初中數(shù)學重點模型20 動點在二次函數(shù)中的綜合一

專題20動點在二次函數(shù)中的綜合(1)

1.如圖，拋物線丫=公2+公+6與x軸交于點A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點D(4,，〃)在拋物線上，連接BC、BD試問，在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

c/

備用圖

解：(1)當x=0時，y=6,

...點C的坐標為(0,6).

設拋物?線的解析式為y=a(x+2)(x-6),將C(0,6)代入得：-12a=6,解得〃=-*.

???拋物線的解析式為y=-*(x+2)(x-6)f整理得：y=--^/+2工+6.

(2)將x=4代入得:y=6.

AD(4,6)?

如圖所示：作點。E〃工軸，過點5作3￡〃)，軸，作點。關(guān)于3C的對稱點。，則30=50,過點。作

。下，R軸，垂足為立

P--E

：.OB=OC.

：.ZOBC=45°.

：.ZOBC=ZEBC.

又'：/D'BC=/DBC,

:?/DBE=/DBF.

'ND'FB=ZDEB

在△DEB和△。,8中，ZDBE=ZDyBF，

BD=BDZ

:?D，F(xiàn)=ED=2,BF=BE=6.

，點。的坐標為（0,2）.

設60的解■析式為y=kx+2將點B的坐標代入得：62+2=0,解得k=-

fo

80的解析式為尸-/x+2.

將）=-得x+2代入尸-9+2x+6得：--1x+2=-得N+2X+6，整理得：3N-14%-24=0,解得:x=

O乙0

4

6（舍去）或1=-Q.

o

將x=-《■代入得：y=-[x（-等）+2=4+2=警

o66yy

，點P的坐標為（-4，二三）.

39

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+l與拋物線)=/+縱+。交于4,B(4,5)兩點，點A在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點E是線段A3上一動點(點A,8除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當線一段EP的

長度最大時，求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點P,使NPE尸=90。？若存在，求出點P的坐標；若不存

在，說明理由.

得：x+\=0,解得：x=-l,

???點A(-1,0).

l-b+C=0.cQ

將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得:，解得：b=-2,c=-3.

16+4b+c=5

???拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

設點E的坐標為(x,x+1),則點尸的坐標為尸(x,x2-2x-3).

395

設七尸=(x+1)-(x2-2x-3)=-x2+3x+4=-(x--)2+--

24

.?.當X奇時，EF有最大值.

將》="|■代入y=x+l得：y=^-

：.E(―,-).

22

(3)如圖2所示：過點E作PELEE交拋物線與點尸或點P,則加=]■.

y.

陰/p,

卜1尸圖2

將尸趣代入拋物線的解析式得：x2-2A--3得解得：》=1+等，x=1-亭.

.?.點P的坐標為(I-運，堤)或(1+返，堤).

2222

3.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y="(x+l)(x-3)交x軸于A、8兩點，交y

軸于點C,ZABC=45°,

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2，，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，△BCP的面積為3時，且NBCP>45。，求尸點坐標；

(3)如圖3,在(2)的條件下，D、E為拋物線上的點，且兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，過。作x軸垂

線交?過點尸且平行于x軸的直線于。，EQ交拋物線于R,延長。。至H,連接RH,tanNERH=學,

當線段OH=4時，求點。的,坐標.

解：(1)對于拋物線y=a(x+1)(尤-3),令y=0,得至ija(x+1)(x-3)=0,解得方=-1或3,

?"(-1,0),5(3,0),

J。3=3,

NA8C=45。，

:?OC=OB=3,

AC(0,3),把(0,3)代入y=a(x+l)(x-3)得至lja--1,

???拋物線的解析式為y=-N+2X+3.

(2)如圖2中，作尸〃J_A8于”，交BC于■,作CEJ_尸”于E,設P(m,-w2+2rw+3).

