo)，確定方向）

1.了解圓是軸對(duì)稱圖形.

2.掌握垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計(jì)

算、證明和作圖問題.（重點(diǎn)）

3.垂徑定理推論的探究.（難點(diǎn)）

三、動(dòng)手操作，探究新知

（-）活動(dòng)一：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對(duì)稱軸嗎？在折

的過程中你有何發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生操作）

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。

（二）活動(dòng)二：大家在圓上任意畫一條直徑，然后畫出其中一條與直

徑垂直的弦，將圓沿著直徑所在的直線再次折疊，觀察并回答以下問

題：

1、在折疊過程中，有哪些重合的線段？

2、有哪些重合的弧?

線段：AE=BE。重合的?。篟=CB,AD=BD

（三）歸納總結(jié)：

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

圖形總結(jié)：

垂徑定理的幾個(gè)基本圖形:

E觸趣枷健楣版

（四）當(dāng)堂練習(xí)一

1、AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為M,下列結(jié)論不一定成立是（）

A.CM=DMB.CB=DB

C.ZACD=ZADCD.OM=MB

2、如圖，在。。中，AB,AC是互相垂直的兩條弦，ODLAB于點(diǎn)D,

OE_LAC于點(diǎn)E,且AB=8cm,AC=6cm,那四邊形OEAD的周長為

（五）活動(dòng)三:思考

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；

④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？我們

先來研究①過圓心③平分弦能否推出②垂直于弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)

?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣??？

（六）活動(dòng)四：

結(jié)論：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

這個(gè)結(jié)論一定正確嗎？

如果這條弦是直徑呢？這個(gè)結(jié)論還正確嗎？

圓的兩條直徑是互相平分的，但不一定垂直。

垂徑定理的推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.

（七）當(dāng)堂練習(xí)二

1、如圖，。。的直徑為10,M是AB的中點(diǎn)，且0M=3,則。。的弦

AB等于

2、如圖，AB為。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,

則。。的半徑為

*

O

趙州橋是我國隋朝建造的石拱橋，是我國古代人勤勞與智慧的結(jié)晶。

它的主橋拱是圓弧形，它的跨度是37米，拱高是7.23米，你能求出

半徑嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)本節(jié)課知識(shí)的學(xué)習(xí)，來來解決情景引入的問題。讓

學(xué)生體會(huì)到學(xué)有所成，進(jìn)而更加激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與動(dòng)力。

歸納總結(jié)

涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)

的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑

定理和勾股定理求解

四、課堂小結(jié)

1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

2、推論：一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦；③平分弦（不是直

徑）；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件

就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”

3、方法總結(jié)：兩條輔助線：連半徑，作弦心距。

五、當(dāng)堂檢測

1.已知。。中，弦AB=8cm,圓心到AB的距離為3cm,則此圓的半徑

為

2.（分類討論題）已知。0的半徑為10cm,弦MN〃EF,且

MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

3如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面AB寬為2米，凈高5米，

則圓拱形門所在圓的半徑是多少米？

六、布置作業(yè)

課本83頁練習(xí)1、2

要求：1>15分鐘

2、步驟書寫要規(guī)范

學(xué)情分析

24.1.2垂直于弦的直徑

1、學(xué)生心理特征：進(jìn)入初三，學(xué)生思維活躍，求知欲強(qiáng)，對(duì)探索問

題充滿好奇，在課堂上有互相競爭的渴望，相比之前，他們有一定的

知識(shí)儲(chǔ)備，尤其具備了一定的幾何知識(shí)的積累，對(duì)學(xué)習(xí)本節(jié)課都有一

定的幫助作用。但初三的學(xué)生課堂上活躍度降低，所以要設(shè)置合理地

教學(xué)環(huán)節(jié)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

2、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線、三

角形、四邊形的幾何知識(shí)，無論在對(duì)圖形性質(zhì)的探究上還是在幾何定

理的學(xué)習(xí)上都有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備，為學(xué)習(xí)本節(jié)課打下了基礎(chǔ)。而且

