2021高中數(shù)學(xué)-第57煉 放縮法證明數(shù)列不等式

第57煉放縮法證明數(shù)列不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

在前面的章節(jié)中，也介紹了有關(guān)數(shù)列不等式的內(nèi)容,在有些數(shù)列的題目中，要根據(jù)不等式

的性質(zhì)通過(guò)放縮,將問(wèn)題化歸為我們熟悉的內(nèi)容進(jìn)行求解。本節(jié)通過(guò)一些例子來(lái)介紹利用放

縮法證明不等式的技巧

1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)一一不等式的性質(zhì)：

(1)傳遞性：若。>仇人〉c,則a〉c(此性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明a>c,但無(wú)法

直接證明，則可尋找一個(gè)中間量沙，使得a>從從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明匕>。即可)

(2)若a>"c>”,則a+c>O+d,此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：

若4>〃1)，。2>“2),…,4>/(")，則:q+/+…+4,>/⑴+"2)+…+/(〃)

(3)若需要用到乘法，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：若。>/?>0,0">0,則公>從/,此性質(zhì)也可推廣

到多項(xiàng)連乘,但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù)

注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結(jié)論的不等號(hào)方向均相同

2、放縮的技巧與方法：

(1)常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

①等差數(shù)列求和公式：S,=幺乜?〃，/=桁+〃？(關(guān)于〃的一次函數(shù)或常值函數(shù))

2

aAqn-1)

②等比數(shù)列求和公式：S“=3一聲1),=hq"(關(guān)于〃的指數(shù)類函數(shù))

q-1

③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差x等比”的形式

④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，

進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

(2)與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向,這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小(應(yīng)與

所證的不等號(hào)同方向)

③在放縮時(shí),對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏,常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可

裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

@若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：

看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng),其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式;第

二個(gè)方法就是推翻了原有放縮,重新進(jìn)行設(shè)計(jì),選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

(3)放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視

為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(或等距離間隔項(xiàng))

②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“S“〈常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿

足14€(0,1)，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手,，常數(shù)

可視為4的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公

"q

1

式,再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較,看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)2=—2不，即可

31-1

4

猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，，公比為工，即通項(xiàng)公式為o

注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列

進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

(4)與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：

①此類問(wèn)題往往從遞推公式入手,若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形

②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可

“累加”或“累乘”的形式，即%+1—4</(〃)或也</(〃)(累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)

均為正數(shù))，然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為，另一側(cè)為求和的結(jié)果,進(jìn)而完成證

明

3、常見(jiàn)的放縮變形：

(1),1、<3<、，其中〃可稱4為“進(jìn)可攻,退可守”，可依照

所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。

注：對(duì)于4,可聯(lián)想到平方差公式,從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特

n

征的數(shù)列,例如：-4<——=7——A——7=-(-.....—I.這種放縮的尺度要小于

n2"-I(?-1)(?+1)2[〃-1n+\J

（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如:

1<1_41”1______

rr〃2_14n2—1（2n-1）（2/?+1）2（2〃一12n+1J

~4

1?

（2）=-3=----廣，從而有:

7rlyjn+yjn

2（J/i+1->[n）—F=------1<-j=<—/=----/<2（y/n--1）

y/n+yJn+l7n/〃-1'7

1

注：對(duì)于還可放縮為:-~r=<\fn->-2,〃22,〃￡N

5

、_..JJ,bhin/,■.hbm/,■,

（3）分子分母同加常數(shù)：一〉-----（/?>?>0,m>0）,—>-------（^a>b>0,m>0）

aa+maa+m

此結(jié)論容易記混,通常在解題時(shí),這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造

出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。

2"2'i

（4）

n>2,ne

2"-'-12n-l

k"kn-'

可推廣為:

j）一（%"-

11

>2,k>2,k,neN*^

r-1-lkn-

二、典型例題:

例1：已知數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S.，若4S”=（2”-1）。，用+1,且4=1