VB(3,0),C(0,3),

???直線BC的解析式為y=-1+3,

T(mt-"?+3),

V5PBC=S^P7(.-+5APTB^--PT-CE+—>PT*BH=—PT*(CE+BH)=--PT-OB=—X(-/?2+3/n)x3=3,

A22222

整理得m2-3m+2=0,

.*.771=1或2,

?；NPCB>45。,

/.m=1,

：.P(1,4).

(3)如圖3中，作KM_L。。于M,連接EM.DH交AB于N.設。(%-層+2〃+3).

VPQ//DE,PQLDQ,DHLAB,

：.Q(n,4),

：.DE=2(/?-1),3。=4-(-n2+2?+3)=(〃-1)2,

.DQ_(n-l)2_n-lDE_2(n-l)_n-l

"DE2(n-l)2'DH42'

.DQ_DE

"DE^DH'

ZEDQ=/EDH=90。,

:?△EDQSRHDE,

:"DEQ=/EHD,

?；NDEQ+NEQD=90。,

.\ZEHD+ZEQD=90°f

，NHEQ=90。，

*/NREH+NRMH=180。,

:?E、H、M、R四點共圓，

；?NERH=NEMH,

tanZERH=tanZEMD=羋"=典",

9DM

9

：.DM=—(〃-1),

8

,:RM〃DE,

?RM=QM

"DE-QD

1?RM=2〃----,

4

17q

4-(n-1)2+—(n-1)],

48

q1717

把點R坐標代入y=-r+2犬+3得到，4-(n-1)2+g(〃-])=-(-2+2(-〃+號_)+3,

解得

QQ

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=捺/-3一3與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C

84

（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標：

ABC

（2）點尸從點A出發(fā)，在線段A3上以每秒3個單位長度的速度向點3運動，同時點。從點8出發(fā)，

在線段8C上以每秒1個單位長度的速度向點C運動.其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.設

運動的時間為/（秒），

①當，為何值時，BP=BQ?

②是否存在某一時刻3使ABP。是直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的f的值，若不存在，請

說明理由.

備用圖

解：(1)由y=~^2~-3得到：y=g(x-4)(x-2)或(x-1)2-?

84888

所以A(-2,0),B(4,0),

令x=O,則y=-3,

所以C(0,-3)；

綜上所述，A(-2,0),B(4,0),C(0,-3)；

故答案是：(-2,0),(4,0),(0,-3)；

(2)①(-2,0),B(4,0),

."3=6,

由8P=8。得到：6-3t=t,

3

解得

@'：B(4,0),C(0,-3),

：.OB=4,OC=3,

BC=VOB2+OC2=5-

i)如圖1,當/BPQ=90。時，4BPQS/\BOC,則空■=旦，即左匹?=2,

OBBC45

解得

z7)如圖2,當N8QP=90。時，△BPQ^^BCO,則典=鯉，即虻"-=工

BC0B54

解得『爸

圖2

圖1

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(-3,0),

與)，軸交于點C,以直線x=l為對稱軸的拋物線y=ax2+^+c(隊b、c為常數(shù)，且得0)經(jīng)過人。兩

點，并與x軸的正半軸交于點B

(1)求，〃的值及拋物線的函數(shù)表達式；

(2)是否存在拋物線上一動點Q,使得AACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點。的

橫坐標；若存在，請說明理由；

(3)若尸是拋物線對稱軸上一動點，且使AACP周長最小，過點尸任意作一條與y軸不平行的直線交

M.P-MnP

拋物線于Mi(xi,yi),M2(X2,”)兩點，試問一—---是否為定值，如果是，請求出結(jié)果，如果不

是請說明理由.

(參考公式：在平面直角坐標之中，若A(xi,yi),B(%2,y2),則A,B兩點間的距離為AB=

22

yj(x!-x2)+(yj-y2))

解：（1）???一次函數(shù)y=%+優(yōu)（團為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3,0）,

4

0——x(-3)+〃?，解得切_15

4一丁

，一次函數(shù)解析式為y=2x+-15

4V

；.C點坐標為（0,學）.

