初中九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷含解析3

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市海曙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（4分）拋物線y=-（x-iy+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,2）B.㈠⑵C.（1,-2）D.（-1,-2）

2.（4分）在同一時刻，身高1.8米的小強(qiáng)在陽光下的影長為0.9米，一棵大樹的影長為4.6

米，則樹的高度為（）

A.9.8米B.9.2米C.8.2米D.2.3米

3.（4分）如圖，鉆是OO的直徑，MN是O。的切線，切點(diǎn)為N,如果NMVB=52。，

則NNQ4的度數(shù)為（）

A.52°B.56°C.54°D.76°

4.（4分）下列事件中是必然事件的有（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，著地時正面向上

B.三角形內(nèi)心到三邊距離相等

C.測量寧波某天的最低氣溫，結(jié)果為-80°C

D.某個數(shù)的絕對值大于0

5.（4分）sin70°,cos70°,tan70。的大小關(guān)系是（）

A.tan700<cos700<sin70°B.cos700<tan700<sin70°

C.sin700<cos700<tan70°D.cos700<sin700<tan70°

6.（4分）如圖，在AA5C中，ZA=78°,AB=4,AC=6,將AA8C沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

4

78°

C

R

7.（4分）已知AA8C中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)尸為邊A3的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為

圓心，長度，?為半徑畫圓，使得點(diǎn)A,P在0c內(nèi)，點(diǎn)3在G）C外，則半徑r的取值范圍是（

）

A.-<r<4B.-<r<3C.3<r<4D.r>3

22

8.（4分）如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2.以8c的中點(diǎn)O為圓心的圓弧分

別與反、AC相切于點(diǎn)。、E,則圖中陰影部分的周長是（）

9.（4分）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,P是45邊上一動點(diǎn)，PDLAC

于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在P的右側(cè)，且PE=1,連接CE,P從點(diǎn)A出發(fā)，沿鉆方向運(yùn)動，當(dāng)E到

達(dá)點(diǎn)8時，P停止運(yùn)動，設(shè)圖中陰影部分面積岳+邑=^,在整個運(yùn)動過程中，函

數(shù)值），隨x的變化而變化的情況是（）

A.一直減小B.一直增大C,先減小后增大D.先增大后減小

10.（4分）一個矩形按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大兩個三角形紙片按圖2

中①、②兩種方式放置，設(shè)①中的陰影部分面積為M;②中的陰影部分面積為邑，當(dāng)

時，則矩形的兩邊之比為（）

圖1圖2①圖2②

A.2B.V2C.-D.73

3

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,則tanA的值為.

12.（5分）小莉拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地均正面朝上，如果她第四

次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為一.

13.（5分）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O,

另--邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)。、E,量出半徑OC=5cm,弦E>E=8C7〃，則直尺的寬

度.

14.（5分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表:

X…-101234

y??.1052125

A（〃?-4,y）,8（加+6,力）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，若必=%，則加的值為-

15.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，半徑為4的。。與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,

點(diǎn)B是。。上一動點(diǎn)，點(diǎn)C為弦A3的中點(diǎn)，直線y=?x-6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,

4

則bCDE面積的最小值為.

16.（5分）如圖，正六邊形ABCDEF中，G,H分別是邊AF和DE上的點(diǎn)，GF=-AB=2,

3

NGCH=60。，則線段E"長.

CD

三、解答題（第17題6分，18題8分，第19,20,21,22題每題10分，第23題12分，

第24題14分共80分）

17.（6分）計算:3tan30°+cos2450-2sin60°.

18.（8分）在5x5的方格中，A4BC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，我們把像這種頂點(diǎn)在格點(diǎn)的

三角形叫格點(diǎn)三角形，請按要求完成下列作圖.

（1）在圖1的方格中作出與AA8C相似的最小格點(diǎn)三角形；

（2）在圖2中把線段AC分成三條相等的線段==點(diǎn)E,F都在線AC上.（①

只能用無刻度的直尺作直線；②保留作圖痕跡）

A/A/\

/\C/\C

BB

圖1圖2

19.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線G：y=（x-1產(chǎn)-1向左平移2個單位，向下平

移3個單位得到新拋物線C?.

（1）求新拋物線C2的表達(dá)式；

（2）如圖，將AQ鉆沿x軸向左平移得到△OWQ,點(diǎn)A（0,5）的對應(yīng)點(diǎn)A'落在平移后的新

拋物線G上，求點(diǎn)3與其對應(yīng)點(diǎn)8'的距離.