本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的弦、弧等概念的基礎(chǔ)上再深入探究垂直于

弦的直徑與弦以及弦所對(duì)的兩條弧的關(guān)系，具備了探究垂徑定理的能

力。

3、學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在此之前已經(jīng)明確了幾何定理探究的過

程，經(jīng)歷“動(dòng)手操作一一歸納猜想一一驗(yàn)證猜想一一實(shí)際應(yīng)用”的步

驟，在此基礎(chǔ)上探究垂徑定理以及推論，思路很清晰。

總之，初三的學(xué)生理解能力增強(qiáng)，自控能力提高。無論是從知識(shí)

儲(chǔ)備上還是從思維提升上都為學(xué)好本節(jié)課提供了充分的保障。

效果分析

本節(jié)課對(duì)于垂徑定理的理解以及推論的探究，對(duì)學(xué)生來說是個(gè)難

點(diǎn)，在動(dòng)手操作時(shí)比較順利，但是讓學(xué)生把操作后得到的結(jié)論進(jìn)行總

結(jié)歸納時(shí)有困難。

一、圓的對(duì)稱性是學(xué)生早已經(jīng)掌握的知識(shí)，在親自動(dòng)手驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生

很容易得出圓時(shí)軸對(duì)稱圖形，并且任何一條直徑所在的直線都是圓的

對(duì)稱軸。但是在描述對(duì)稱軸時(shí)，學(xué)生容易說成是直徑，教師引導(dǎo)學(xué)生

對(duì)稱軸是一條直線，從而得出正確結(jié)論。

二、探究垂徑定理時(shí)，學(xué)生動(dòng)手操作很容易得到相等的線段和重合的

弧，但是讓學(xué)生自己總結(jié)這個(gè)結(jié)論需要教師引導(dǎo)。然后分析出這個(gè)命

題的題設(shè)和結(jié)論，寫出已知和求證。在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)于一句完

整的話特別容易找錯(cuò)題設(shè)與結(jié)論，學(xué)生之間互相糾正補(bǔ)充最終得到正

確答案，證明過程掌握很好。找準(zhǔn)題設(shè)與結(jié)論，再寫幾何語言，很快

能接受。對(duì)于直徑這個(gè)條件弱化成過圓心，需要我們重點(diǎn)指出垂直與

平分，在圖形上不斷變化，學(xué)生掌握比較好。

三、有了垂徑定理探究的經(jīng)驗(yàn)，在探究其推論比較順利，但是學(xué)生忽

略不是直徑這個(gè)條件，所以需要教師提示，最終舉出反例，得到正確

結(jié)果。

四、前邊已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，所以在總結(jié)輔助線連半徑，作弦心距

時(shí)，接受起來還是比較容易的。當(dāng)堂練習(xí)一、二除了學(xué)困生，其他同

學(xué)都能準(zhǔn)確的做出來。

總之，本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)比較抽象，需要結(jié)合圖像去理解，并且分成

五個(gè)結(jié)論去分析，學(xué)生更容易理解的記憶，并且本節(jié)課符合垂徑定理

條件的幾個(gè)圖形，教師指點(diǎn)理解，更有助于學(xué)習(xí)。

24.1.2垂直于弦的直徑

本節(jié)課是新人教版九年級(jí)上冊第二十四章第一節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)

容。本章主要內(nèi)容分四部分：圓的基本性質(zhì)、點(diǎn)和圓，直線和圓的位

置關(guān)系、正多邊形和圓以及弧長和扇形面積。是在學(xué)習(xí)了直線圖形有

關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究一種特殊的曲線圖形一一圓形。圓是平面幾何

中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

以及其他學(xué)科重要的基礎(chǔ)。所以本章教學(xué)在初中占有重要地位。

本節(jié)課課時(shí)分配3課時(shí)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的弦、弧等概念的基

礎(chǔ)上再深入探究垂直于弦的直徑與弦以及弦所對(duì)的兩條弧的關(guān)系，具

備了探究垂徑定理的能力。而且本節(jié)課的知識(shí)也是圓的計(jì)算以及有關(guān)

證明的一個(gè)工具，尤其涉及到的“連半徑，作弦心距”的輔助線做法

貫穿整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)習(xí)下面幾節(jié)課打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課所涉及到的幾何定理的學(xué)習(xí)，也是學(xué)生再次學(xué)習(xí)幾何知識(shí)

的基礎(chǔ)。經(jīng)歷“動(dòng)手操作一一歸納猜想一一驗(yàn)證猜想一一實(shí)際應(yīng)用”

的模式，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生過程與作用，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高中幾