4

1R

???以直線X=1為對稱軸的拋物線y=or2+bx+c（〃、6、c為常數(shù)，且存0）經(jīng)過A（-3,0）、C（0,二手）,

4

i

上=1a-

2a

4,

9a-3b+c=0?解得《b

2

15

C^T15

c~

，拋物線的函數(shù)表達式為y=-4+1+生;

424

⑵存在.設"尹印?

①當點C為直角頂點時，如圖，作CQLAC交拋物線于點。，QELy軸于E.

在△4。0與4CQE中，

fZACO=ZCQE=90°-ZQCE

IZA0C=ZCEQ

/.△ACO^ACQE,

x15z12115、

?QE^CE即宣=上區(qū)UtQ

"CO"AO

43

解得XI=5.2,X2=0（不合題意舍去）；

②當點4為直角頂點時，如圖，作AQ'^AC交拋物線于點。'，QELx軸于E.

在△4。0與4QAf7中，

rZOAC=ZEzQ'A=90°-NOAQ'

|ZAOC=ZQZE'A

：./\ACO^/\Q'AE',

x+312j_15

?AE'_Q'E'

BP-15-=7x-yxw

CO-A0

V3

解得為=8.2,X2=-3（不合題意舍去）.

綜上所述：。點的橫坐標為5.2或8.2；

111R

(3)??？=與X軸交于A(_,0)、B兩點,對稱軸為直線x=L

4243

???8點坐標為(5,0),

15

VC(0,4)，

4

直線BC的解析式為y=-申x+孕，

44

當x=l時，y=-2xl+至=3,

44

：.P(1,3).

設過點P的直線為：y=kt+3-k,

把y=G+3-k代入y=-1x2+5x+學,

424

得fcr+3-k=--.r2+-^-.r+^-，

424

整理得，x2+(402)x-4?-3=0,

.'.XI+X2=2-4kfx\X2=-4^-3,y\-yi=k(xi-%2),

(xi-xi)2=(xi+x2)2-441X2=(2-4k)2-4(-4Z-3)=16Z:2+16,

2+<2=2X-x4

(x!-x2)(YI~y2)Vl+k^^12^。+公)，

同理：M\P=^(xj-l)2+(kx|+3-k-3)l+k2^xi2'

MP=1l+k”區(qū)-1)2,

：.MiP-MiP=yjl+k2l/(Xj-1)2-Vl+k27(x2-1)2=15-1)12-1)1?(l+F)=4(l+F)，

?1工一=i為定值.

2

O,

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線_y=Ax-7與y軸交于點C,與x軸交于點8,拋物線)，="2+笈+14”

經(jīng)過8、C兩點，與x軸的正半軸交于另一點A,且04：0C=2：7.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D在線段CB上，點P在對稱軸的左側(cè)拋物線上，PD=PB,當tanZPDB=2,求點P的坐標;

(3)在(2)的條件下，點Q(7,〃)在第四象限，點R在對稱軸的右側(cè)拋物線上，若以點P、D、Q、

R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點。、R的坐標.

解：(1).??直線)，=履-7與)，軸的負半軸交于點C

：.C(0,-7),

；.OC=7,

?拋物線y—ax2+hx+14a經(jīng)過點C,

/.14a=-7,

._1

/.y=---jt^+bx-7,

2

U：OA：OC=2：7.

：.OA=2r

：.A(2,0)

拋物線y=-^x2+bx-7經(jīng)過點A,

.*?/七9

工拋物線的解析式為y=--1x2+-|x-7,

(2)如圖1,

I圖1

1Q

?/拋物線y=-微/+菅匕-7經(jīng)過8點，

令y=0解得冗=7或元=2(舍去)，

：.B(7,0),

/.08=7,

:.OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°

過點P作尸凡Lx軸于點G,交。8延長線于點F,則Pr〃y軸,

：.ZCFG=ZOCB=45°t

：.BF=y/2GFf

過P作于點E,

?:PD=PB,

:./PBD=/PDB,

：.tanZPBD=tanZPDB=2,

：?PE=2BE,

■;EF=PE,

,BF=BE,

：,PF=y[2PE=2&8E=2yp^F=4GF,

：.PG=3GF,

:直線尸質(zhì)-7過8點，

?二女=1,

?\y=x-7,

設F(vn,tn-1),則尸(M，-3("?-7)),

???點P在拋物線y=--1.r2+-1x-7上，

1g

-3(ZM-7)=m2+-m-7,

22

解得，"=7(舍去)或MJ=8,

：.P(8,-3)；

(3)如圖2,當。P〃QR時，即四邊形。QRP是平行四邊形,

:B(7,0),Q(7,m)