20.（10分）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上,

圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板長他=120,打??，支撐板長8=406,〃機(jī)，托板口固

定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB=4O〃M,托板A3可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動.

（I）若NZ）CB=90。，ZCDE=60°,求點(diǎn)A到直線的距離；

（2）為了觀看舒適，保持"CB=90。，在（1）的情況下，將CD繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，使

點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度.

21.（10分）在抗擊新冠疫情期間，某校數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查了某天上午10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門

口的累積人數(shù)變化情況，結(jié)果如表：

時間X（分0246810

鐘）

累計人數(shù)y03606408409601000

（人）

（1）請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述這10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門口人數(shù)的變化規(guī)律，寫出y與x之間的函數(shù)

解析式；

（2）如果學(xué)生一進(jìn)入校門口后就開始排隊測體溫，若有6個測溫組，每個測溫組每分鐘測

溫20人，設(shè)第x分鐘時的排隊人數(shù)為"，問第幾分鐘時等候測溫排隊總?cè)藬?shù)最多，最多有

幾人？

22.（10分）生活在數(shù)字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類

似地，可通過在網(wǎng)格中，對每一個小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如:

網(wǎng)格中只有一個小方格（如圖②），通過涂色或不涂色可表示兩個不同的信息.

（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖③可表示不同信息的總個數(shù)（圖中標(biāo)號1、2表示兩個

不同位置的小方格，下同）；

（2）圖④為2x2的網(wǎng)格圖，它可表示不同信息的總個數(shù)為；

（3）某校需要給每位師生制作一張“校園同出入證”，準(zhǔn)備在證件的右下角采用〃x〃的網(wǎng)

格圖來表示個人身份信息，若該校師生共506人，則n的最小值為一.

23.（12分）已知AA8C內(nèi)接于OO,AB=AC,Z48C的平分線與OO交于點(diǎn)￡）,與AC

交于點(diǎn)E,連接8并延長與。。過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記44C=a.

（1）如圖1,若夕=60。；

①直接寫出史的值為；

AF----

②當(dāng)OO的半徑為4時，直接寫出圖中陰影部分的面積為一；

（2）如圖2.若a<60。，——=一，DE=6,求DC的長.

圖1圖2

24.（14分）定義：有一個內(nèi)角等于與其相鄰的兩個內(nèi)角之差的四邊形稱為幸福四邊形.

（1）已知NA=120。，ZB=50°,ZC=a,請直接寫出一個a的值,使四邊形AB8

為幸福四邊形；

（2）如圖1,AABC中，D、E分別是邊"，AC上的點(diǎn)，AE=DE.求證：四邊形O3CE

為幸福四邊形；

(3)在(2)的條件下，如圖2,過。，E,C三點(diǎn)作OO,與邊回交于另一點(diǎn)尸，與邊

8c交于點(diǎn)G,且8尸=尸。.

①求證：EG是＜30的直徑；

②連接FG,若AE=1,BG=1,NBGF-NB=45°,求EG的長和幸福四邊形103cE的周

長.

（圖1）

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市海曙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（4分）拋物線y=-（x-l）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【分析】根據(jù)拋物線y=-（x-l）2+2,可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決.

【解答】解：?.?拋物線y=-（x-l）2+2,

.??該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,

故選：A.

2.（4分）在同一時刻，身高1.8米的小強(qiáng)在陽光下的影長為0.9米，一棵大樹的影長為4.6

米，則樹的高度為（）

A.9.8米B.9.2米C.8.2米D.2.3米

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的

太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)樹高為x米，

.人的身高=樹的高度

"人的影長一樹的影長'

匚匚1.8x

所以一=—,

0.94.6

解得：x=9.2.

答：這棵樹的高度為9.2米.

故選：B.

3.（4分）如圖，是OO的直徑，MN是OO的切線，切點(diǎn)為N,如果NMNfi=52。，

則NNQ4的度數(shù)為（）

A.52°B.56°C.54°D.76°

【分析】先利用切線的性質(zhì)得NONM=90。，則可計算出NONB=38。，再利用等腰三角形

的性質(zhì)得到NB=ZONB=38%然后根據(jù)圓周角定理得ZNOA的度數(shù).