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求出｛4｝的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)也,=―二，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為卻求證:3

T.<—

2

解：（1）4S?=（2n-l）a?+l+l

=（2n-3）a?+l（n>2）

（〃

，4%=（2n-l）a?+1-（2n-3）a?N2）

2〃+1

即（2〃+1）。，=（2〃—1”m03

a2〃-1a,』2〃一3a5

--n--=--------,-----=--------，…,—3J——

*12〃-3??_22n-5a23

.^,,-1.....a1=2n-l2n-3.…5即a"一”、

Q〃Ta

?！ㄒ?22〃-32〃-53a23

2〃一1

an=--—a2,由4S〃=（2〃-1）。,什］+1令〃=1可得：

4S1=%+1n劣=3

.??4=2”—1（〃22）,驗(yàn)證6=1符合上式

an=2n—1S“=/I?

（2）由（1）得：b=------5_r==——----r4=1

"re”一n

可知當(dāng)〃22時(shí)，2=---------<-

n（2n-l）〃2/7（n-1）2

+???+

3

<—

2

不等式得證

例2：設(shè)數(shù)列｛可｝滿足：6=l,a“+|=3a“,〃eN*,設(shè)S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知

4w0,2bn-bx=5)-Sn,nGN*

(1)求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式

1113

(2)求證：對(duì)任意的〃cN*且〃22,有------+-------+???d----------<—

?2-b2a3~b3an-b?2

解：⑴?.?。用=3。,；.｛a“｝為公比是3的等比數(shù)列

an=q?3"=3"

在｛〃｝中，令〃=1,24一偽=￡?S]=>4=1

2b「1=S”

2%-1=S,-2bn-2btl_t=bn(n>2)=>b?=2b

.?.｛"｝是公比為2的等比數(shù)列

bn=b｝-2"T=2"-'

111

證明:

(2)a,—b“-3,1_2”T〈正

a3-b3an-bn

,11⑴3fiy-13

<1H1-?,-H-----=------------;------=-1——<一

3y-2]_!2]⑶]2

~3

例3：已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S,,，且q,+J=2S?,?eN*

(1)求證：數(shù)列代｝是等差數(shù)列

(2)記數(shù)列"=25；,7；=，+3+...+3，證明：1一“=<7；4?-1=

"b2bnyjn+l2yjn

解：(

1)an+—=2Sn=>Sn-5?.1+--^―=2S,(心2)

凡S“-S“T

1

—=Sn+Sn.；.S：-S；I=1

QQnn—ln/i—1

“〃n-\

???{s；}為等差數(shù)列

(2)思路：先利用(1)可求出S的公式進(jìn)而求出Z?=2〃、份，則—=---六，考慮進(jìn)行放

bfl2n\/n

縮求和，結(jié)合不等號(hào)的方向向裂項(xiàng)相消的形式進(jìn)行放縮。

解：令〃=1代入%+-!-=2S“可得:

Oj+—=2aln[=1即S]=1

4

由｛s；｝為等差數(shù)列可得：s；=s：+(〃-1)=九

Sn=Shn=2nG

1_1

bn2ns

31

考慮先證(<----r=

2yjn

111\fn—y]n-iy/n-y/n-11

—=---?=■<---.-----=---------<小?)

b〃〃.24J〃一1+6)幾

〃22時(shí)

1

J〃一1

再證方＞1一

小煉有話說(shuō)：本題在證明中用到一個(gè)常見(jiàn)的根式放縮:

+1-y/n=-/--<—,=,<-j=----/=sfn-n-1

例4：已知數(shù)列｛a“｝滿足4=2,?！?|=2(1+工a”,nwN十

\nJ

(1)求證：數(shù)列1*■)是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式

n17

(2)設(shè)％二—,求證：q+02+…+%<—

%~24

(1V(?+1)2

解：⑴%+1=21+-an=2-^~

VnJn

.?.一馱丁=2?冬.?」喜]是公比為2的等比數(shù)列

(〃+1)2n2U2J

?樂(lè)用23

2

an=n-2〃

Yl1

(2)思路：%=—=-----，無(wú)法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項(xiàng)公式(不等號(hào):

a“〃,2"