何知識(shí)也是一個(gè)很好的鋪墊。

24.1.2垂直于弦的直徑

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1圓的對(duì)稱性

1.下列說法中，不正確的是(D)

A.圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

B.圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與它自身重合

C.圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條，對(duì)稱中心只有一個(gè)

D.圓的每一條直徑都是它的對(duì)稱軸

知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理

2.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為M,下列結(jié)論不一定成立的是①)

A.CM=DMB.CB=DB

C.ZACD=ZADCD.OM=MB

A

R

3.(張家界中考改編)如圖，AB是。。的直徑，弦CDJ_AB于點(diǎn)E,0C=5cm,CD=8cm,則

0E=(C)

A.4cmB.5cm

C.3cmD.2cm

【變式】變式點(diǎn)：求圓心到弦的距離f求弦或半徑

⑴(瀘州中考)如圖，AB是。0的直徑，弦CD±AB于點(diǎn)E.若AB=8,AE=1,則弦CD

的長是(B)

A.幣B.2小

C.6D.8

(2)(長沙中考)如圖，AB為。。的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,則。0

的半徑為5.

4.如圖，在。0中，AB,AC是互相垂直的兩條弦，OD_LAB于點(diǎn)D,OEJ_AC于點(diǎn)E,且AB=8

cm,AC=6cm,那四邊形OEAD的周長為14cm.

知識(shí)點(diǎn)3垂徑定理的推論

5.如圖，。。的半徑為10,M是AB的中點(diǎn)，且0M=6,則。。的弦AB等于(D)

A.8

B.10

C.12

D.16

知識(shí)點(diǎn)4垂徑定理及其推論的應(yīng)用

6.如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長OA為2.5米，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水

平距離AB為3米,則秋千擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差(即CD)為&5米.

7.(衢州中考)一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)A,B,C在。。上，CD垂直平分AB于點(diǎn)

D.現(xiàn)測得AB=8dm,DC=2dm,則圓形標(biāo)志牌的半徑為(B)

A.6dmB.5dm

C.4dmD.3dm

8.如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面AB寬為2米，凈高5米，則圓拱形門所在圓的半

徑是多少米？

c

解:連接OA.

VCD1AB,且CD過圓心0,

.?.AD=：AB=1米，ZCDA=90°.

設(shè)。。的半徑為R,則

0A=0C=R,0D=5-R.

在RtaOAD中，由勾股定理，得

0A2=0D2+AD2,即

R2=(5-R)2+l2,解得R=2.6.

故圓拱形門所在圓的半徑為2.6米.

易錯(cuò)點(diǎn)垂徑定理中混淆“直線”“直徑”與“弦”三個(gè)概念

9.下列說法正確的是（D）

A.過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧

B.弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩條弧，但不一定過圓心

C.過弦的中點(diǎn)的直徑垂直于弦

D.平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑平分弦

中檔題

10.【分類討論思想】（青海中考）已知AB,CD是00的兩條平行弦，AB=8,CD=6,。。的

半徑為5,則弦AB與CD的距離為（D）

A.1B.7

C.4或3D.7或1

提示：分AB,CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況去求值，如圖所示.

11.（涼山州中考）如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)H,/A=30°,CD=2#,則。

0的半徑是1

12.【關(guān)注數(shù)學(xué)文化】（廣西中考）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的

數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一

問題”今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝

同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺

=10寸），則該圓材的直徑為組寸.

13.（嘉興中考）如圖，在。0中，弦AB=1,點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接0C,過點(diǎn)C作CDJ_OC

交。。于點(diǎn)D,則CD的最大值為宏

14.（海南中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（20,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（16,0）,

點(diǎn)C,D在以0A為直徑的半圓M上，且四邊形0CDB是平行四邊形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為⑵6）.

MBAx

15.如圖，已知在以點(diǎn)0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,D.

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓心0到直線AB的距離為6,求AC的

解：（1）證明：過點(diǎn)0作OELAB于點(diǎn)E.

則CE=DE,AE=BE.

...AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

⑵連接OA,0C.

由（1）可知，OE_LAB且OEJ_CD,

CE=^/0C2-0E2=^/82-62=2V7,

AE-A/0A2-0E2-^102-62=8.

，AC=AE-CE=8-2小.