【解答】解：?.?〃代是。。的切線，

:.ON1NM,

:.NONM=90。,

NONB=90°-AMNB=90°-52°=38°,

■.■ON=08,

:.ZB=ZONB=38°,

:.ZNOA=2ZB=16°.

故選：D.

4.（4分）下列事件中是必然事件的有（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，著地時正面向上

B.三角形內(nèi)心到三邊距離相等

C.測量寧波某天的最低氣溫，結(jié)果為-80七

D.某個數(shù)的絕對值大于0

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷，得到答案.

【解答】解：A、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，著地時正面向上，是隨機(jī)事件；

8、三角形內(nèi)心到三邊距離相等，是必然事件；

C、測量寧波某天的最低氣溫，結(jié)果為-80'C,是不可能事件；

D、某個數(shù)的絕對值大于0,是隨機(jī)事件；

故選：B.

5.（4分）sin70%cos70°,tan70。的大小關(guān)系是（）

A.tan700<cos700<sin70°B.cos700<tan700<sin70°

C.sin700<cos700<tan70°D.cos700<sin700<tan70°

【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70。和cos70。都小于1,tan70。大于1,故

tan700最大；

只需比較sin70。和8s70。，又cos70。=sin20。，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行

比較.

【解答】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知

sin700<1,cos700<l,tan70°>l.

又cos70。=sin20。，正弦值隨著角的增大而增大,

sin70°>cos70°=sin20°.

故選：D.

6.（4分）如圖，在AABC中，ZA=78°,43=4,AC=6,將AABC沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（)

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可.

【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選

項錯誤；

8、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選：C.

7.（4分）已知AABC中，ZC=90°,AC=3,3c=4,點(diǎn)P為邊/W的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為

圓心，長度r為半徑畫圓，使得點(diǎn)A,P在0c內(nèi)，點(diǎn)3在0c外，則半徑r的取值范圍是（

）

A.—<r<4B.—<r<3C.3<r<4D.r>3

22

【分析】點(diǎn)與圓心的距離d,則?時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)〃=廠時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時，

點(diǎn)在圓內(nèi).

【解答】解：由AC=3,BC=4,以點(diǎn)C為圓心，長度r為半徑畫圓，使得點(diǎn)A,P在0C

內(nèi)，點(diǎn)3在OC外，得

3</-<4,

故選：C.

8.（4分）如圖，在A48c中，ZA=90°,AB=AC=2.以BC的中點(diǎn)O為圓心的圓弧分

別與43、AC相切于點(diǎn)。、E,則圖中陰影部分的周長是（）

A.—B.—F2C.—F2D.1

2424

【分析】求出他、4）的長，以及弧DE的長即可求出陰影部分的周長，根據(jù)切線的性質(zhì),

平行線等分線段定理可求出AE、AD,以及弧DE的半徑和相應(yīng)的圓心角度數(shù)，根據(jù)弧長

公式求出弧DE的長度即可.

【解答】解：連接OE、OD,

?.?以BC的中點(diǎn)O為圓心的圓弧分別與AB、AC相切于點(diǎn)￡>、E,

:.OEVAC,ODLAB,S.OD=OE,

又?.?ZA=90。，

.一.四邊形是正方形，

又?.?點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，OE_LAC,

AE=EC=-AC=1,

2

,-.AE=AD=OD=OE=l,

_90%x1_乃

-D￡-180~2'

陰影部分的周長為2+2,

2

故選：C.

9.（4分）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,P是4?邊上一動點(diǎn)，PDLAC

于點(diǎn)。，點(diǎn)E在P的右側(cè)，且PE=1,連接CE,P從點(diǎn)A出發(fā)，沿Afi方向運(yùn)動，當(dāng)E到

達(dá)點(diǎn)3時，P停止運(yùn)動，設(shè)=圖中陰影部分面積5+反=丫，在整個運(yùn)動過程中，函

數(shù)值y隨尤的變化而變化的情況是（）

A.一直減小B.一直增大C,先減小后增大D,先增大后減小

【分析】設(shè)PD=x,他邊上的高為/?,想辦法求出4）、h,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：在RtAABC中，-.-ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=\lAC2+BC-=>/32+42=5,

設(shè)尸Z)=x,AB邊上的高為人,

,ACBC12

h.--------=—)

AB5

.PD/IBC,

MDPs?CB,

PDAD

---=---，

BCAC

45

/.AD=—XfPA=—Xy

33

145、1222c242,333

y=---x-x+—(4——x)—=—x-2x+—=—(x——)x2H-----

23235353210

.?.當(dāng)0<x<士時，y隨x的增大而減小，

2

當(dāng)°效k2時，y隨x的增大而增大.