...8?！?，軸

過P作PN//BQ,過。作DN1BQ交PN于點N,

過R作RMLBQ于點M.

設尸。交8Q于點T,DN交BM千點、I,

：.NDTB=ZDPN,NPTQ=ZRQM,

；NDTB=/PTQ,

：.4DPN=NRQM,

???四邊形QPKQ是平行四邊形，

：.DP=RQ,

在^RMQ和^DNP中，

，ZRQM=ZDPN

,ZRMQ=ZDNP.

RQ=DP

：./\RMQ^/\DNP(AAS),

：.RM=DN,MQ=PN,

由(2)可求F(8,1),GF=1,BD=2BE=2BF=2&GF=2

VZgBC=45°,:?B1=DI=2,

：.D(5,-2)，

設/?點的橫坐標為3

,:RM=DN,

"7=8-5,

解得f=10,

1Q

??,點R在拋物線尸-尹+臺-7上，

1q

???當，=10時、--1-xl02+-|xl0-7=-12,

：.R(10,-12),

■:MQ=PN,

.*.3-2=-12-〃，

???幾=-11,

:,R(10,-12),0(7,-11),

如圖3,當。R〃QP時，即四邊形。QP及是平行四邊形

同理可求得R(6,2),Q(7,-7).

7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=or2+bx+c(a<0)與x軸交于A(-2,0)、8(4,0)兩點，

與y軸交于點C,且。C=2OA.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=fcv+l(%>0)與y軸交于點。，與拋物線交于點尸，與直線2c交于點M,記，*=瞿，試

DM

求m的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，點。是x軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點。、

N,使得以P、。、Q、N四點組成,的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說

明理由.

解：(1)因為拋物線y=ar2+%x+c經(jīng)過A(-2,0)、8(4,0)兩點，

所以可以假設y=a(x+2)(x-4),

：OC=2OA,OA=，2,

.?.C(0,4),代入拋物線的解析式得到。=-/,

111Q

?*.y=--(x+2)(x-4)或y=-—x2+x+4或y=-—(x-1)2+—.

(2)如圖1中，由題意，點P在)，軸的右側(cè)，作PELr軸于￡交BC于F.

■:CD//PE,

：./\CMDS?FMP,

._PM_PF

??ITl，

DMDC

;直線y=fcv+l(k>0)與y軸交于點O,則。(0,1),

的解析式為y=-x+4,

設P(M,---小+〃+4),則/(〃，-〃+4),

2

；?PF=--?2+n+4-(-〃+4)=-—(zi-2)2+2,

22

9

???當〃=2時，團有最大值，最大值為泉此時P(2,4).

(3)存在這樣的點。、M使得以P、D、。、N四點組成的四邊形是矩形.

①當力P是矩形的邊時，有兩種情形，

。、如圖2-1中，四邊形。QN尸是矩形時，

圖2-1

fcr+1中，得到k=*,

有(2)可知P(2,4),代入y=

/.直線DP的解析式為y-|x+l,9

可得。(0,1),￡(0),

由4DOEs/\QOD可得空=空,

OQ0D

：.OU=OE*OQ,

.?.1=39OQ,

3

???OQ=>|,

3

：.Q(1,0).