綜合題

16.（教材P91習(xí)題T15變式）（南京中考）如圖，。。的弦AB,CD的延長線相交于點(diǎn)P,且

AB=CD,求證：PA=PC.

A/

證明：過點(diǎn)0分別作OMJ_AB,ON±CD,垂足分別為M,N,連接OA,OC,OP.

V0M±AB,ON±CD,

AM=^AB,CN=^CD.

VAB=CD,AAM=CN.

在RSOAM和RlZ\OCN中，Z0MA=Z0NC=90o,

根據(jù)勾股定理，得OM=，U鏟二麻，ON-^/OC2-CN2.

XV0A=0C,AM=CN,.\OM=ON.

又；OP=OP,.*.RtAOPM^RtAOPN(HL),

；.PM=PN.

；.PM+AM=PN+CN,即PA=PC.

課后反思

一反思情景引入

數(shù)學(xué)課到了初三,兩極分化非常嚴(yán)重，學(xué)困生對(duì)數(shù)學(xué)很難產(chǎn)生興趣，

枯燥機(jī)械的練習(xí)更加削弱對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力，所以每一節(jié)新課能有一

個(gè)聯(lián)系實(shí)際問題的情景引入，很能吸引學(xué)生注意，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)

知識(shí)離我們很近，好好利用，能為我們生活提供很多幫助。為此本節(jié)

課以例題為主體設(shè)計(jì)了一個(gè)趙州橋的引入，即聯(lián)系實(shí)際又提出問題,

激發(fā)學(xué)生興趣和解決問題的動(dòng)力。情景的引入不能生搬硬套，必須和

本節(jié)課知識(shí)息息相關(guān)，不能為了引入而引入。

二備課要從學(xué)生角度

很多知識(shí)對(duì)于教師來說很容易理解，但是如何讓學(xué)生按照我們的

思路去學(xué)習(xí)，就需要我們清楚學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知能力，本節(jié)課我

過高的估計(jì)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力和理解能力，所以在讓學(xué)生自己總

結(jié)垂徑定理時(shí)就遇到了難題，很多學(xué)生就是直接找到課本上的內(nèi)容直

接讀的。另外，在理解起來比較困難的課堂上，一定要給足學(xué)生時(shí)間，

充分利用小組的力量進(jìn)行討論，讓他們彼此糾錯(cuò)，理解。效果遠(yuǎn)比老

師直接給出結(jié)果好的多。每一次數(shù)學(xué)課上都會(huì)涉及經(jīng)典的解題方法或

者輔助線做法，一定要總結(jié)及時(shí)到位。還有定理探究的模式，我們不

止需要傳授知識(shí)，更應(yīng)該讓學(xué)生知一推三，數(shù)學(xué)思想的灌輸也很重要。

三、反思語言的表述

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些結(jié)論的表述很重要，語言的簡練性還是有待

提高?？偸桥聦W(xué)生聽不懂，語言贅述太對(duì)。結(jié)合這個(gè)學(xué)科的特點(diǎn)，

堂好的數(shù)學(xué)課，教師的語言組織非常重要，用詞的準(zhǔn)確性直接會(huì)影響

到學(xué)生的理解和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

四、反思習(xí)題的設(shè)置

在時(shí)間充裕的前提下，可以多設(shè)置幾個(gè)基礎(chǔ)題目鞏固新知，然后

選擇一道發(fā)散題目，提升能力。我過高的估計(jì)了這節(jié)課的容量，雖然

題目設(shè)置的很少，但是當(dāng)堂檢測第二題，學(xué)生還是遇到了難度，占用

了一些時(shí)間，這就會(huì)使得基礎(chǔ)題目練習(xí)不充分。

通過反思本節(jié)課教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)太過零散,

不能與前邊所學(xué)的相聯(lián)系，進(jìn)行知識(shí)整合。孤立，機(jī)械的學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

很危險(xiǎn)。所以，下一步我要及時(shí)總結(jié)方法，以專題式設(shè)計(jì)進(jìn)行課堂教

學(xué)，讓學(xué)生能夠?qū)χR(shí)進(jìn)行分類學(xué)習(xí)，達(dá)到知識(shí)整合的目的。

課標(biāo)分析

24.1.2垂直于弦的直徑

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生在情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)，改變傳統(tǒng)的

孤立、機(jī)械、淺層的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)入主動(dòng)、聯(lián)系、深層的學(xué)習(xí)方