25

故選：C.

10.（4分）一個矩形按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大兩個三角形紙片按圖2

中①、②兩種方式放置，設(shè)①中的陰影部分面積為，；②中的陰影部分面積為邑，當(dāng)星=5

時，則矩形的兩邊之比為（）

圖1圖2①圖2②

A.2B.V2C.-D.百

3

【分析】由面積關(guān)系可求￡C=2AE,由相似三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：如圖，

圖1圖2①圖2②

由圖1,可得NACB+NACD=90°=NACD+NCDE=NADE+NCDE,

ZACB=Z.CDE,ZADE=ZDCE,

/./SADE^/SDCE，

.ADAEDE

~DC~~DE~^C"

由圖2①，,ZACB=ZCDE,ZDEC'=90°,

:.OD=OC,NC'=ZACC',

:.OC=OC=OD,

.c_lc

??_53DCE，

由圖2②，S2=SMBC一SCCE'

,:$2=S\，

S^BC~S4DCE=3S40cE

?，-S故BC=5S4DCE，

._2_2

?*,S4DCE=]SgBC=T5AADC,

/.EC=2AE,

ADAEDE

'~DC~~DE~~EC

22

:.DE=2AEf

DE=y/2AE,

，匹=匹=區(qū)

ADAE

故選：B.

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,則tanA的值為—.

~12~

【分析】根據(jù)正切的定義計算，得到答案.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,

i,BC5

貝mijtanA=-----=—,

AC12

故答案為：—.

12

12.（5分）小莉拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地均正面朝上，如果她第四

次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為-.

~2~

【分析】本題考查了概率的簡單計算能力，是一道列舉法求概率的問題，屬于基礎(chǔ)題，可以

直接應(yīng)用求概率的公式.

【解答】解：因為一枚質(zhì)地均勻的硬幣只有正反兩面，

所以不管拋多少次，硬幣正面朝上的概率都是2，

2

故答案為：—.

2

13.（5分）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O,

另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)E,量出半徑OC=5o〃，弦DE=8cm,則直尺的寬度

3cm

【分析】過點(diǎn)。作O尸_LDE,垂足為尸，由垂徑定理可得出所的長，再由勾股定理即可

得出OF的長.

【解答】解：過點(diǎn)。作Of_Lr>E,垂足為f，

,.?O尸過圓心，

?/DE=8cm,

EF=—DE=4c?/??，

2

OC=5cm,

/.OB=5cm，

.?.OF=y/OB*2-EF2=752-42=A/9=3.

故答案為：3cm.

14.（5分）已知二次函數(shù)y=f+bx+c中，函數(shù)y與自變量/的部分對應(yīng)值如表:

X-101234

y1052125

A（6-4,y）,8（m+6,必）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，若凹=必，則"的值為1.

【分析】根據(jù)表中的對應(yīng)值得到x=l和x=3時函數(shù)值相等，則得到拋物線的對稱軸為直線

x=2,由于凹=丫2，所以4"7-4,,），8（"?+6,%）是拋物線上的對稱點(diǎn)，則

4+"?+6=2,然后解方程即可.

2

【解答】解：=1時，y=2；x=3時，y=2,

拋物線的對稱軸為直線x=2,

???A（加一4,y）,5（m+6,%）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，X=%，

-4+〃2+6

??=2,

2

解得7/7=1.

故答案為1.

15.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的OO與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,

點(diǎn)B是0O上一動點(diǎn)，點(diǎn)C為弦A3的中點(diǎn)，直線y=±x-6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,

則ACDE面積的最小值為8.

【分析】連接。8,取。4的中點(diǎn)M,連接CM,過點(diǎn)M作MNLDE于N.首先證明點(diǎn)C

的運(yùn)動軌跡是以“為圓心，2為半徑的設(shè)0M交MN于C.求出MN的長，當(dāng)點(diǎn)C

與C重合時，△(7￡>￡■的面積最小.

【解答】解：連接03,取OA的中點(diǎn)M,連接CM,過點(diǎn)M作MN上DE于N,如圖所示:

AC=CB,AM=OM,

:.MC=-OB=2,

2

.??點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是以M為圓心，2為半徑的0M,

設(shè)交MN于C',

?.,直線y=』x-6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E.