<)，若要放縮為裂項(xiàng)相消的形式，那么需要構(gòu)造出“順序同構(gòu)”的特點(diǎn)。觀察分母中有〃，

故分子分母通乘以(“-1),再進(jìn)行放縮調(diào)整為裂項(xiàng)相消形式。

.n1H-1

解:而而

h112n-(n-\\〃+1

而-----------------=-----------=----------

(〃—1)2"Tn-2"n(n-l)2"“(〃一1)2”

l…n-\〃+111/分\

所以%二^——；———7—=7——；-r-------(/1>2)

"“(〃一1)2"?(?-1)2"(〃一1)2“Tn-2"V'

+1-11+4-1?++1n-1-1

J+C2+…+%<q+G+C3^^r4.244.2r2-"(n-l)2n-2\

----p----1-------1------------------=-----------------<-----(〃>3)

282424n-2"24n-2"24

1617

?

?.c,>0C]<C]+0?<C]+。2+。3=

小煉有話說(shuō)：(1)本題先確定放縮的類型，向裂項(xiàng)相消放縮，從而按“依序同構(gòu)”的目標(biāo)進(jìn)行

構(gòu)造，在構(gòu)造的過(guò)程中注意不等號(hào)的方向要與所證一致。

(2)在求和過(guò)程中需要若干項(xiàng)不動(dòng)，其余進(jìn)行放縮，從而對(duì)求和的項(xiàng)數(shù)會(huì)有所要求(比如本

題中”>3才會(huì)有放縮的情況），對(duì)于較少項(xiàng)數(shù)要進(jìn)行臉證。

例：已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和S”=解,一3〃（〃一1）,〃￡?/*,且。3=17

(1)求p.力

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和s.

應(yīng),求證：T<-yj3n+2

(3)設(shè)數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和7；，且滿足功n

S〃3

解：（1）在S〃=w〃一3力（〃一l）,〃cN*中，令拉=2,〃=3可得:

4+%=2az-6%-4=6

q+%+%=3%-18q+2=16

/.q=5,%=11

(2)Sn=rian-3n(n-l)①

S-=(〃-1)%-3(〃-1)(“-2)②

①一②可得：

??=na?-6(n-l)=>(n-l)fl?=(〃-1)%+6(n-l)(n>2)

二%=%+6

.?.{a,,}是公差為6的等差數(shù)列

/.an=q+6(〃-1)=6〃—1

2

7.S〃=nan-3n(/?-l)=n(6/?-l)-3n(n-l)=3n+2〃

(3)由(2)可得：2=J—J—=/1

\3n2+2n病XI

,1223//-——-/-——-

b=「=—/</----,=-1,3〃+2-x/3n-1

nV3n+22「3〃+2j3”+2+j3〃—12、

例6：已知數(shù)列｛6,｝滿足q=-,an=——色——n>2,〃GN)

4(T)%T—2

(1)試判斷數(shù)列,—+(-1)”\是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由

4

(2)設(shè)a=勺sin業(yè)?工，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為卻求證：對(duì)任意的〃eN*T<

"7-

解：(1)冊(cè)='=(一1)"*一2=㈠)"_2_

—+(―1)"=2.(一1)"—2=_L+㈠)"=(_2)](-1)j+—

a

?4-i4an_

—+(-l)"!為公比是—2的等比數(shù)列

4J

(2)思路：首先由(1)可求出｛凡｝的通項(xiàng)公式=-------上-------7,對(duì)于

3.(-2)"

萬(wàn)，(2〃-1)萬(wàn)

sin--------可發(fā)現(xiàn)〃為奇數(shù)時(shí)，sin---------=1,n為偶數(shù)時(shí)，sin--------二-1,結(jié)