根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點尸向右平移微個單位，向下平移1個單位得到點N,

37

：.N(2+—,4-1),即N(J3)

22

b、如圖2-2中，四邊形PQNQ是矩形時,

直線PQ的解析式為y=-^+^-,

：.Q(8,0),

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

②當。尸是對角線時，設。(X,0),貝IJ。￡>2=彳2+1,QP2=(X-2)2+42,p￡>2=]3,

是直角頂點，

：.QD2+QP2^PD2,

：.^+l+(x-2)2+16=13,

整理得X2-2X+4=0,方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點N坐標為(彳，3)或(6,-3).

8.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點，與

y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖2,CE〃犬軸與拋物線相交于點E,點，是直線CE下方拋物線上的動點，過點”且與y軸平

行的直線與BC,CE分別相交于點F,G,試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求

點H的坐標；

（3）若點K為拋物線的頂點，點M（4,，〃）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P,。，使

四邊形PQKM的周長最小，求出點P,。的坐標.

解：(1)：點A(-1,0),B(5,0)在拋物線>=以2+6-5上,

.(a-b-5=0

I25a+5b~5=0

a=l

解得

b=-4

拋物線的表達式為），=/-4x-5,

(2)設“Ct,t2-4r-5),

軸，

??.點E的縱坐標為-5,

在拋物線上，

.".x1-4x-5=-5,

；.x=0(舍)或x=4,

：.E(4,-5),

；.CE=4,

,：B(5,0),C(0,-5),

直線BC的解析式為y=x-5,

：.F(6f-5),

：.HF=t-5-(r2-4r-5)=-(f-互)2+9,

24

???CE〃x軸，〃/〃y軸，

：.CELHFf

S四邊形CHEF—￡CE.HF=-2(z--1)2+-y-,

5

：.H.35)

24

(3)如圖2,為拋物線的頂點，

：.K(2,-9),

K關(guān)于y軸的對?稱點/f(-2,-9),

,:M(4,m)在拋物線上,

：.M(4,-5),

...點M關(guān)于x軸的對稱點“<4,5),

直線KM的解析式為y=^-x-4，

00

9.如圖，已知拋物線)，=N+2x的頂點為A,直線y=x+2與拋物線交-于8,C兩點.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)作C￡)，x軸于點￡>,求證：△OQCs△ABC：

(3)若點P為拋物線上的一個動點，過點P作尸M_Lx軸于點則是否還存在除C點外的其他位置的

點，使以O,P,M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出這樣的尸點坐標；若不存在，請說

明理由.

，頂點A(-1,-I)；

2

x=-2?x=l

由，…+2x,解得:八或

y=x+2y=0y=3

：.B(-2,0),C(1,3)；

(2)證明：VA(-1,-I),B(-2,0),C(1,3),

；?A8=yj(-2+1)2+(O+l)2=V2,

SC=V(-2-1)2+(0-3)2=3V2-

AC=V(-1-1)2+(-1-3)2=2爬,

NABC=90°,

VOD=1,CD=3,

?.?0D~_~1~，

CD3

NABC=NOOC=90。,

BCCD

：.^ODC^/\ABC；

（3）存在這樣的P點,

設M(x,()),則P(x,x2+2x),

：.OM=\x\,PM=|^+2x|,

當以O,P,M為頂點的三角形與△ABC相似時,

右

fI-P--M--=--A--B--nV--P--M--=--C--B--

OMCBONAB

由(2)知：AB=?,CB=3M,

①當粵=萼時，則北善

OHCDIx|3

當P在第二象限時，xVO,x2+2x>0,

2

:.X+2x=工,解得：X]=o(舍)，足=-《,

-X33

當P在第三象限時，x<0,x2+2r<0,

?「x_2x=1,解得：汨=0(舍)

-x3

②當粵=*時，則」X；,XL=3,

OMAB|x|

同理代入可得：*=-5或*=1(舍)

（--I，-?）或（-g1）或（-5,15）.

綜上所述，存在這樣的點尸，坐標為

3939

19

10.如圖，已知拋物線產(chǎn)-爭2經(jīng)過點4(5,仔)、點3(9,-10),與丁軸交于點。，點P是

直線AC上方拋物線上的一個動點；

(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線/與直線BC交于點E,當四邊形AECP的面積最大時;