.■.D(8,0),E(0,-6),

OD=8，OE-6，

DM=OD—OM=8—2=6,DE=y/OE24-OD2=762+82=10,

?：ZJ\4DN=/ODE,ZMND=ZDOE=90°,

/.\DNMs^JX)E，

-M--N=-D--M-,

OEDE

即"9,

610

5

11Q

當(dāng)點(diǎn)C與C重合時，△(7￡)后的面積最小，△COE的面積最小值=萬*10*(1-2)=8,

16.(5分)如圖，正六邊形ABCDEF中，G,“分別是邊赫和DE上的點(diǎn)，GF=-AB=2,

3

74

NGC”=60。，則線段E”長—.

一5一

【分析】作GP/A4B,交BC于點(diǎn)、P,AV//3C交GP于點(diǎn)N,可得四邊形ABPN是平行

四邊形，根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，可得A/WG是等邊三角形，然后證明

ACPG^AHDC,對應(yīng)邊成比例即可解決問題.

【解答】解：如圖，作GP/A4B,交3c于點(diǎn)P,4V//3C交GP于點(diǎn)N,

四邊形ABPN是平行四邊形，

;.PN=AB=6,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形,

/.ABAF=NB=NBCD==120°,AF=AB=BC=CD=6,

.\ZBAN=ZNAG=ZAGN=60°,NCPG=ZD=120。，

/.AA/VG是等邊二角形，

:.NG=AN=AG=6—2=4,

PG=NG+PN=4+6=\。,

???ZPCG+ZDCH=ZBCD-NGCH=T2伊—60。=60。，

ZDHC+ZDCH=180°-ZD=180°-120°=60°，

/.NPCG=NDHC,

???NCPG=ND,

:.ACPGS^HDC,

.PC_PG

麗一而‘

???PC=BC—BP=6—4=2,PG=10,CD=6,

DH=~,

5

EH=ED-DH=6--=—.

55

故答案為：—.

5

三、解答題（第17題6分，18題8分，第19,20,21,22題每題10分，第23題12分,

第24題14分共80分）

17.（6分）計算：3tan300+cos12450-2sin60°.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答.

【解答】解：3tan30°+cos2450-2sin600

=G—5/3

2

1

=—.

2

18.（8分）在5x5的方格中，A4BC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，我們把像這種頂點(diǎn)在格點(diǎn)的

三角形叫格點(diǎn)三角形，請按要求完成下列作圖.

（1）在圖1的方格中作出與AABC相似的最小格點(diǎn)三角形；

（2）在圖2中把線段AC分成三條相等的線段AE=￡F=/C,點(diǎn)E,F都在線AC上.（①

只能用無刻度的直尺作直線；②保留作圖痕跡）

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖1的方格中作出與A48c相似的最小格點(diǎn)三角形;

（2）根據(jù)網(wǎng)格，在圖2中在線AC上找到點(diǎn)E,尸即可.

【解答】解：（1）如圖1,三角形QE廳即為所求；

圖1圖2

（2）如圖2,點(diǎn)E,F即為所求.

19.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線G：y=（x-1）2-1向左平移2個單位，向下平

移3個單位得到新拋物線G.

（1）求新拋物線Cz的表達(dá)式；

（2）如圖，將AQAB沿x軸向左平移得到點(diǎn)40,5）的對應(yīng)點(diǎn)A'落在平移后的新

拋物線C2上，求點(diǎn)3與其對應(yīng)點(diǎn)"的距離.

【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答；

（2）把y=5代入拋物線C,求得相應(yīng)的x的值，即可求得點(diǎn)A，的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)，

線段A/T的長度即為所求.

【解答】解：（1）將拋物線￡:y=（x-l）2-l向左平移2個單位，向下平移3個單位得到新

拋物線C2的表達(dá)式是：y=（x-l+2）2-l-3,即），=（X+1）2-4；

（2）由平移的性質(zhì)知，點(diǎn)A與點(diǎn)4的縱坐標(biāo)相等，

所以將y=5代入拋物線G，得"+1）2-4=5,則x=Y或x=2（舍去）

所以A4，=4,

根據(jù)平移的性質(zhì)知：58=4r=4,即點(diǎn)3與其對應(yīng)點(diǎn)用的距離為4個單位.