222

合｛〃〃｝通項(xiàng)公式可將其寫成sinR^~~=，從而求出％=---g---,無(wú)法直接

23,2"+1

求和，所以考慮對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，可聯(lián)想到等比數(shù)列，進(jìn)而%=——士一＜—二，求

"3-2"-'+13.2"T

和后與所證不等式右端常數(shù)比較后再進(jìn)行調(diào)整(需前兩項(xiàng)不動(dòng))即可。

解：-+(-1)'=3,由(1)可得:

—+(-1)，，=-+(-1)'.(-2)，"1=3.(-2)，，_|

_______]

3-(-2r-(-i)n

.(2n-l)^-㈠廣1

而sin(2〃；M=(_])sjn—_____-_=________-_______=_________

23.(,2y,-'-(-l)n3-2n-'+l

bn=-----：----<-------

3-2,,_|+13-2”T

當(dāng)"23時(shí)，T“=b\+打+???+〃<3+b2)+y^r+y^+???+y^r

ifi-fiF-

1112⑵111474

=一+一+-

471476847

2

因?yàn)椋?｝為正項(xiàng)數(shù)列：口<72<73<…<T.

4

.■.\/neN',Tn<-

3廠3na,(-…、

例7：已知數(shù)列｛4｝滿足:4=彳，且4=^~~^lt—[n>2,neN

22??_,+rt-lv

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)〃，均有?…?a?<2-n!

3〃%

解：⑴a?=

2a“t+n-l

12?！癬]+幾一1nn2n-\

---=----------------------=---------------<=>.....----1-------

43〃*a,,3a?_,a,,33%

、幾in_21.

設(shè)a=一即Hn

433

“一i=-1)也—i｝為公比是1的等比數(shù)列

(1V"11?

.也-i=(「i)QJ而

、?<1Ynn-T

?他二1七)."=百=丁

olo2Q/J

(2)思路：所證不等式可化簡(jiǎn)為：T----7—??…-------<2,由于是連乘形式，所以考慮

3,-132-13"-1

放縮為分子分母可相消的特點(diǎn)，觀察分母的形式為(3"-1),所以結(jié)合不等號(hào)方向，將分子向

on_°a”_1

該形式轉(zhuǎn)化：-----<------<—7~~;——r("22),再根據(jù)右邊的值對(duì)左邊放縮的程度進(jìn)行

3"-13"-37

調(diào)整即可。

31323"

證明：所證不等式為：〃!?一-----—----<2?加

3,-132-13"—1

31323"一

等價(jià)于證明:----<2

31-132T3"-1

c~v-----<-7—：——2)

3"-1---------3"-13"-33(3n-1-l)

33-134-13"-1

C2,3(32-l)3(33-1)3(3"T—1)

393”—1393"243"

288312288-3"-2128'）

3c3927c

c.=-<2,?Q=---=—<2

12G''2816

即不等式得證

小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)于一側(cè)是連乘形式的表達(dá)式,在放縮時(shí)可考慮通過(guò)分子分母相消達(dá)到化

簡(jiǎn)式子的目的。與裂項(xiàng)相消相似按照“依序同構(gòu)”的原則構(gòu)造。

（2）本題中用到了分式放縮的常用方法：通過(guò)分子分母加上相同的數(shù)達(dá)到放縮目的，但要注

意不等號(hào)的方向（建議驗(yàn)證），常用的放縮公式為：a>b>O,c>Q=>-<^-（分子小

aa+c

與分母）,a>b>O,c>O=>0>"+’（分子大于分母）

bb+c

b

例8：已知函數(shù)/（x）=ac----21nx,/（l）=0

（1）若函數(shù)/1（X）在x=l處切線斜率為=/（—1—]一〃2+1,已知q=4,求

\a-n+\]

證：an>2n+2

1112

(2)在(1)的條件下,求證：-----+-----+???+------<-

1+q1+1+5

1G

解：⑴/(x)=〃+r——

XX

/⑴=0—8=。

廠.—s〈—S《

/(1)=0a+b—2=0h=1

島=1+(4-〃+1)2-2(%-“+1)-"+1

22

整理后可得：alt+i=(??-n)-n+l

勺+i=a；-2〃a“+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：422〃+2

當(dāng)〃=1時(shí)=422〃+2成立

假設(shè)〃=攵(人"*)成立，則〃=攵+1時(shí)

4+i=ak(4-24)+14>2k+2

.,.磯“2攵+2>2+1=42+5>2(左+1)+2

.?.〃=%+1時(shí)，不等式成立

/.V〃GN",a〃>2n+2

(2)?！?1=a：-+1=a?(a?-2n)+1

由(1)可知a〃22九+2/.an+｝>2an+1

1111111

?—?w—-W????------

a—1--2a.-1--2~ci—1------2"'67,+1

H〃-In—7￡\

1+41+21+1+a1212J

2

例9：已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正值，對(duì)V/eN*,a^+l-l=4an(an+l),bn=log2(a?+1),

且q=1

(1)求數(shù)列。的通項(xiàng)公式

(2)當(dāng)左>7且女eN*時(shí),證明對(duì)V“eN*,都有-5-+」一+—…—1->3成立

4%bn+2如t2

解：⑴?,t|-l=4??(a?+l)

二。3=44+4。”+1=匕|=(2%+1『由an>0可得：

二%=24+1

???4+1+1=2(弓+1)

.?.{4+1}為公比是2的等比數(shù)列

an+1=(4+1)?2〃i=2"

=2"—1hn=n

(2)思路：所證不等式為：!+―+」—>3左邊含有兩個(gè)變量，考慮通

nn+1n+2nk-\2

1113

過(guò)消元簡(jiǎn)化所證不等式。設(shè)《=一+——+..?+-----，則只需證明：(4).>一，易知7；

nn+1nk-1m,n2

11133

為遞增數(shù)列。所以只需證明％=8,即一+——+???+----->—，左邊共7〃項(xiàng)，結(jié)合一的特

nH+18〃一122

點(diǎn)可考慮將7〃項(xiàng)分為3組：1--------F,,?H--------->-----F???H----—————

n____n_+__1__2n-\?2n2n>2n2

--------1---------------F???H---------------->--------1■?…H--------=一

2n2九+14九一1包412

2〃個(gè)2〃個(gè)

」-+」一+…+」—>」-+…+」-=」，再求和即證不等式

4/24〃+18/2-18n87?2

\\_

4〃個(gè)4〃個(gè)

解：所證不等式--1------------1------------1--------1---------->一由(1)可得：

hn%2+2鼠_\2

工+,+，+???+，〉3只需證：0+,+，+-+，]

nn+1〃+2nk-\2\nn+l〃+2nk-\Jmin2

設(shè)￡=，+，+???+]

n〃+lnk-1

=0+，+.??+1

??1+1-/

〃+ln(k+Y)—\)\nn+1nk-\)

11

一++?-?+--------->0

nknk+\nk+n-1

.,.｛1｝為遞增數(shù)列Z:>8

???只需證工+113

???(4)min=n=7+----+???+-----+…+

幾+1------8〃-1n〃+18n-l2

I+，+...+1

*H------------

4〃一1(4〃8〃一1

111>—

+---+-■?+

nn+18n-l2222

例10：數(shù)列｛2｝是公差不為零的等差數(shù)列,%=6,數(shù)列｛〃｝滿足:

4=3,%+1=4自…〃+1

b“+i—1

(1)當(dāng)"22時(shí),求證:bn

(2)當(dāng)〃3>1且。3￡N*時(shí)，。3M5,徇，氣，…，氣，…為等比數(shù)列

①求％

、

\11

②當(dāng)小取最小值時(shí),求證：—+—-+—H---F—>4-------------1---------+---?-?--!------

a1

b《I一1k~0k-1

瓦仇仇n2Kn

解：⑴由2+1=4打…%+1可得：&?+)-1=btb2■--bn

:也-l=b也…b“_in>2,〃GN*

%一1

兩式相除可得:b.