20.（10分）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上,

圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板長AB=120〃"〃，支撐板長CD=40G〃〃"，托板43固

定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB=4O,w〃，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動.

（1）i^rZDCB=90°,NC￡>E=6O。，求點(diǎn)A到直線DE的距離；

（2）為了觀看舒適，保持"CB=9O。，在（1）的情況下，將CD繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，使

點(diǎn)8落在直線。E上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度.

【分析】（1）延長他交直線￡>E于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作直線￡>E于點(diǎn)例，在RtACDF中，

利用三角形內(nèi)角和定理、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理可求出DF和C尸

的長，進(jìn)而可求出"'的長，由NE>CP=NAMF=9O。，NC￡E>=NME4可得出

\CDF^^MAF，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長；

（2）在RlABCD中，利用勾股定理可求出現(xiàn)）的長，進(jìn)而可得出8E>=28C,利用30度角

所對的直角邊等于斜邊的一半可得出NCDB=30。，再結(jié)合（2）中NCDE的度數(shù)即可求出CD

旋轉(zhuǎn)的角度.

【解答】解：（1）延長至交直線于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作40_L直線￡>￡于點(diǎn)如圖3所

Zjs.

在RtA8F中，ZDCF=90。，ZCDF=60°,CD=40?mn,

NCFD=180°-90°-60°=30°,

/.DF=2CD=806(mm),

CF=yjDF2-CD2=1,

AF=AC+CF=S0+\20=200(mm).

o

?/ZZ)CF=ZAMF=90,ZCFD=ZMFAf

:MDFs/\MAF,

AMAFAM200

/.---=——，即Hn——產(chǎn)=——尸，

DCDF40V380V3

/.AM=100(〃7m),

若NDCB=90°,/8石=60。，點(diǎn)A到直線?！甑木嚯x為100儲%.

(2)依題意畫出圖形，如圖4所示.

在RtABCD中，ZBCE>=90°,BC=40m/??，CD=40&m,

BD=y/CD2+BC2=80(/zz/n),

??BD=2BC,

二NCDB=30。,

.?.8旋轉(zhuǎn)的角度=60。-30。=30。.

21.（10分）在抗擊新冠疫情期間，某校數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查了某天上午10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門

口的累積人數(shù)變化情況，結(jié)果如表：

時間X（分0246810

鐘）

累計人數(shù)y03606408409601000

（人）

（1）請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述這10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門口人數(shù)的變化規(guī)律，寫出y與X之間的函數(shù)

解析式；

（2）如果學(xué)生一進(jìn)入校門口后就開始排隊測體溫，若有6個測溫組，每個測溫組每分鐘測

溫20人，設(shè)第x分鐘時的排隊人數(shù)為w,問第幾分鐘時等候測溫排隊總?cè)藬?shù)最多，最多有

幾人？

【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，可以用二次函數(shù)描述這10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門口人數(shù)的變

化規(guī)律.取三組數(shù)據(jù)求得函數(shù)解析式，再將其余數(shù)據(jù)代入解析式進(jìn)行驗證即可；

（2）用10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門口的累積人數(shù)減去6個測溫組每分鐘測溫的人數(shù)，得出w關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式，再將其寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，可以用二次函數(shù)描述這10分鐘內(nèi)進(jìn)入校門口人數(shù)

的變化規(guī)律.

當(dāng)既山10時,

1.,x=O,y=0符合函數(shù)，

/.c=0,設(shè)y=or?+bx,

iCx=2,y=360；x=4,y=640分別代入得：

[4a+26=360

116a+48=640'

解得F=7°，

[b=200

.1.y=-10x2+200x,

驗證：將x=6代入，得）,=840；

將x=8代入，得y=960；

將x=10代入，得y=1000；

y與x之間的函數(shù)解析式為y=-10/+200x；

(2)由題意得:

vv=y—120x

=-10X2+200X-120X

=-10x2+80x

=-10（X-4）2+160,

.,.當(dāng)x=4時，卬最大，最大值為160.

第4分鐘時等候測溫排隊總?cè)藬?shù)最多，最多有160人.

22.（10分）生活在數(shù)字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類

似地，可通過在網(wǎng)格中，對每一個小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如:

網(wǎng)格中只有一個小方格（如圖②），通過涂色或不涂色可表示兩個不同的信息.