b,「l

(2)①思路：本題的突破口在于《“既在等差數(shù)列｛??｝中，又在等比數(shù)列

七,見(jiàn)，4,，4,，…，氣,，…中，從而在兩個(gè)不同風(fēng)格的數(shù)列中4“均能夠用巴進(jìn)行表示，然后便

得到k〃與。3的關(guān)系式,抓住左〃,〃3GN*的特點(diǎn)即可求出的的值

?.?{%}為等差數(shù)列.?,。=%二生="^

ak?=4+(￡,-3)4=%+((-3).生學(xué)

a.6

另一方面，???。3，〃5,%，處2,……為等比數(shù)列:,q=—=一

。3。3

（乙yi+,

A-i

------^可視為以1為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列前（〃+1）項(xiàng)和

---1。3

〃3

:.kn^3+21+—+---+f—=5+2—+--?+

aa

3\3J。3

6(6)

,:knGN"V〃eN*,2—H---F—eN,：a3GN'

%

%能夠被6整除；4>1且。3H%=6

。3=2或。3=3

經(jīng)檢臉：4=2或。3=3均符合題意

②思路：所證不等式兩側(cè)均為數(shù)列求和的形式，所以先觀察兩側(cè)是否有能直接求和的式子，

b-1

從而化簡(jiǎn)一側(cè)的表達(dá)式，由（1）和（2）①可知，上一=b,,a.=2x3"+i,所以對(duì)于右

a-1人”

側(cè)，一1—=———顯然無(wú)法直接找到求和方法。而對(duì)于」雖然沒(méi)有通項(xiàng)公式，但可

n+,

%T2.3-1bn

Mb"+'"1=b向可求和的方式進(jìn)行變形，得到'--------1一（〃22）,從而可想到

b?~1bnbn-\bH+i-1）

利用裂項(xiàng)相消的方式進(jìn)行求和，得到---1----1----F,??H---=------------o對(duì)于右側(cè)

仇仇&b?3貼2…么

—+—―+…+——只能考慮進(jìn)行放縮，針對(duì)」一=——J--的特點(diǎn)可向等

n+1

a,-1a,-1a.K-1a,K-12-3-1

人IK2nit

比數(shù)列靠攏，結(jié)合不等號(hào)方向可得：一'—=——-＜」。所以

a-12-3,,+I-13n+,

Kk”

III1F.fiY'

于是所證的不等式就變?yōu)橹恍枳C明

a1a1

Tk2~k?~61〈3)_

2122?,?12：,考慮對(duì)一1—進(jìn)行放縮，抓住仇=3

>[，即證明<

3結(jié)2…233Hbh…b.3"+1她…2

221

這個(gè)特點(diǎn)，由已知可得｛〃｝為遞增數(shù)列，則"23但右側(cè)為——r=-----,無(wú)法直接放縮證

3〃+133”

明，所以要對(duì)--------的放縮進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算出仇也也可得——,進(jìn)而

她…db、b2b33

111212

，但此時(shí)只能證明〃24時(shí)，不等式成立。對(duì)于

她2??仇她么么…2343-3-3向'

n=1,2,3有限的項(xiàng)，逐次驗(yàn)證即可。

b-1

由(1)可得：*—=bn

2T

b”也1)=2+|z、=

么(2-1)%T

1_____1___1_

b“-1b?bn+x-\

111八

/.—=----------------n>2

b“bn-\bn+[-\

1111

+—+—+???+—

b\仇仇bn

111)11)111

-——I-++?,,+

44T4—工、4-12—工bn—lb“+i-1,

111

=—+

b\人2Tb“+i-1

4=3也+1=地…"+1

?,也+「T=b電…b1t

111111121