（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖③可表示不同信息的總個數(shù)（圖中標(biāo)號1、2表示兩個

不同位置的小方格，下同）；

（2）圖④為2x2的網(wǎng)格圖，它可表示不同信息的總個數(shù)為16；

（3）某校需要給每位師生制作一張“校園同出入證”，準(zhǔn)備在證件的右下角采用〃x〃的網(wǎng)

格圖來表示個人身份信息，若該校師生共506人，則〃的最小值為一.

□HE

①②③④

【分析】（1）畫出樹狀圖，即可得出答案;

（2）畫出樹狀圖，即可得出答案；

（3）由題意得出規(guī)律，即可得出答案.

【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：

開始

第一次/1涂色'/1不涂'色

第二^2涂色2不涂色2涂色2不涂色

共有4種等可能結(jié)果，

圖③可表示不同信息的總個數(shù)為4；

(2)畫樹狀圖如下:

開始

第一次

第二^

花

諭

3曲^3

第三次/\/

>\

4^4

44444444444

第四次

不

不

不

涂

不

不

涂

涂

不

涂

涂

不

涂

涂

涂

不

色

涂

涂

涂

色

色

涂

涂

色

色

涂

涂

色

色

色

涂

色

色

色

色

色

色

色

色

共有16種等可能結(jié)果，

故答案為：16；

(3)由圖②得：當(dāng)”=1時，2，=2,

由圖④得：當(dāng)w=2時，22x22=16,

.?.“=3時，23X23X23=512,

?.-16<506<512,

：.n的最小值為3,

故答案為：3.

23.(12分)已知AABC內(nèi)接于AB=AC,ZABC的平分線與OO交于點(diǎn)。，與AC

交于點(diǎn)E,連接8并延長與。O過點(diǎn)4的切線交于點(diǎn)歹，記=

(1)如圖1,若e=60°；

①直接寫出空的值為B.

AF—3一

②當(dāng)OO的半徑為4時，直接寫出圖中陰影部分的面積為一；

nF?

(2)如圖2.若av60。，——=-,DE=6,求DC的長.

DC3

A

圖1圖2

【分析】(1)①由切線的性質(zhì)得：NO4F=90。，證明A4BC是等邊三角形，得

ZABC=ZACB=ZBAC=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證明Nfi4Z>=90。，可知BQ是。。

的直徑，由圓周角，弧，弦的關(guān)系得=說明AAD產(chǎn)是含30度的直角三角形，可解

答;

②根據(jù)陰影部分的面積=S^A0DF-Sm0AD代入可得結(jié)論;

(2)如圖2,連接4),連接AO并延長交OO于點(diǎn)H,連接?！?，則NAD"=90。，先證

明AAOF=AAQEIASA),得DF=DE=6,由已知得"■的長.

【解答】解：(1)如圖1,連接。4,AD,

圖1

???AF是。。的切線，

ZOAF=90°,

-.-AB=AC,NS4C=60°,

r.AABC是等邊三角形，

:.ZABC=ZACB=ABAC=(^°,

?.?比)平分NABC,

.-.ZABD=ZCBD=30°,

?：ZADB=ZACB=ffiP,

.-.ZE4Z)=90°,

是OO的直徑，

OA=OB=OD，

/.ZABO=ZOAB=30°fZOAD=ZADO=60°,

???NBDC=NK4C=60。，

ZADF=180。-60?！?0。=60。=ZOAD,

:.OA//DF,

??.N尸=180。-NQ4F=90。，

vZZMF=30°,

..-DF

..tan30=-----=—,

AF3

故答案為：】巨；

3

②???OO的半徑為4,

,\AD=OA=4,DF=-AD=2,

2

???ZAO。=60。，

???陰影部分的面積為

s^AODf-smniOAD=；,AF.（。尸+OA）-=1x273x（2+4）-1^=673:

2JoO233

故答案為：6百一號萬；

3

（2）如圖2,連接AD,連接AO并延長交OO于點(diǎn)”，連接則44。"=90。,

.?.NDAH+NDHA=90。,

???A尸與OO相切，

??.ZDAH+ZDAF=440=90。,

:.ZDAF=ZDHA,

???BD平分NABC,

:.ZABD=NCBD,

???AD=CDf

ZCAD=ZDHA=ZDAF,

???AB=AC,

/.ZABC=ZACB,

?/四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

.*.ZABC+ZAZ）C=180o,

vZA